3.3.2第2课时 抛物线几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线几何性质的应用，涵盖直线与抛物线的位置关系、弦长、中点弦及焦点弦问题。通过类比直线与椭圆、双曲线的位置关系设置探究问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 以方程思想为主线，结合探究、典例解析与分层练习，渗透设而不求、点差法等方法，培养学生逻辑推理与数学运算能力，符合“会用数学的思维思考现实世界”，通过判断正误、解题感悟提升数学表达能力，助力学生用数学语言解决问题。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线几何性质的应用 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.利用方程的思想研究直线与抛物线的交点问题. 2.利用抛物线的简单几何性质解决弦长问题及中点弦问题. 一、直线与抛物线的位置关系 探究1　类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，直线与抛物线有哪几种位置关系？ 探究2　试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？ ⚪梳理教材 要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y（或消去x）得出关于x（或关于y）的一个方程Ax2＋Bx＋C＝0（或Ay2＋By＋C＝0），其中二次项系数A有可能为0，此时直线与抛物线有一个交点. 当二次项系数A≠0时，Δ＝B2－4AC. 若Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点. ⚪温馨提示　（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（　 ） （2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.（　 ） （3）由抛物线y2＝2px（p＞0）可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.（　 ） （4）直线与抛物线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数.（　 ） 【典例1】　（1）若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. （2）求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程. ⚪解题感悟 直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0. （1）若k2＝0，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线相交，有一个交点. 　　（2）若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点. 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点. 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点. 【练习1】　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 . 二、弦长及中点弦问题 探究3　我们前面学习过抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？ 探究4　以y2＝2px（p＞0）为例，探讨中点弦问题是否可以用“点差法”？ ⚪梳理教材 1.弦长问题 对于抛物线y2＝2px（p＞0），设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， （1）一般弦长：｜AB｜＝｜x1－x2｜或｜AB｜＝｜y1－y2｜（其中k为弦所在直线的斜率，且k≠0）. （2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p. 2.中点弦问题 若M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率为kAB＝. ⚪温馨提示　（1）直线与对称轴垂直时，可以用解坐标的方法求弦长. （2）“点差法”应用的前提是知道中点坐标或直线的斜率. 【典例2】　（1）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若弦AB的中点为（2，2），则抛物线的方程为 ，直线l的方程为 . （2）过点Q（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分. ①求AB所在的直线方程；②求｜AB｜. ⚪解题感悟 　　1.同研究直线截椭圆或双曲线所得弦长的计算方法相同，设斜率为k（k≠0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有弦长公式：｜AB｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜. 2.弦中点问题的处理方法，通常利用“整体代换、设而不求”的思想. 【练习2】　（1）抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长为 . （2）已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程. 三、焦点弦问题 【典例3】　（1）AB是过抛物线C：y2＝4x的焦点的弦，且｜AB｜＝10，则线段AB的中点的横坐标为（　 ） A.4 B.3 C.2 D.1 （2）已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. ①若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； ②若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. ⚪解题感悟 　　已知AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（θ为直线AB的倾斜角）. （3）S△ABO＝（θ为直线AB的倾斜角）. （4）＋＝. （5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 【练习3】　（1）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜等于（　 ） A.4 B. C.5 D.6 （2）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2. ①求抛物线C的方程； ②设直线y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，且A与B的横坐标之和为4，求k的值及｜AB｜. ⚪课堂达标 1.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为（　 ） A.8 B. C. D. 2.抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m＝（　 ） A. B.2 C. D.3 3.若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（　 ） A. B. C. D. 4.动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　 ） A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为 . 解析版 ⚪学习目标　1.利用方程的思想研究直线与抛物线的交点问题. 2.利用抛物线的简单几何性质解决弦长问题及中点弦问题. 一、直线与抛物线的位置关系 探究1　类比直线与椭圆、双曲线的位置关系，直线与抛物线有哪几种位置关系？ 提示：位置关系有3种：相交，相切，相离. 探究2　试通过作图分析，我们能否用公共点的个数来判定直线与抛物线的位置关系呢？ 提示：不能.如图①，相切时有一个公共点；如图②，相交时也有一个公共点. ⚪梳理教材 要解决直线与抛物线的位置关系问题，可把直线方程与抛物线方程联立，消去y（或消去x）得出关于x（或关于y）的一个方程Ax2＋Bx＋C＝0（或Ay2＋By＋C＝0），其中二次项系数A有可能为0，此时直线与抛物线有一个交点. 当二次项系数A≠0时，Δ＝B2－4AC. 若Δ＜0，则直线与抛物线没有公共点； 若Δ＝0，则直线与抛物线有且只有一个公共点； 若Δ＞0，则直线与抛物线有两个不同的公共点. ⚪温馨提示　（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.（　✕　） （2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.（　√　） （3）由抛物线y2＝2px（p＞0）可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.（　√　） （4）直线与抛物线交点的个数就是它们的方程联立所得方程组的解的个数.（　√　） 【典例1】　（1）若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. （2）求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程. 解：（1）证明：由消去y并整理，得x2－12x＋16＝0. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同的两点A，B， ∴可设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. ∵＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（x1－4）（x2－4）＝x1x2＋x1x2－4（x1＋x2）＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴⊥，即OA⊥OB. （2）①若直线的斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y＝kx＋1. 由方程组消去y并整理， 得k2x2＋2（k－1）x＋1＝0. 当k＝0时，得x＝，y＝1. 故直线y＝1与抛物线相交，只有一个公共点. 当k≠0时，由于直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4（k－1）2－4k2＝0， 得k＝，此时直线y＝x＋1与抛物线相切，只有一个公共点. ②若直线的斜率不存在，则过P（0，1）的直线方程为x＝0， 与抛物线相切，只有一个公共点. 综上所述，所求直线方程是x＝0或y＝1或y＝x＋1. ⚪解题感悟 直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px（p＞0），将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋（2kb－2p）x＋b2＝0. （1）若k2＝0，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线相交，有一个交点. 　　（2）若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点. 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点. 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点. 【练习1】　已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q（－2，0）的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　[－1，1]　. 解析：由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0.当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2）≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1. 因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 二、弦长及中点弦问题 探究3　我们前面学习过抛物线的焦点弦公式，那么抛物线的一般弦长怎么计算？ 提示：与椭圆、双曲线一样，用弦长公式计算，注意运用设而不求的方法. 探究4　以y2＝2px（p＞0）为例，探讨中点弦问题是否可以用“点差法”？ 提示：设弦端点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0）， 则＝2px1，＝2px2， 相减后整理得＝＝， 即kAB＝. ⚪梳理教材 1.弦长问题 对于抛物线y2＝2px（p＞0），设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， （1）一般弦长：｜AB｜＝｜x1－x2｜或｜AB｜＝｜y1－y2｜（其中k为弦所在直线的斜率，且k≠0）. （2）焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p. 2.中点弦问题 若M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率为kAB＝. ⚪温馨提示　（1）直线与对称轴垂直时，可以用解坐标的方法求弦长. （2）“点差法”应用的前提是知道中点坐标或直线的斜率. 【典例2】　（1）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交于A，B两点，若弦AB的中点为（2，2），则抛物线的方程为　y2＝4x　，直线l的方程为　x－y＝0　. （2）过点Q（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分. ①求AB所在的直线方程； ②求｜AB｜. 解：①方法一：设以Q为中点的弦AB端点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），则有 ＝8x1，① ＝8x2，② y1＋y2＝2，③ 直线AB的斜率k＝.④ 将③代入①－②，得 2（y1－y2）＝8（x1－x2）. ∴y1－y2＝4（x1－x2）， ∴4＝. ∴k＝4. ∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4（x－4）， 即4x－y－15＝0. 方法二：设弦AB所在的直线方程为y＝k（x－4）＋1（k≠0）. 由消去x并整理，得ky2－8y－32k＋8＝0. 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系，得y1＋y2＝. 又由y1＋y2＝2，解得k＝4. ∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0. ②由消去x并整理，得y2－2y－30＝0. 则由根与系数的关系，得y1＋y2＝2，y1y2＝－30. ｜AB｜＝·｜y1－y2｜ ＝ ＝×＝. ⚪解题感悟 　　1.同研究直线截椭圆或双曲线所得弦长的计算方法相同，设斜率为k（k≠0）的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则有弦长公式：｜AB｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜. 2.弦中点问题的处理方法，通常利用“整体代换、设而不求”的思想. 【练习2】　（1）抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长为　. 答案： 解析：把y＝2x＋1代入y2＝12x，得4x2－8x＋1＝0，则Δ＝64－16＞0，设其根为x1，x2，则x1＋x2＝2，x1x2＝. 所求弦长d＝｜x1－x2｜＝＝＝. （2）已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程. 解：设弦的两个端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）. ∵P1，P2在抛物线上， ∴＝6x1，＝6x2. 两式相减，得（y1＋y2）（y1－y2）＝6（x1－x2）.① ∵y1＋y2＝2，代入①，得＝＝3. ∴直线的方程为y－1＝3（x－4）， 即3x－y－11＝0. 三、焦点弦问题 【典例3】　（1）AB是过抛物线C：y2＝4x的焦点的弦，且｜AB｜＝10，则线段AB的中点的横坐标为（　A　） A.4 B.3 C.2 D.1 （2）已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点. ①若直线l的倾斜角为60°，求｜AB｜的值； ②若｜AB｜＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解：①因为直线l的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又过点F（，0）， 所以直线l的方程为y＝（x－）. 联立 消去y并整理，得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故｜AB｜＝×＝2×4＝8. ②设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线的定义，知｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以点M到准线的距离等于3＋＝. ⚪解题感悟 　　已知AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝. （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（θ为直线AB的倾斜角）. （3）S△ABO＝（θ为直线AB的倾斜角）. （4）＋＝. （5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 【练习3】　（1）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝2｜BF｜，则｜AB｜等于（　B　） A.4 B. C.5 D.6 解析：因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝＝＝1，所以｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝. （2）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2. ①求抛物线C的方程； ②设直线y＝kx＋1与抛物线C交于A，B两点，且A与B的横坐标之和为4，求k的值及｜AB｜. 解：①∵抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到其准线的距离为2，∴＋＝p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝4y1，＝4y2， 两式相减得－＝4y1－4y2， 已知点A与点B的横坐标之和为4， ∴＝＝1，∴k＝＝1. 联立消去x，整理得y2－6y＋1＝0， ∴y1＋y2＝6. ∵直线y＝x＋1过抛物线C的焦点， ∴｜AB｜＝y1＋y2＋2＝8. ⚪课堂达标 1.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为（　B　） A.8 B. C. D. 2.抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m＝（　A　） A. B.2 C. D.3 解析：由已知得kAB＝＝－1，而y2－y1＝2（－），得x2＋x1＝－， 且（，）在直线y＝x＋m上， 即＝＋m， y2＋y1＝x2＋x1＋2m， 所以2（＋）＝x2＋x1＋2m， 2[（x2＋x1）2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m， 所以2m＝3，m＝.故选A. 3.若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（　A　） A. B. C. D. 解析：易知AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为（，0），则焦点到直线AB的距离为1－＝. 4.动点P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是（　D　） A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为　y2＝12x或y2＝－4x　. 解析：设所求抛物线方程为y2＝ax（a≠0），已知直线方程变形为y＝2x＋1，设抛物线与直线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得消去y得（2x＋1）2＝ax，整理得4x2＋（4－a）x＋1＝0，Δ＝（4－a）2－16＞0，得a＜0或a＞8，由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，所以｜AB｜＝＝，解得a＝12或a＝－4，所以所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x. 页 学科网（北京）股份有限公司 $