精品解析：北京市第二中学朝阳学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026-2027学年北京市第二中学朝阳学校高三年级 开学考试数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合，，再由集合的交集求解即可. 【详解】因为，由，解得， 因为，所以， 因为，所以或， 所以. 2. 已知，则在复平面上，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以所对应的点为，位于第一象限. 3. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质判断C，举反例判断ABD. 【详解】对A，时，，A错； 对B，时，，B错； 对C，因为，所以，C正确； 对D，时，，D错. 4. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对已知模长等式平方求得与的数量积关系，再计算目标两向量的数量积为0，即可判断夹角为直角. 【详解】已知，则，展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 5. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 6. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 【答案】A 【解析】 【详解】函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，关于轴对称． 7. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图像向右平移个单位后所得函数为 ，令，所以 故选C 8. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义以及函数的单调性依次判断选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，由于， 所以函数为偶函数，不满足题意，故A不正确； 对于B，函数，由，得定义域为R， 而，则为奇函数， 令，由于在上单调递增， 所以在上单调递减， 根据复合函数单调性可得在上单调递减， 由于为奇函数，所以在上单调递减， 因为在上为连续函数，任取，都有 所以在上单调递减，故是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的，故B正确； 对于C，函数定义域为R，，即函数是奇函数， 又和是上的增函数，因此是增函数， 所以函数图像上任意两点的直线斜率均为正，故C不正确 对于D，函数的定义域为，，即函数是奇函数， 由于，所以不满足函数图像上任意两点的直线斜率均为负，故D选项错误. 9. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 10. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为，如果，则与最小值最接近的数为（ ） （参考数据：，，） A. 0.42 B. 0.55 C. 0.69 D. 1.10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件判断的单调性，转化条件，再结合建立等式，通过变形和对数运算求出的表达式，最后根据函数单调性求出其最小值. 【详解】已知，将其变形为：， 由于在R上单调递增，故在R上单调递减， 则在R上单调递增， 不妨设，则， 则，即，， 因为，所以， 化简得，进一步变形为， 整理得：， 令（），则，变形为， 因为，所以，即， ， 令，对其求导：， 令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 则， 因此，与的最小值最接近的是. 二、填空题（共5小题，每小題5分，共25分） 11. 函数 的定义域为________. 【答案】R 【解析】 【分析】根据余弦函数的值域和定义域即可求解. 【详解】由知 又由，故定义域为R. 故答案为：R 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可得. 13. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】“曲池”的体积可以利用柱体的体积公式，利用底面积乘高进行计算；侧面可以利用曲边矩形的面积计算方法计算出面积，将所有面面积相加即可计算表面积． 【详解】根据弧长公式可知，，， 因为的长度为的长度的2倍，故，可得：； 因为，解得， 根据扇环面积公式可计算“曲池”的底面的面积：， 则； 因为，则的面积为； ，则的面积为； 侧面与的面积为； 两底面面积为：， 故表面积为 14. 已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 15. 已知函数的定义域为R，给出下列四个结论： ①使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ②使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ③存在在R上单调递减的函数，使得恒成立； ④存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①，由，得到在R上为奇函数，即可判断正误；对于②，令，可得则为偶函数，即可判断正误；对于③，由,可得,从而判断正误；对于④，令,,即可判断正误. 【详解】对于①，由题可得：，所以,则在R上为奇函数，则与条件矛盾，则①错误； 对于②，令，由可得：，则为偶函数， 偶函数有无穷多个，则使得恒成立的函数存在且有无穷多个，故②正确； 对于③，由题可得,所以,则, 这与函数在R上单调递减矛盾，所以③不正确； 对于④，令,,则,满足恒成立， 所以存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个，故④正确； 故答案为：②④. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知中，，，． （1）求的值； （2）求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合二倍角公式求得，再由余弦的二倍角公式求得； （2）利用三角恒等变换求得，再由三角形面积公式计算. 【小问1详解】 由正弦定理得，即，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，， 所以， 所以. 17. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间. 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】(1)先代入计算切点坐标，再求导得到切线斜率，利用点斜式求解切线方程； (2)先求函数导数，按和两类讨论导数的正负，进而确定函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，， 计算得，故切点坐标为， 对求导得， 则切线斜率， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得. ①当时，对任意，都有，故， 因此恒成立，故在上单调递减； ②当时，令，即，变形得， 两边取自然对数得，解得. 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增. 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）作线段中点，因为线段中点，则 且， 又且， 与平行且相等，四边形为平行四边形． ． 平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明； （2）利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作线段中点，记为． 由题意，垂直平分，且． 又，∴四边形为矩形，． 平面，且． 则可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，可得， 设，可得，， 设平面的法向量为， 因，， 则由，令，则， 设直线与平面所成角为， 可得． 解得或（舍） 所以． 19. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），，． （2）条件③不符合题目要求，选①或②时的最小正周期均为． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【小问1详解】 因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． 【小问2详解】 因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求 20. 已知函数， （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数， ①当时，求曲线与曲线的交点个数； ②如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 【答案】（1） （2）①曲线与曲线只有一个交点，② 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求出函数的切线方程； （2）①由可得，易知是方程的一个实根，只需考虑时实根个数，构造函数，讨论其单调性求出极值，即可判断方程的实根个数，从而得出两曲线的交点个数； ②根据曲线与曲线相切时，有成立，解方程组即可得的值. 【小问1详解】 当时，，则， 令，即，解得， 可知，所以曲线与轴平行的切线方程为. 【小问2详解】 ①令，得， 当时，等式成立，可知，即是曲线与曲线的一个交点； 当时，得， 令，则， 当时，可知在上单调递增，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在时，函数取得极小值，为， 因为，所以恒成立，即方程无解， 所以曲线与曲线只有一个交点. ②当曲线与曲线相切时，有成立， 由得. 因为，，由得. 当时，，此时不成立， 当时，，此时不成立， 当时，可得成立即可， 因为，所以，解得或， 可得成立即可，解得或（舍）， 当时，，解得. 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 【答案】（1）不是列，是列. （2）不存在满足条件的列. （3）满足条件的列个数为. 【解析】 【分析】（1）紧扣列定义，逐条核对起点、终点、差分合法性与元素互异性即可. （2）存在性否定，利用每步移动均改变奇偶性这一不变量，由步数与终点奇偶性矛盾导出不存在. （3）按列拆解路径，将列一一对应为纵坐标序列，把“取遍 1 到”转化为“序列最大值为 ”，用补集计数求解. 【小问1详解】 对序列：末步差分，不属于，不满足条件②，故不是列. 对序列：各步差分依次为，均合法；起点为，终点横坐标，且五个元素互不相同，故是列. 【小问2详解】 不存在. 考察每个格点的的奇偶性．由于每步移动的差分只能为，均使的奇偶性发生改变， 因此列中相邻两点的横、纵坐标之和必一奇一偶． 若列由的全部16个元素组成，则，共15步． 起点满足为偶数，经过奇数步后，终点的必为奇数． 但满足为偶数，矛盾． 故不存在满足条件的列． 【小问3详解】 由于每步移动中坐标只能不变或增加 1，从到必然依次经过每一列． 在固定一列内，每次只能沿竖直方向移动． 若竖直移动方向发生改变，就会重复经过某个格点，与序列中的元素互不相同矛盾， 因此在该列内只能单调移动． 所以从入口纵坐标到出口纵坐标的路径唯一，且恰好覆盖区间内的所有整数． 记各列的出口纵坐标依次为，其中，并记（起点纵坐标）． 则第列覆盖的值区间为． 反过来，任取一组上述出口纵坐标，在每一列内从入口到出口单调移动， 并在最后一列之前的各列出口处向右移动一格，就能唯一得到一个符合定义的序列． 因此上述对应是一一对应． 由于，且每个新区间均包含从而与前一并集相交， 归纳可知所有区间的并集为包含1的连续区间： ． 因此条件等价于． 序列的每个分量均有种取法，共个；其中最大值不超过的有个． 由补集思想，满足条件的列个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北京市第二中学朝阳学校高三年级 开学考试数学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，则在复平面上，复数所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 6. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 7. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 8. 下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 10. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．一个常见的激活函数为，如果，则与最小值最接近的数为（ ） （参考数据：，，） A. 0.42 B. 0.55 C. 0.69 D. 1.10 二、填空题（共5小题，每小題5分，共25分） 11. 函数 的定义域为________. 12. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 13. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 14. 已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 15. 已知函数的定义域为R，给出下列四个结论： ①使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ②使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ③存在在R上单调递减的函数，使得恒成立； ④存在函数和实数使得恒成立，且有无穷多个. 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16. 已知中，，，． （1）求的值； （2）求的面积 17. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调区间. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）若，点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19. 已知函数． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 已知函数， （1）时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数， ①当时，求曲线与曲线的交点个数； ②如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切．求的值，使得曲线与曲线相切． 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $