北京大学附属中学2027届学习调研试题（分班考）高三数学试卷

北大附中2027届学习调研试题 高三数学 2026.07 本试卷共4页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分　选择题（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面上对应点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是 A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，两点的横坐标之和为6，则 A．4 B．6 C．8 D．10 5．下列说法中，一定成立的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则 A． B． C． D． 7．函数与在上交点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知是无穷等比数列，则“”是“是递增数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律．设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）．已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时．设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为 A．7 B．8 C．9 D．10 10．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数，都存在正整数，使得，则称数列为数列的“数列”．已知数列的前项和为，则下列选项中为假命题的是 A．存在等差数列，使得是的“数列” B．存在等比数列，使得是的“数列” C．存在等差数列，使得是的“数列” D．存在等比数列，使得是的“数列” 第二部分　非选择题（共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11．双曲线的渐近线方程是________． 12．在的展开式中，常数项是________． 13．已知，是两个单位向量，．设，若，则和的夹角为________；若，则的最小值为________． 14．已知函数的图象是圆心在原点，半径为1的圆的两段弧（如图所示）．则不等式的解集为________． 15．函数，其中，给出下列四个结论： ①对任意实数，的定义域为； ②存在实数，使得在定义域无零点； ③当时，对任意，存在实数，使得； ④当时，存在，使得对任意实数，都有． 其中所有正确结论的序号为________． 三、解答题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知椭圆（）的顶点为，． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为上第一象限内的点，直线与轴交于点，直线与轴交于点． 若，求点的坐标． 17．（本小题13分） 已知函数定义域为，．曲线在处的切线为． （Ⅰ）设，求的最小值； （Ⅱ）讨论与的关系； （Ⅲ）设，记直线与、交于点，，直线与、交于点，．试比较与的大小关系． 18．（本小题14分） 已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件： ①和都是递增数列； ②中任意两个不同的项的和不是中的项． 则称被屏蔽，记作． （Ⅰ）若，． （i）判断是否成立，并说明理由； （ii）判断是否成立，并说明理由． （Ⅱ）设是首项为正偶数，公差是2的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得．如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由； （Ⅲ）设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得．证明：存在数列，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $