第一章集合单元检测卷-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本集合单元检测卷全面覆盖集合关系、运算及应用，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，适配高中数学单元复习，有效培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合关系、交并补运算、元素个数|基础题占比62.5%，如第3题考查集合交集，强化符号意识| |多选题|3|集合间关系、新定义“闭集合”|第11题以“闭集合”为载体，考查逻辑推理与创新思维| |填空题|4|Venn图阴影部分、子集分类|第14题结合奇偶子集与元素和，培养数学抽象能力| |解答题|5|子集关系、新定义集合探究|第19题以正整数分拆为情境，综合考查数学思维与表达，呼应核心素养要求|

集合单元检测卷 一、单选题 1．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 二、多选题 9．关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，且，则（     ） A． B． C．中元素个数为1 D． 11．设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题 12．设集合，，且，则________. 13．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 14．已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 四、解答题 15．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 16．已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 17．已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 19．设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 数学第1页（共2页） 数学第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《集合单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B D A A C AC BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据元素与集合的关系逐项判断即可. 【详解】选项A，包含符号，不能用来描述元素和集合的关系，故错误； 选项B，数字0是集合中的元素，故正确； 选项C，0是一个单独的元素，是包含数字0作为唯一元素的集合，二者属性完全不同，因此不相等； 选项D，0属于集合{0}，故错误. 2．A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 3．D 【分析】先计算集合与的并集，再根据补集的定义求该并集在全集中的补集即可. 【详解】因为，，所以， 又全集，所以 4．B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 5．D 【详解】由集合，集合， 可得，共有4个元素. 6．A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 7．A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 8．C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 9．AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 10．BCD 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 11．ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 12． 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 13． 【分析】先根据韦恩图确定阴影部分表示的集合，进而根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 14．8 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 15．(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 16．(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 17．(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，可得，， 所以，. （2）分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 19．(1) (2)证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积：      2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有      2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. (3)中相应的元素为和. 【分析】（1）根据定义对5进行拆解，再分析得到满足题意的情况即可； （2）首先分析得，再作差即可证明，再分和计算即可； （3）分5类情况进行讨论即可. 【详解】（1）的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． （2）略. （3）设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $