第一章 预备知识 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 高中数学预备知识单元卷，覆盖集合、命题、不等式等基础知识点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配新授课单元检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|命题否定、集合运算、不等式求解|基础概念辨析，强化数学抽象| |多项选择|3/18|不等式性质、函数最值、新集合运算|多选项设计，考查逻辑推理严谨性| |填空|3/15|命题真假、恒成立问题、利润优化|实际情境融入，体现数学应用| |解答题|5/77|集合关系、命题真假、不等式分类讨论、利润方案|分层设问，如19题结合养殖利润优化，培养数学建模与创新意识|

章末检测（一）　预备知识 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（　　） A.∀n∈N，n2＞2n　 　B.∃n∈N，n2≤2n　　 C.∀n∈N，n2≤2n　　 D.∃n∈N，n2＝2n 2.已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（　　） A.N⊆M　 　B.M∪N＝M　 　C.M∩N＝N　 　D.M∩N＝{2} 3.若0＜a＜1，则不等式x2－3（a＋a2）x＋9a3≤0的解集为（　　） A.{x｜3a2≤x≤3a}　 　 B.{x｜3a≤x≤3a2} C.{x｜x≤3a2，或x≥3a}　 　 D.{x｜x≤3a，或x≥3a2} 4.已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A.{－2，－1，0，1}　　 B.{0，1，2}　 　C.{－2}　 　D.{2} 5.如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.－2a＞－2b　　 B.c－a＞c－b　 　 C.a＋c＞b＋c　 　 D.a2＞b2 6.设a∈R，则“a＞”是“a2＞2”的（　　） A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 　D.既不充分也不必要条件 7.已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a≥1}　 　B.{a｜a＜1}　 　 C.{a｜a＞1}　 　 D.{a｜a≤1} 8.若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为（　　） A.4　 　 B.8　 　 C.16　　 D.32 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列命题正确的是（　　） A.若a＞b，则＜　　 B.若a＜b＜0，则a2＞b2 C.若ac2＞bc2，则a＞b　　 D.若ab＝4，则a＋b≥4 10.若函数y＝x2－4x－4在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，则正整数a的值可能是（　　） A.2　 　B.3　 　C.4　 　D.5 11.定义集合运算：AⓧB＝{z｜z＝（x＋y）×（x－y），x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则（　　） A.当x＝，y＝时，z＝1 B.x可取两个值，y可取两个值，z＝（x＋y）×（x－y）对应4个式子 C.AⓧB中有4个元素 D.AⓧB的真子集有7个 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是　　　　. 13.若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　. 14.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q（q∈N＋）的函数关系式为C＝100＋4q，销售单价p与产量q的函数关系式为p＝25－q.要使每件产品的平均利润最大，则产量q为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}，C＝{x｜x＞m－2}. （1）求A∪B； （2）若　　　　　　，求实数m的取值范围. 请从①A⊆C；②A∩C≠∅；③C⊆（∁RA）这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.（本小题满分15分）设命题p：方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知关于x的不等式（ax－1）·（x－1）＜0. （1）当a＝2时，解上述不等式； （2）当a＜1时，解上述关于x的不等式. 18.（本小题满分17分）已知a＞0，b＞0，且（a＋b）＝1. （1）求＋的最小值； （2）是否存在a，b，使得＋的值为？并说明理由. 19.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元. （1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润； （2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案： ①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地； ②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地. 问该水产养殖户应该选择哪种方案？ 章末检测（一）　预备知识 1.C 2.D　∵－2∈N，但－2∉M，∴A、B、C三个选项均错误. 3.A　因为0＜a＜1，所以0＜3a2＜3a，而方程x2－3（a＋a2）x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x｜3a2≤x≤3a}. 4.C　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 5.C　∵a＞b，∴－2a＜－2b，故A不正确；c－a＜c－b，B不正确；a＋c＞b＋c，C正确；a2＞b2不一定正确，当a，b为负数时，不等式不成立，D不正确.故选C. 6.A　由a2＞2，解得a＞或a＜－，则当a＞时，有a2＞2成立.当a2＞2时，a＞不一定成立，例如a＝－3时，满足a2＞2，但a＞不成立.所以“a＞”是“a2＞2”的充分不必要条件. 7.C　∵p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，∴p的否定：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0.∵命题p为假命题，∴p的否定为真命题，∴当x∈R时，方程ax2＋2x＋1＝0没有实数根，∴Δ＝4－4a＜0，即a＞1.∴实数a的取值范围是{a｜a＞1}. 8.B　因为xy＋6x＝4，所以＋＝＋＝y＋6＋.因为0＜x＜，所以y＝＝－6＞0，故y＋6＋≥6＋2＝8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8，故选B. 9.BC　A项，不妨取a＝1，b＝－1，满足a＞b，但＝1＞＝－1，故错误；B项，因为a2－b2＝（a＋b）（a－b），由a＜b＜0，故可得a2－b2＞0，即a2＞b2，故正确；C项，因为ac2＞bc2，不等式两边同除以不为零的常数c2，即可得a＞b，故正确；D项，不妨取a＝－1，b＝－4，满足ab＝4，但a＋b＝－5＜4，故错误.故选B、C. 10.BC　令y＝f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，作函数y＝f（x）的部分图象，如图，f（0）＝f（4）＝－4，f（x）min＝f（2）＝－8.因为函数在区间[0，a）上既有最大值又有最小值，所以区间[0，a）必须包含2，且f（a）≤－4，所以2＜a≤4.结合选项可知选B、C. 11.BD　当x＝，y＝时，z＝（＋）×（－）＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取（＋1）×（－1）＝1，（＋）×（－）＝0，（＋1）×（－1）＝2，（＋）×（－）＝1四个式子，选项B正确；AⓧB＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；AⓧB的真子集有23－1＝7（个），选项D正确. 12.{m｜－1≤m≤2}　解析：命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2＜0”为假命题，则命题“∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题.故Δ＝4m2－4（m＋2）≤0，解得－1≤m≤2. 13.　解析：作出一元二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0， 则 解得－＜m＜0. 14.40　解析：设该商品销售收入为R，利润为L，则R＝p×q＝25q－q2，L＝R－C＝－q2＋21q－100（0＜q＜400，q∈N＋）.易知每件产品的平均利润为＝21－（＋）.因为＋≥5，当且仅当q＝40时等号成立，所以每件产品的平均利润最大时，产量q为40. 15.解：（1）∵集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≥1}， ∴A∪B＝{x｜x≥1}∪{x｜－1＜x＜3}＝{x｜x＞－1}. （2）若选①A⊆C，则m－2≤－1，即m≤1， ∴实数m的取值范围是{m｜m≤1}. 若选②A∩C≠∅，则m－2＜3，即m＜5， ∴实数m的取值范围是{m｜m＜5}. 若选③C⊆（∁RA），∵∁RA＝{x｜x≤－1或x≥3}，∴m－2≥3， 即m≥5，∴实数m的取值范围是{m｜m≥5}. 16.解：（1）若命题p为真命题，即方程x2＋（2m－4）x＋m＝0有两个不相等的实数根， 则有Δ＝（2m－4）2－4m＝4m2－20m＋16＞0， 解得m＜1或m＞4. ∴实数m的取值范围为{m｜m＜1或m＞4}. （2）若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立. 设y＝x2－4x＋13，则只需2≤x≤3时，m2≤ymin即可. ∵y＝x2－4x＋13＝（x－2）2＋9，2≤x≤3， ∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时，实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤3}. ∵命题p，q一真一假， ∴若命题p为真命题，命题q为假命题，则有解得m＜－3或m＞4； 若命题p为假命题，命题q为真命题，则有解得1≤m≤3. 综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m｜m＜－3或1≤m≤3或m＞4}. 17.解：（1）当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0， 解不等式可得＜x＜1， 所以不等式的解集为{x｜＜x＜1}. （2）若a＜1，关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0， 当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0， 解得x＞1； 当0＜a＜1时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，由＞1解不等式可得1＜x＜， 当a＜0时，化简不等式可得a（x－）（x－1）＜0，解不等式可得x＞1或x＜， 综上可知，当a＝0时，不等式解集为{x｜x＞1}， 当0＜a＜1时，不等式解集为{x｜1＜x＜}， 当a＜0时，不等式解集为{x｜x＜或x＞1}. 18.解：∵a＞0，b＞0，且（a＋b）＝1， ∴a＋b＝， 又a＋b≥2（当且仅当a＝b时取等号）， ∴≥2，∴ab≤. （1）＋≥2＝≥4，当且仅当a＝b时取等号. （2）∵a＞0，b＞0，∴＋≥2＝≥，当且仅当a＝b时取等号. ∵＜， ∴不存在a，b，使得＋的值为. 19.解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3； 当x＝2时，y＝12， 即解得 所以y＝3x2. 又投资243万元，x年共收入90x万元， 设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N＋）. 令P＞0，即90x－3x2－243＞0， 即x2－30x＋81＜0， 解得3＜x＜27（x∈N＋）， 所以从第4年开始获取纯利润. （2）方案①：年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36，当且仅当x＝9时，取等号， 所以当x＝9时，t取最大值36， 此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）. 方案②：纯利润总和P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N＋）， 当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元， 此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）. 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $