第一章预备知识单元测试-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学第一章预备知识单元测试，覆盖集合运算、不等式解法、基本不等式应用等核心知识，通过基础巩固与创新应用题梯度设计，适配单元复习，提升数学抽象、推理及建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系（1-3题）、基本不等式（4-5题）|第7题“完美集”创新定义，考察抽象能力与逻辑推理| |多选题|3/18|集合参数（9题）、二次函数图像（10题）|第10题结合图像分析性质，体现几何直观与数据分析| |填空题|3/15|集合运算（12题）、几何与函数最值（13题）|13题矩形折叠问题，融合空间观念与函数思想| |解答题|5/77|不等式求解（15题）、实际应用（18题）|18题工厂运费仓储费模型，体现数学建模与应用意识；19题集合与不等式综合，考察逻辑推理|

北师大版高中数学第一章预备知识单元测试 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出B，再根据交集并集概念计算判断.. 【详解】，又， ， 则，不包含于，不包含于，． 故选：D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，求得，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合，可得， 所以 故选：D 3．已知集合，则（） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】先解出集合，再求与的交集. 【详解】解不等式，可得，即. 已知. 求交集=. 故选：C 4．设，且，则的最大值为 A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由已知得，利用“1”的变换，先求的最小值，即可求出结论. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，要注意应用公式的条件“一正”“二定”“三等”缺一不可，属于中档题. 5．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 6．记有限集合中元素的个数为，且，对于非空有限集合、，下列结论：① 若，则；② 若，则；③ 若，则、中至少有个是空集；④ 若，则；其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先阅读题意，取特例 ,,可得①③错误，由集合中元素的互异性可得②④正确. 【详解】解：对于①，取 ,,满足，但不满足，即①错误； 对于②，因为，由集合中元素的互异性可得，即②正确； 对于③，取 ,, 满足，但不满足、中至少有个是空集，即③错误； 对于④，，则集合中无公共元素，则，即④正确； 综上可得②④正确， 故选B. 【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集的运算，属中档题. 7．已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由“完美集”的定义即可判断①错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断②正确；③错误；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断④正确. 【详解】由题意， 对于①：，， 故， 所以集合是“完美集”，故①错误； 对于②：集合是“完美集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或， 即，因为为正数，若都小于等于2，则，所以至少有一个大于2，故②正确； 对于③：由B可知，一元二次方程当取不同值时， 的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故③错误； 对于④：设，则， 所以，又， 当时，，此时“完美集”不存在， 当时，，则，不合题意， 当时，，所以只能是， 由，代入解得， 所以此时“完美集”只有一个，为，故④正确. 综上，正确结论的个数有个. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：对于②③：由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，再进行判断. 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、多选题 9．已知集合，若，则实数a的可能取值为（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系，列方程求解，代入检验即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，不符合题意； 当，即或时．若，不符合题意；若，，符合题意． 故选:AB． 10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时，或 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案. 【详解】因为二次函数的图象的对称轴为， 所以得，故A正确； 当时，，把A选项代入得 ，故B正确； 该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确； 因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为， 所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误. 故选：ABC. 11．已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、填空题 12．已知集合，若，则a的值是____________． 【答案】. 【分析】根据得到方程，求出a的值. 【详解】因为，所以，解得：，经检验均满足题意. 故答案为：. 13．如右图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，则的周长为_________；当__________时，的面积S取得最大值. 【答案】 【分析】（1）根据已知易证，则得，，即可求得的周长； （2）设，再根据勾股定理与三角形全等，求解出与，再由与基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，，，所以，所以，， 所以，所以的周长为. （2）设，，所以，则， 由（1）可知，即，所以， 在中，由勾股定理可得，即，解得， 因为，，所以且，即， 在中，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积S取得最大值. 故答案为：；. 14．设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】先根据不等式成立的条件确定的关系，再将其代入所求式子，最后利用基本不等式求最小值. 【详解】，若对任意，恒有成立， 当时，，此时也应满足，， 又，把代入，得， ，又，，即， ，，则， 令，，则，上式化为， 利用基本不等式可得，， 当且仅当，即等号成立， 则， 故答案为：. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）整理可得，利用配方法分析求解； （2）因式分解分析可得，进而运算求解； （3）化分式为整式可得，结合一元二次不等式运算求解； （4）整理可得，化分式为整式，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 显然，所以不等式的解集为. （2）因为，整理可得， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）因为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. （4）因为，整理可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 16．已知关于的不等式的解集记为集合，集合． (1)当时，求，； (2)已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)命题的否定为“，”，的取值范围是 【分析】（1）先解二次不等式求出集合，代入得到集合，再利用交、并集定义分别求出与； （2）根据存在量词命题否定规则写出命题的否定，由为假得否定为真，即，结合写出集合，再根据包含关系列不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）， 当时，的解集为， 所以， ； （2）存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题的否定为“，”， 因为是假命题，所以，是真命题，即， 因为，所以， 所以的解集为， 因为，所以，解得， 所以， 即的取值范围是． 17．设，且. （1）求证：； （2）用表示的最大值，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用基本不等式可得，从而可证原不等式成立. （2）设，则可得，从而可求的最小值. 【详解】（1）证明：因为（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 又， 所以， 由，得（当且仅当时等号成立）. （2）解：设，则，，， 从而，即. 当且仅当，， 即时，. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式证明不等式时注意代数式的合理变形，对于双重最值问题，注意根据最值构建关于最值的不等式，从而得到最值的范围. 18．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 【答案】当工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 【分析】先由题意设出运费和仓储费的解析式，条件代入确定运费与仓储费之和的表达式，运用基本不等式求解即得. 【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，运费与仓储费之和为万元. 依题意可设，. 时，， 解得： ， 因，由，当且仅当， 即时，取得最小值，最小为20万元. 所以当工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元. 19．已知全集为，实数，满足，集合，集合，集合． （1）若，求、的值； （2）若，求； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1），或，；（2）；（3）. 【解析】（1）化简，求出，根据可得和是一元二次方程的两个实根，从而可得结果； （2）因为，所以，化简，根据交集的概念运算可得结果； （3）解可得解. 【详解】（1），， 因为，所以和是一元二次方程的两个实根， 所以，或，； （2）因为，所以， 所以， ， 所以. （3）因为，所以， 所以，所以或， 所以或. 【点睛】关键点点睛：（1）化为和是一元二次方程的两个实根是解题关键； （3）化为解不等式是解题关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学第一章预备知识单元测试 学科网（北京）股份有限公司 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．设，且，则的最大值为（ ） A． B．6 C． D． 5．已知正实数满足，则下列说法不正确的是（ ） A．的最小值是4 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 6．记有限集合中元素的个数为，且，对于非空有限集合、，下列结论：① 若，则；② 若，则；③ 若，则、中至少有个是空集；④ 若，则；其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知集合，若，则实数a的可能取值为（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（    ）    A． B． C． D．当时，或 11．已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．已知集合，若，则a的值是____________． 13．如右图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，则的周长为_________；当__________时，的面积S取得最大值. 14．设，若对任意，恒有成立，则的最小值是___________． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．求下列不等式的解集： (1) (2) (3) (4) 16．已知关于的不等式的解集记为集合，集合． (1)当时，求，； (2)已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 17．设，且. （1）求证：； （2）用表示的最大值，求的最小值. 18． 某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.求当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元. 19．已知全集为，实数，满足，集合，集合，集合． （1）若，求、的值； （2）若，求； （3）若，求的取值范围. $