第5章《正切函数的图像和性质》教学设计2026-2027学年人教A版高一数学必修第一册

该高中数学教学设计聚焦正切函数的图像和性质，通过复习正弦函数“定义→性质→图像”的研究流程，引导学生类比迁移，提出正切函数研究思路，搭建从旧知到新知的学习支架。 以“代数性质→几何图像→归纳性质”为框架，用单位圆正切线作图突破图像画法难点，培养几何直观（数学眼光），通过代数推导周期性、奇偶性发展逻辑推理（数学思维），多元评价（自评、组评、师评）助力学生构建三角函数研究通用框架，提升教师教学效率与学生学习深度。

《正切函数的图像和性质》教学设计 一、课题：正切函数的图像和性质 二、教学内容分析 《正切函数的性质与图像》选自人教 A 版必修四第五章第四节第三小节，主要研究正切函数的周期性、奇偶性、单调性与值域。本节内容是在学生学习了正弦函数、余弦函数图像及其性质的基础上，对又一个具体的三角函数的学习，其研究方法与前面研究正弦、余弦函数的图像与性质的方法类似。本节课的学习有着重要的作用，有助于发展学生的数学抽象、直观想象、类比思想。 三、学情分析 学生已系统学习函数的基本性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），并掌握了正弦、余弦函数的图像与性质，包括“五点法 ”作图、单位圆中的三角函数线以及诱导公式等核心内容。同时，学生已具备一定的数形结合、类比推理和数学建模能力，能够通过图像分析函数特征，并利用代数方法验证几何观察。 高一学生的抽象思维能力正处于快速发展阶段，已能初步理解周期性、对称性等函数性质，并能运用换元法处理复合函数问题。然而，在面对定义域不连续、图像非光滑的函数（如正切函数）时，其直观想象与逻辑推理能力仍需加强，尤其是在将几何观察转化为严谨数学表达方面存在挑战。因正切函数性质较为特殊（如间断性、无限趋近），部分学生易产生困惑甚至畏难情绪，倾向于依赖记忆而非理解。 四、教学目标 1.通过诱导公式，先从代数角度获得正切函数的周期性和奇偶性，将正切函数在整个定义域的图像和性质问题归结到[0,2π]上。 2.借助单位圆，利用正切线在区间[0,2π]上取特殊点画出函数y =tanx(x∈[0, 2 (兀)))的图像，准确把握 正切函数的图像和特征，提升学生数学抽象与直观想象能力。 3.利用奇偶性和周期性画出正切函数在整个定义域上的图像，理解正切的定义域｛x |x ≠ kπ + , k ∈ Z｝对于图像的几何意义.在观察图像的基础上，归纳概括正切函数单调区间的一般形式，并写出函数的值域，提高学生逻辑推理的数学素养。 五、教学重点、难点 教学重点：正切函数的图像和性质。 教学难点：正切函数图像的画法以及掌握正切函数定义域与单调性。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 六、评价设计 1.诊断性评价：课前通过课堂提问，诊断学生对三角函数基础知识的掌握程度，同时观察学生对“类比研究方法 ”的熟悉度，为后续教学调整起点。 2.过程性评价：课堂中通过小组讨论展示、正切线作图实操、性质推导发言等环节，采用“教师观察+同伴互评 ”方式，重点关注学生是否能将代数性质（周期性、奇偶性）与几何图像结合，以及在突破“ 间断点 ”“渐近线 ”等难点时的思维过程，及时给予口头反馈。 3.表现性评价：通过例题提升评价学生对知识的综合应用能力，重点考查定义域、单调区间的推导准确性，以及图像与性质的对应关系，对学生进行课堂表现量化评价。 学生课堂表现评价量表 评价维度 评价内容 自我评价 组内评价 教师评价 参与态度 积极参与探究 A B C A B C A B C 与小组同学交流讨论思路 A B C A B C A B C 观察图像研究性质 A B C A B C A B C 任务能力 探究目标明确 A B C A B C A B C 抽象概念、辨析内涵 A B C A B C A B C 推导形式多样化 A B C A B C A B C 素养养成 发现问题、解决问题的能力提升 A B C A B C A B C 清晰表达推导思路 A B C A B C A B C 归纳求解程序 A B C A B C A B C 第 2 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 七、教学过程任务设计 环节名称 教师任务 学生任务 设计意图 时 间 复习导入类比迁移 任务一 教师提出问题 1. 教师提问：我们之前研究正弦函数的流程是什么？（定义→性质→ 图像）用到了哪些工具？（单位圆、诱导公式） 2. 引出问题：正切函数y=tanx 的研究能否沿用类似思路？先从哪个性质入手更方便？ 3. 板书研究框架：定义→代数性质（周期性、奇偶性）→ 图像→其他性质（单调性、值域、对称性） 1. 集体回 答并回顾诱 导公式、单 位圆三角函 数线的应用场景。 2.小组短暂讨论后发 言，提出 “先利用诱 导公式研究 周期性和奇 偶性 ”的猜想。 通过复习旧知，建立“类比研 究 ” 的思维链接，让学生主动提出研究思路，而非 避免被动接受，培养自主探究意识。 2分钟 提出问题，探索性质 任务二 教师引导学生代数推导 1. 引导推导周期性： 教师提问：根据诱导公式 tan(x+π)=tanx，能否说明正切函数的周期？最小正周期是多少？ 结合定义域，强调周期需对定义域内所有 x 成立。 2. 引导推导奇偶性： 教师提问：判断奇偶性的两步是什么？正切函数是否满足？ 教师板书推导过程：①定义域对称； ②tan(−x)=−tanx ，得出 “奇函数 ” 结论 3.教师追问：“周期性和奇偶性对画图象有什么帮助？（可将图像转化到一个周期内，再利用奇偶性补全对称部分）” 利用周期性只需画一个周期的图像，再平移；利用奇偶性可通过右半部分图像对称得到左半部分。 1. 自主推 呈周期性， 通过举例验证周期为π，并判断最小 正周期为π（而非 2π） 2. 分步验 证奇偶性： 先分析定义 域是否关于 原点对称，再代入−x计算，得出 “奇函数 ”结论。 1.通过代数推导，让学生从逻辑上理解正切函数的核心性质，避免死记硬背；同时明确性质的作用，为后续作图环节铺垫。 8分钟 第 3 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 通过几何作图突破难点 ( 2 )任务二 教师引导学生几何作图1. 绘图聚焦核心区间0，π： 教师展示单位圆，讲解“正切线 ”。 2.引导学生取特殊点，并在坐标系中描点尝试画出图像。教师通过 GGB 向学生展示描点连线。 3. 分析趋势与渐近线 教师提问：当 x 趋近于时，正切线长度如何变化？图像会趋近于哪条直线？ 教师板书渐近线方程x=，同理分析 x 趋近于 0 的情况，画出 ( − ,) 内的图像 4. 拓展到整个定义域： 教师引导：根据周期性（周期 π ） , 如何将 − , ( 2 )π的图像平移得到其他区间的图像？ 教师强调 “定义域间断点对应图像的渐近线 ”，让学生在坐标系中补充多个周期的图像。 1. 观察单位圆中正切线的变化，跟随教师步骤在练习本上描出特殊点，记录正切线与 tanx的对应关 系。 2. 小组讨论后发言，并动手画出 ( 2 2 )− π, π 内 的平滑曲线。 3. 自主完成图像平 移，最终得到整个定义域的图像。 1. 通过 “单位圆正切线 ”这一几何工具，将抽象的正切函数转化为直观的线段长度，突破“图像画法”的难点。 2. 同时通过“特殊点→趋势→平移 ”的步骤，让学生逐步掌握图像绘制逻辑，理解“间断性”的几何意义。 10分钟 图像分析归纳性质 任务三 教师引导学生分析图像 1. 引导观察图像，归纳性质： （1）单调性：图像在每个周期内是上升还是 1. 观察图 象后小组讨 论，逐一分析性质。 1.以图像为依据，让学生主动归纳性质。 下降的？能否说‘正切函数在 R 上单调递增 ’？为什么？（强调“定义域不连续，需分区间表述”） （2）值域：图像的 y 值能取到哪些数？是否有最大值或最小值？ （3）对称性：奇函数的图像有什么特征？正切函数的对称中心是什么？（结合图像指出对称中心。） 2. 教师板书性质总结表，将定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域、对称性整理成清晰框架。 2. 记录性质总结表，对比正弦函数性质，标注正切函数的特殊性 （如无最 值、间断定义域）。 而非被动接受结论，培养“数形结合”的思维习惯。 2. 通过与正弦函数对比，强化正切函数的特殊特征，避免性质混淆。 10分钟 通过例题应用巩固提升 任务四 教师引导学生完成例题1. 教师出示例题。 教师重点针对例6 引导学生用“换元法”分析，则原函数化为y=tant，结合y=tant 的性质推导原函数性质。 1. 自主完成例题，同桌互查答案，纠正错误。 通过复合函数例题，检验学生对正切函数性质的应用能力，强化“换 元法”这一核心方法，实现知识从“理解”到 “应用”的提升。 8分钟 课堂总结，梳理脉络 任务五 教师提问学生回顾本节课内容。 1. 本节课我们如何研究正切函数？（类比正弦函数：代数性质→几何图像→ 归纳性质→应用） ” 2. 强调关键节点：正切线的几何意义、渐近线与定义域的关系、单调性的区间表述。 3. 布置课后任务：对比正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，整理成表格。 1. 集体回 顾本节课研 究流程， 口 头复述关键知识点。 2. 记录课 后任务，明 确定后续复习方向 通过梳理研究脉络，帮助学生构建“三角函数研究 ”的通用框架，为后续学习其他三角函数奠定方法基础。 2.通过对比任务，强 2分钟 化知识间 的联系与区别。 八、板书设计 5.4.3 正切函数的性质与图像 1. 周期性 2. 奇偶性 3. 单调性 4. 值域 九、作业设计 （一）复习巩固 1.求函数y=tan3x 的定义域。 （教科书第 213 页练习第 3 题） 2.求下列函数的周期： （教科书第 213 页练习第4 题） 3.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小： （教科书第213 页练习第5 题） （二）综合应用 1. 求函数 的单调区间。 （教科书第 214 页练习第 14 题） 十、教学反思和改进 本节课在“ 图像平移拓展到整个定义域 ”环节，部分基础薄弱学生对“渐近线与定义域间断点的对应关系 ”理解不透彻；在例题讲解时，对“ 复合函数换元法 ”的步骤拆解不够细致，导致少数学生在求单调区间时出现区间端点错误，后续可在黑板上分步书写换元过程（如“设t=... →求 t 的范围→ 回代求 x 的范围 ”），并增加 1 道简单复合函数练习题，即时巩固。 另外课堂评价以教师反馈和同伴互评为主，缺乏学生自我反思环节，后续可在课堂结尾增加学生回答，及时了解学生的学习困惑，调整后续教学节奏。在后续学习“三角函数的图像变换 ”（如y=Atan(ωx+φ)）时，可先复习本节课的正切函数图像画法和性质，通过“ 旧知迁移 ”降低新内容的学习难度；同时，可引入生活中的正切函数应用案例（如“ 山坡坡度与正切值的关系 ”），提升学生的知识应用意识。 第 7 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $