专题04 基本不等式讲义【10大考点】-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理直接法、“1”的妙用、配凑法等10大高频考点，从基础方法到技巧应用再到实际问题，构建递进式学习支架，助力学生逐步掌握求最值及证明不等关系的方法。 资料亮点在于考点分类细致，精选各地期末、期中检测真题，注重数学思维的逻辑推理与数学眼光的现实观察，如通过仓库选址等实际应用问题培养用数学解决实际问题的能力，通过证明题提升数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生针对性练习，查漏补缺。

专题04 基本不等式高频考点精练 10大考点汇总 考点一　直接法求最值 考点二　“1”的妙用求最值 考点三　配凑法求最值 考点四　消元法求最值 考点五　换元法求最值 考点六　二次商式求最值 考点七　对勾函数求最值 考点八　基本不等式的恒成立问题 考点九　基本不等式的实际应用 考点十　由基本不等式证明不等关系 题型突破 考点一　直接法求最值 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 3．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【答案】（1）7；（2） 【分析】（1）根据基本不等式求解即可. （2）求出的范围，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值是； 4．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【详解】因为，所以，当且仅当即时取等号. 考点二　“1”的妙用求最值 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 6．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知正数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）利用基本不等式化简即可求解. （2）方法1，由已知可得，然后利用“1”的代换以及基本不等式化简即可求解； 方法2，由已知可得，所以，再利用基本不等式即可求解； 方法3，构造关于的二次不等式，结合一元二次不等式的解法求的最小值. 【详解】（1）因为，且，则， 即，所以. 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8． （2）解1：因为，，且，则， 可得， 当且仅当，即，即，时等号成立； 所以的最小值为． 解2：由得． 所以 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 解3：由,得， ，又可得. 当且仅当，时等号成立， 7．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 8．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 考点三　配凑法求最值 9．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 10．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 11．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)已知，且，求的最大值. (3)当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据题意结合不等式求最值，注意对齐形式； （3）根据题意结合基本不等式求最值，注意符号的处理. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，所以的最大值为. 12．（25-26高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）最小值为4. 【分析】（1）分子分母同时除以，然后结合基本不等式即可求解最大值； （2）利用“常数代换法”结合基本不等式即可求解最小值； （3）利用配凑法结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】（1）因为，所以， 又由，当且仅当，即时取等号. 有，可得的最大值为. （2）由，有. 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为. （3）由， 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为4. 考点四　消元法求最值 13．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知等式可得，从而可结合基本不等式求解的最小值. 【详解】因为，当时，等式不成立， 所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 14．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】12 【分析】由题，可得，且，则，利用基本不等式求解. 【详解】由，，得，且， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 考点五　换元法求最值 17．（25-26高三上·山东菏泽·期末）（多选）设，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．无最小值 【答案】ABC 【分析】利用1的妙用可判断A，通过等量代换，结合二次函数可判断B,C，利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由可得， ， 因为，当且仅当且时等号成立， 即，所以的最小值为，A正确； 对于B，由可得，即，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 即，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由可得，， 当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误. 故选：ABC 18．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【分析】运用换元法与基本不等式中“1”的妙用，即可得解. 【详解】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 19．（2026高三·全国·专题练习）若实数满足且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】利用代数变形与换元法将条件简化，首先由作因式分解并设对称代换，将原式转化为关于新变量的多项式，然后，通过均值不等式或配方法求出最小值；另一思路是齐次化处理，将目标与条件相除构造出关于比值的二次方程，利用判别式法确定目标式的取值范围，进而分析得到最小值. 【详解】法一：，令，则， 所以， 当且仅当，等号成立. 法二（齐次化）：令，同除以得：，令，所以， 此方程有解，即，所以或（舍）. 故答案为： 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 考点六　二次商式求最值 21．（2026高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 【答案】1 【解析】，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵，∴∴ 所以 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为 【点睛】运用基本不等式求解问题时应满足“一正二定三相等”. 22．（25-26高二上·陕西商洛·期末）（1）解关于的不等式：； （2）已知，其中，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将所求不等式变形为，利用高次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将函数的解析式变形为，利用基本不等式可求得函数在上的最小值. 【详解】（1）原不等式可化为且，即， 解之得. 综上，原不等式的解集为； （2），则， 由基本不等式得 （当且仅当时，即当时取得等号） 因此，函数的最小值为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求函数的最值，涉及高次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 23．（25-26高三上·江苏常州·期末）求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知,求的最大值,以及取得最大值时的值. 【答案】时,有最大值. 【解析】对函数变形，结合基本不等式求解最大值，以及最值取得的条件. 【详解】解:. , 当且仅当,即时,取等号. 当时,有最大值. 【点睛】此题考查基本不等式的应用，根据基本不等式求函数的最大值，需要注意考虑最值取得的条件. 考点七　对勾函数求最值 25．（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 26．（25-26高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案. 【详解】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时， 故，则的取值范围是， 故答案为： 27．（25-26高二上·河南·阶段检测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先化简函数为，再进行换元，结合t的范围，根据对勾函数的单调性求的最小值即得结果. 【详解】因为，定义域为. 令，所以，，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立. 故根据对勾函数在上单调递减，可知在上递减， 所以时，，此时，故函数的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点点睛： 本题易错点在于求函数最小值时直接使用基本不等式，实际上利用基本不等式求最值时一定要确定取等号条件成立，而本题不成立，不能使用基本不等式求最小值. 28．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知，则函数的最大值为___________. 【答案】 【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 考点八　基本不等式的恒成立问题 29．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最大值，从而得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 又对任意恒成立，所以. 故答案为：. 30．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测），不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 【答案】B 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后利用恒成立即可求解 【详解】由基本不等式可知， 当且仅当取得等号，由题意， ∴正数的最小值是16. 故选：B 31．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）对任意的正实数x，y，恒成立，则k的最小值为______． 【答案】 【分析】将恒成立问题分离参数转化为最值问题，分离后，利用基本不等式求最值可得. 【详解】依题意x，y为正实数，则， 则恒成立， 因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，且当取满足的任意正实数时等号成立. 所以. 所以，即k的最小值为． 故答案为：. 32．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】首先得，进一步，从而可得，解得即可得解. 【详解】因为，，所以，即，得， 所以，当且仅当时等号成立． 由，得， 整理得，即， 所以．因为存在实数，使得恒成立， 所以，即的最小值为． 故答案为：. 考点九　基本不等式的实际应用 33．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 34．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 35．（2026高一·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】(1) (2)当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【分析】（1）根据矩形面积公式即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由则，， 所以. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 36．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 考点十　由基本不等式证明不等关系 37．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知都是正数． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1) (2) 要证，即证， 即证， 由， 当且仅当时，等号成立，所以． 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为证明，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：因为都是正数，则， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. （2）略 38．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小关系； (2)求证：； (3)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助作差法计算即可得； （2）（3）借助基本不等式计算即可得； 【详解】（1）， 由，，均为正实数且，故、、， 则，故； （2） ， 当且仅当时等号成立， 故； （3）， 当且仅当，即、时等号成立， 故的最大值为. 39．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式可得；令解可利用换元法结合二次函数的性质可得； （2）由基本不等式的乘“1”法可得； （3）由基本不等式可得；令解是将不等式左边乘以，再结合基本不等式可得. 【详解】（1）因为，，且，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． 第（1）问还可以这样解答： 因为，所以， 所以， 当时，的最小值为． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值是． （3）证明：因为，所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以． 第（3）问还可以这样证明： ， 当且仅当，时，等号成立， 所以． 40．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式高频考点精练 10大考点汇总 考点一　直接法求最值 考点二　“1”的妙用求最值 考点三　配凑法求最值 考点四　消元法求最值 考点五　换元法求最值 考点六　二次商式求最值 考点七　对勾函数求最值 考点八　基本不等式的恒成立问题 考点九　基本不等式的实际应用 考点十　由基本不等式证明不等关系 题型突破 考点一　直接法求最值 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 3．（25-26高一上·山西晋城·期末）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 4．（25-26高一下·青海海东·期末）已知，则的最小值为________． 考点二　“1”的妙用求最值 5．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 6．（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知正数满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值 7．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 考点三　配凑法求最值 9．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 10．（25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 11．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)已知，且，求的最大值. (3)当时，求的最大值. 12．（25-26高一上·河北邯郸·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）已知，，且，求的最小值. 考点四　消元法求最值 13．（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 14．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为__________． 15．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若正实数，满足，则的最小值为______. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 考点五　换元法求最值 17．（25-26高三上·山东菏泽·期末）（多选）设，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．无最小值 18．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 19．（2026高三·全国·专题练习）若实数满足且，则的最小值为________. 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 考点六　二次商式求最值 21．（2026高一·全国·专题练习）设，求的最大值. 22．（25-26高二上·陕西商洛·期末）（1）解关于的不等式：； （2）已知，其中，求的最小值． 23．（25-26高三上·江苏常州·期末）求函数的最小值. 24．（25-26高一·全国·课后作业）已知,求的最大值,以及取得最大值时的值. 考点七　对勾函数求最值 25．（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 26．（25-26高三·全国·课后作业）设，则的取值范围是______． 27．（25-26高二上·河南·阶段检测）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知，则函数的最大值为___________. 考点八　基本不等式的恒成立问题 29．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是______. 30．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测），不等式恒成立，则正数的最小值是（   ） A．8 B．16 C．27 D．36 31．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）对任意的正实数x，y，恒成立，则k的最小值为______． 32．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）已知，，满足，若存在实数，使得恒成立，则的最小值为______． 考点九　基本不等式的实际应用 33．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 34．（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 35．（2026高一·全国·专题练习）如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． (1)设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 36．（25-26高一上·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 考点十　由基本不等式证明不等关系 37．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知都是正数． (1)求的最小值； (2)证明：． 38．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小关系； (2)求证：； (3)若，求的最大值； 39．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)证明：． 40．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $