2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系，涵盖相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种类型及几何法、代数法两种判断方法。通过动态演示两圆移动观察公共点个数变化，衔接学生已有经验，为量化判断构建学习支架。 此资料以数形结合为核心特色，通过几何直观（动态演示）与代数运算（联立方程）对比，培养直观想象与逻辑推理素养，如例题用圆心距与半径关系精准判断位置，作业2探究动点轨迹方程提升数学建模能力。助力教师高效教学，学生深化知识理解与核心素养发展。

人教A版 高二 数学 选择性必修第一册 2.5.2 圆与圆的位置关系 教学设计-2026-2027学年 一、教学设计 课程基本信息 课题 圆与圆的位置关系 教材版本 人教A版 选择性必修第一册 章节 第二章 2.5.2 圆与圆的位置关系 学段 高中 年级 高二 学科 数学 课型 新授课 二、教学目标 1. 知识目标：理解两圆相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种位置关系的定义，掌握用圆心距 与两圆半径 、 的关系判断两圆位置关系的方法。 2. 能力目标：能根据两圆方程选择代数法或几何法判断位置关系，在联立方程组与圆心距比较的对比中提升运算求解与逻辑推理能力。 3. 素养目标：在探究动点轨迹方程并判断其与圆的位置关系的过程中，体会数形结合与化归思想，增强直观想象与数学建模素养。 三、教学内容 本节课围绕两圆位置关系的判断方法展开。两个圆之间存在三种位置关系：两圆相交有两个公共点，两圆相切包括外切与内切只有一个公共点，两圆相离包括外离与内含没有公共点。判断方法有两条路径：一是联立两圆方程，由方程组解的个数判断位置关系；二是把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 ，与两半径之和 、两半径之差的绝对值 比较，依据 时相交、 时外切、 时内切、 时外离、 时内含进行判定。此外，还需利用轨迹方程研究动点轨迹并判断其与定圆的位置关系。 教学重点：用圆心距与两半径的关系判断两圆的位置关系。教学难点：内切与外切、内含与外离的区分，以及动点轨迹方程的探求。 四、教学重点 重点：用圆心距 与两圆半径 、 的关系判断两圆的位置关系。 难点：内切与外切、内含与外离的准确区分，以及动点轨迹方程的探求与位置关系判断。 五、教学过程 1. 情境导入 教师在黑板上画两个圆，让两圆从远到近移动，引导学生观察两圆公共点个数的变化。教师提问：两圆在移动过程中，公共点的个数有哪几种情况？根据公共点个数，两圆的位置关系可以分成几类？预设学生回答：公共点个数有 个、 个、 个三种情况，相应地两圆位置关系可分为相离、相切、相交三类。教师追问：相切和相离是否还能进一步细分？预设学生回答：相切可分外切与内切，相离可分外离与内含。设计意图：从直观图形入手，引导学生回顾已有经验，为量化判断奠定基础。 2. 新知探究 教师指出，两个圆之间存在以下三种位置关系：两圆相交有两个公共点；两圆相切包括外切与内切，只有一个公共点；两圆相离包括外离与内含，没有公共点。教师提问：如何用数量关系来精确刻画上述五种位置关系？引导学生回顾圆心距 与两圆半径 、 的联系。师生共同归纳：设两圆圆心分别为 、，半径分别为 、，圆心距 ，则 时两圆相交； 时外切； 时内切； 时外离； 时内含。教师补充：除几何法外，还可以联立两圆的方程，判定方程组解的个数，若方程组有两组解则相交，有一组解则相切，无解则相离。设计意图：让学生在几何直观与代数方程两个视角下建立判断方法，突出数形结合思想。 3. 例题精讲 例1 已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。 解析：将圆 方程化为标准方程，得 ，圆心 ，半径 。将圆 方程化为标准方程，得 ，圆心 ，半径 。圆心距 。两半径之和 ，两半径之差的绝对值 。因为 ，即 ，所以两圆相交。 答案：两圆相交。 例2 已知圆 ： 与圆 ：，判断两圆的位置关系。 解析：圆心 ，半径 ；圆心 ，半径 。圆心距 。两半径之和 ，两半径之差的绝对值 。因为 ，即 ，所以两圆外离。 答案：两圆外离。 4. 巩固练习 练习1 判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。 解析：圆心 ，半径 ；圆心 ，半径 。圆心距 。，。因为 ，所以两圆外离。答案：两圆外离。 练习2 判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。 解析：圆心 ，半径 ；圆心 ，半径 。圆心距 。，。因为 ，所以两圆外切。答案：两圆外切。 5. 课堂小结 教师引导学生回顾本节课的核心内容：两圆位置关系分为相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）三种；判断方法有几何法与代数法两种，几何法通过比较圆心距 与 、 的大小来判断，代数法通过联立方程组解的个数来判断。设计意图：帮助学生梳理知识脉络，明确两种判断方法的适用情境。 6. 课后作业 作业1 判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。解析：圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 ；圆 标准方程为 ，圆心 ，半径 。圆心距 。，。因为 ，即 ，所以两圆相交。答案：两圆相交。 作业2 已知点 满足 ，判断点 的轨迹与圆 的位置关系。解析：点 的轨迹方程为 ，是以原点 为圆心、半径 的圆。圆 的圆心为 ，半径 。圆心距 。，。因为 ，所以两圆外离。答案：点 的轨迹与圆 外离。 学科网（北京）股份有限公司 $