2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，通过复习直线与圆位置关系及圆的方程激活旧知，构建从直线与圆到圆与圆位置关系的类比迁移学习支架，梳理五种位置关系的判定逻辑。 资料特色在于运用几何画板动态演示两圆从外离到内含的连续运动，直观呈现圆心距与半径关系，结合联立方程组与圆心距比较法培养逻辑推理和数学运算能力，含参讨论与轨迹问题例题提升模型意识，助力学生深化理解，为教师提供清晰教学路径。

数学 教学设计-2026-2027学年 人教A版 高二 2.5.2 圆与圆的位置关系 选择性必修第一册 教学设计 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 教材版本 人教A版 选择性必修第一册 章节 第二章 2.5.2 课题名 圆与圆的位置关系 课时 1课时 课型 新授课 授课对象 高二学生 授课地点 网络多媒体教室 授课教师 数学组 审核 教研组 日期 2026年秋季 备注 教材分析 本节内容位于人教A版选择性必修第一册第二章2.5.2，是直线与圆的方程的综合应用延伸。教材在完成直线与圆的位置关系探究后，自然过渡到圆与圆的位置关系。本节不仅是对圆的方程的深化应用，也为后续学习空间中的球面位置关系及圆锥曲线综合问题奠定基础。教材呈现了两种判断方法：联立方程组解的个数法与圆心距比较法，体现了数与形结合的解析几何核心思想。 从知识结构看，本节既复习了圆的标准方程与一般方程的互化，又引入了利用代数手段解决几何关系的通用范式。动点轨迹与圆的位置关系判断进一步强化了轨迹思想，是提升学生建模与推理论证能力的重要载体。 学情分析 高二学生在平面几何阶段已初步接触过两圆相交、相切、相离的直观概念，且已掌握圆的标准方程、一般方程及直线与圆的位置关系判断方法，具备了一定的数形结合意识。 但学生在具体操作中仍存在以下障碍：一是将一般方程化为标准方程时，配方过程易出错，导致半径计算失误；二是对内切与外切、内含与外离的临界条件区分不清，容易混淆 d={|−|} 与 d=+ 的适用边界；三是在处理含参方程或动点轨迹问题时，缺乏系统的分类讨论策略。教学中需通过直观演示与对比辨析，帮助学生突破上述难点。 课程标准及目标分析 课程标准要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，体会用代数方法解决几何问题的基本思想。 素养目标1（数学建模与直观想象）：理解两圆三种位置关系的定义，能通过几何直观识别相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含），建立圆心距 d 与半径 、 的不等关系模型。 素养目标2（逻辑推理与数学运算）：掌握联立方程组与圆心距比较两种判断方法，能准确化圆的一般方程为标准方程并完成位置关系的代数判断；能在动点轨迹问题中合理建系、求轨迹方程并判断其与已知圆的位置关系。 教学重难点 重点：用圆心距 d 与两半径 、 的关系判断两圆的位置关系，即掌握 {|−|}<d<+ 时相交、d=+ 时外切、d={|−|} 时内切、d>+ 时外离、d<{|−|} 时内含这五条判定法则。 难点：内切与外切、内含与外离的准确区分，以及动点轨迹方程的探求与位置关系判断。突破策略：借助几何画板动态演示两圆从远到近的连续运动过程，让学生在运动中观察临界状态；对动点轨迹问题，引导学生先设动点坐标，再利用条件消参，最后与已知圆比较。 1、网络多媒体教室 本节课安排在网络多媒体教室进行，确保每位学生可通过投影清晰观察教师演示的几何画板动态过程。教室配备交互式白板，支持教师即时标注两圆位置变化时的圆心距数值，方便学生记录关键数据。网络环境便于调取电子教材与数字资源，辅助学生自主回顾圆的方程相关内容。 2、几何画板软件、投屏软件 利用几何画板软件动态演示两圆位置关系的变化过程：固定一个圆，拖动另一个圆的圆心，实时显示圆心距 d 与两圆半径 、 的数值，让学生直观感受 d 从大到小变化时，两圆依次经历外离、外切、相交、内切、内含五种状态。投屏软件用于展示学生课堂练习成果，便于全班共评典型错误与优秀解法，实现即时反馈与师生互动。 教学过程 环节一：复习导入 教师活动 学生活动 设计意图 提问：上节课我们学习了直线与圆的位置关系，判断方法有哪些？圆的方程有哪两种形式？请写出圆 (x−a)²+(y−b)²={r²} 的圆心与半径。 回顾回答：代数法联立方程组看解的个数，几何法比较 d 与 r。圆心为 (a,b)，半径为 r。一般方程可通过配方化为标准方程。 激活旧知，为类比迁移到圆与圆的位置关系做准备。 环节二：探究两圆的位置关系定义 教师活动 学生活动 演示几何画板：拖动圆 逐渐靠近圆 ，观察公共点个数的变化。提问：两圆的公共点个数有几种情况？ 观察并归纳：两个公共点、一个公共点、没有公共点三种情况。 追问：一个公共点时，两圆位置有何不同？没有公共点时呢？ 思考后回答：一个公共点时，可能在外面碰着（外切），也可能在里面碰着（内切）；没有公共点时，可能完全分开（外离），也可能一个在另一个里面（内含）。 总结：两个圆之间存在以下三种位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。 记录定义，理解相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）的含义。 环节三：探究判断方法一——联立方程组 教师活动 学生活动 提问：类比直线与圆的位置关系，能否通过联立两圆方程，由方程组解的个数判断位置关系？ 思考回答：可以联立两个圆的方程，若方程组有两组解则相交，一组解则相切，无解则相离。 追问：相切时如何区分外切与内切？相离时如何区分外离与内含？ 讨论后回答：仅靠方程组解的个数无法区分，需结合图形或圆心位置判断。 归纳：联立两圆方程，消元后得一元二次方程，计算判别式 Δ。Δ>0 时相交；Δ=0 时相切（需结合图形判断内切还是外切）；Δ<0 时相离。 记录方法一及其局限性，体会代数法的适用范围。 环节四：探究判断方法二——圆心距与半径比较法 教师活动 学生活动 引导：把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 d，与两半径之和 +、两半径之差的绝对值 {|−|} 比较。提问：d 在什么范围时两圆相交？ 计算并回答：当 {|−|}<d<+ 时，两圆相交。 追问：d=+、d={|−|}、d>+、d<{|−|} 分别对应什么位置关系？ 回答：d=+ 时外切；d={|−|} 时内切；d>+ 时外离；d<{|−|} 时内含。 总结判断方法二：把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 d，与两半径之和 +、两半径之差的绝对值 {|−|} 比较：{|−|}<d<+ 时两圆相交；d=+ 时外切；d={|−|} 时内切；d>+ 时外离；d<{|−|} 时内含。 完整记录五种位置关系的判定不等式，理解临界值的几何意义。 环节五：例题精讲——圆心距法判断位置关系 教师活动 学生活动 设计意图 出示例题：已知圆 ：x²+y²−2x+4y+1=0，圆 ：x²+y²+2y−3=0，试判断圆 与圆 的位置关系。请同学们独立完成。 独立将两圆方程化为标准方程，求圆心距 d，比较半径和与差。 巩固圆心距比较法，训练配方与计算能力。 巡视指导，关注配方错误。请一位学生板演并讲解。 板演：：(x−1)²+(y+2)²=4，圆心 (1,−2)，=2；：x²+(y+1)²=4，圆心 (0,−1)，=2。d==。因为 +=4，{|−|}=0，0<<4，所以两圆相交。 暴露典型错误，规范解题步骤与书写格式。 追问：如果用联立方程组法，结果是否一致？请简述思路。 回答：联立消去 x²+y²，得 −2x+6y+4=0，代入其中一个方程，所得一元二次方程判别式 Δ>0，故相交，结果一致。 沟通两种方法，体会方法二在计算量上的优势。 例题解析：圆 ：x²+y²−2x+4y+1=0 配方化为 (x−1)²+(y+2)²=4，圆心为 (1,−2)，半径 =2；圆 ：x²+y²+2y−3=0 配方化为 x²+(y+1)²=4，圆心为 (0,−1)，半径 =2。圆心距 d===。计算 +=2+2=4，{|−|}=|2−2|=0。因为 0<<4，即 {|−|}<d<+，所以圆 与圆 相交。答案：两圆相交。 环节六：例题精讲——含参讨论与轨迹问题 教师活动 学生活动 设计意图 评价方式 出示例题：已知圆 M：x²+y²=1，点 P(2,0)，过点 P 作圆 M 的两条切线，切点分别为 A、B，求弦 AB 所在直线的方程，并判断以 AB 为直径的圆与圆 M 的位置关系。请同学们分组讨论。 分组讨论：利用几何性质求 AB 所在直线方程，再求以 AB 为直径的圆的方程，最后比较圆心距与半径。 综合运用轨迹思想与位置关系判断，提升建模与推理能力。 小组互评，教师点评。 引导：设切点 (x,y) 在圆 M 上，利用 PA⊥MA 建立方程求轨迹。追问：以 AB 为直径的圆的圆心和半径如何确定？ 回答：切点 (x,y) 满足 x²+y²=1 且 ·=0，即 (2−x)(0−x)+(0−y)(0−y)=0，化简得 2x=1，即 x=。故 AB 所在直线方程为 x=。 突破动点轨迹探求难点，体会向量与方程的结合。 教师口头评价。 例题解析：圆 M：x²+y²=1 的圆心为原点 O(0,0)，半径 r=1。点 P(2,0) 在圆外。设切点为 T(x,y)，则 T 在圆 M 上，即 x²+y²=1。又 =(x−2,y)，=(x,y)，由切线性质 ⊥，故 ·=x(x−2)+y·y=x²−2x+y²=0。将 x²+y²=1 代入，得 1−2x=0，解得 x=。故切点 T 的轨迹方程为 x=（在圆 M 上即两点 A、B）。弦 AB 所在直线方程为 x=。以 AB 为直径的圆：AB 为圆 M 的弦，圆心为 AB 中点，即 (,0)，半径为 {|AB|/2}。由 x= 代入 x²+y²=1 得 y=±，故 A(,)，B(,−)，|AB|=，以 AB 为直径的圆的圆心为 (,0)，半径 =。该圆与圆 M 的圆心距 d==，圆 M 半径 =1，=。{|−|}=|1−|=，+=1+=。因为 ≈0.134，=0.5，≈1.866，满足 {|−|}<d<+，所以以 AB 为直径的圆与圆 M 相交。答案：弦 AB 所在直线方程为 x=；以 AB 为直径的圆与圆 M 相交。 环节七：巩固练习与课堂小结 教师活动 学生活动 设计意图 布置课堂练习：1. 判断圆 ：x²+y²−4x−5=0 与圆 ：x²+y²+2x−8y+16=0 的位置关系。2. 若圆 ：x²+y²=4 与圆 ：(x−a)²+y²=1 相切，求实数 a 的值。请同学们独立完成。 独立完成练习，请两位同学板演。 通过基础与含参练习，检验对判断方法的掌握与分类讨论能力。 组织全班共评，引导学生归纳本节两种判断方法及五种位置关系的判定条件。 练习1：：(x−2)²+y²=9，圆心 (2,0)，=3；：(x+1)²+(y−4)²=1，圆心 (−1,4)，=1。d==5，+=4，d>+，外离。练习2： 圆心 (0,0)，=2； 圆心 (a,0)，=1。外切时 d=3，即 |a|=3，a=±3；内切时 d=1，即 |a|=1，a=±1。 巩固知识，形成方法体系。 练习1解析：圆 ：x²+y²−4x−5=0 配方化为 (x−2)²+y²=9，圆心为 (2,0)，半径 =3；圆 ：x²+y²+2x−8y+16=0 配方化为 (x+1)²+(y−4)²=1，圆心为 (−1,4)，半径 =1。圆心距 d====5。计算 +=3+1=4，{|−|}=|3−1|=2。因为 d=5>4=+，所以两圆外离。答案：两圆外离。 练习2解析：圆 ：x²+y²=4 的圆心为 (0,0)，半径 =2；圆 ：(x−a)²+y²=1 的圆心为 (a,0)，半径 =1。圆心距 d=|a|。当两圆外切时，d=+=2+1=3，即 |a|=3，解得 a=±3；当两圆内切时，d={|−|}=|2−1|=1，即 |a|=1，解得 a=±1。答案：a=±3 或 a=±1。 课堂小结：本节课我们学习了两圆的三种位置关系（相交、相切、相离）及其细分（外切与内切、外离与内含）。判断方法一：联立两圆方程，由方程组解的个数判断，其中 Δ=0 时相切（需结合图形判断内切还是外切），Δ<0 时相离；判断方法二：由圆心距 d 与两半径 、 的关系判断，即 {|−|}<d<+ 相交，d=+ 外切，d={|−|} 内切，d>+ 外离，d<{|−|} 内含。在动点轨迹问题中，可先设动点坐标，利用几何条件建立方程消参求得轨迹，再判断其与已知圆的位置关系。 板书设计 2.5.2 圆与圆的位置关系 一、三种位置关系：相交（两个公共点）、相切（外切与内切，一个公共点）、相离（外离与内含，没有公共点） 二、判断方法一：联立两圆方程，由方程组解的个数判断。Δ>0 相交；Δ=0 相切（需结合图形判断内切还是外切）；Δ<0 相离。 三、判断方法二：由圆心距 d 与两半径 ， 的关系判断。{|−|}<d<+ 相交；d=+ 外切；d={|−|} 内切；d>+ 外离；d<{|−|} 内含。 四、例题示范区 五、课堂练习与小结区 教学反思 本节课通过几何画板动态演示，学生直观感受了两圆位置关系的五种状态，对内切与外切、内含与外离的区分效果较好。在方法选择上，多数学生能体会到圆心距比较法在计算量上优于联立方程组法，但在配方化标准方程环节仍有少数学生出现符号错误，如 (y+2)² 误写为 (y−2)²，需在后续练习中持续强化。 含参讨论题中，部分学生遗漏内切情形，仅写出外切条件，说明对临界关系 |a|=1 的理解不够深入。动点轨迹问题对学生的向量法与方程思想要求较高，小组讨论中多数小组能正确求出 x=，但在判断以 AB 为直径的圆与圆 M 的位置关系时，半径计算与不等式比较耗时较长，后续可增加专项训练以提升运算熟练度。整体而言，教学目标基本达成，学生活动参与度高，建议下节课增加变式训练以巩固含参讨论方法。 学科网（北京）股份有限公司 $