单元集训卷28直线的方程(培优)-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线方程核心概念，通过基础题型系统整合倾斜角、斜率、位置关系及距离公式，强化运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倾斜角与斜率|3题|选择、填空|倾斜角与斜率概念生成，从几何直观到代数表达| |直线方程及截距|2题|选择（多选）|截距概念与直线方程形式的推导应用| |位置关系与距离|3题|选择、填空|平行垂直判定与距离公式的逻辑推导| |对称与最值应用|7题|选择、填空、解答|对称问题与最值求解的应用拓展|

单元集训卷27　直线的方程(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·暑假作业）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 6．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 7．（25-26高三·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 11．（25-26高三·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 13．（25-26高三·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 14．（25-26高三·四川眉山·阶段检测）直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 16．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 17．（25-26高三·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 18．（25-26高三·云南文山·阶段检测）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 19．（25-26高三·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷27　直线的方程(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·全国·暑假作业）若直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，直线化为斜截式可得， 所以，所以. 2．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 3．（25-26高三·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】将直线方程化为截距式方程可得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 因此直线在坐标轴上的截距之和为. 故选：D. 4．（25-26高三·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 5．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 6．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【详解】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 7．（25-26高三·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 8．（25-26高三·贵州贵阳·期末）已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 10．（25-26高三·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线的方程为，则（   ） A．原点到直线的距离为 B．任意，点在直线上 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．原点与点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】应用点线距离公式求点线距离判断A，将点代入直线方程确定等式是否成立判断B，先求出坐标轴上的截距，进而求出围成的三角形的面积判断C，应用两点式求斜率，结合直线方程判断两直线是否垂直判定D. 【详解】A：由题设，原点到直线的距离为，对， B：由， 所以任意，点在直线上，对， C：令，则， 令，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，对， D：由原点与点所成直线的斜率为， 而直线的斜率为，显然其不与直线垂直， 所以原点与点不关于直线对称，错. 故选：ABC 11．（25-26高三·江苏宿迁·期末）已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线在轴上的截距为2 C．原点到直线距离的最大值为 D．若直线与直线三条直线有且仅有两个不同的交点，则的值为 【答案】ABD 【分析】把直线方程化为斜截式方程，结合点到直线距离公式、直线与直线位置关系逐一判断即可. 【详解】，所以直线过定点且在轴上的截距为2， 因此选项AB说法正确； 原点到直线距离为， 由， 所以原点到直线距离的最大值为，所以选项C说法不正确； 直线， 所以这两个直线的斜率分别为，显然两个斜率不相等也不互为负倒数，因此这两条直线相交，， 所以直线的交点为， 又因为直线和直线都过这一点， 所以要想直线与直线有且仅有两个不同的交点， 所以直线一定要和直线平行，且不与直线重合， 故，所以选项D说法正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·山东青岛·期末）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 13．（25-26高三·上海·期末）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    14．（25-26高三·四川眉山·阶段检测）直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 【答案】 【分析】求出B点关于关于l的对称点的坐标，结合点P到与的距离之差的几何意义，确定当三点共线时，最大，即可求得的方程，联立，即可求得答案. 【详解】设点B关于l的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 16．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】（1）利用点在直线上设坐标，代入点到直线距离公式，解绝对值方程得两点坐标； （2）直接套用平行直线距离公式，去绝对值求出参数的值. 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 17．（25-26高三·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 或 (3)， 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【详解】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 18．（25-26高三·云南文山·阶段检测）已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 19．（25-26高三·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $