单元集训卷20 数列-2027届高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦数列核心知识，通过多题型分层覆盖等差等比定义、通项与求和、性质应用及实际建模，强化知识逻辑与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4题|基本量计算与递推关系|从定义到公式推导，落实抽象能力| |性质探究|多选9-11题|单调性/最值/新定义判断|从性质分析到逻辑推理，发展推理意识| |综合应用|解答15-19题|实际应用与跨知识综合|从模型构建到创新应用，培养应用意识|

单元集训卷20　数列 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（安徽宿州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高三上·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 4．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 6．（25-26高三上·辽宁·期末）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高三上·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知等比数列的公比且，，，记数列的前n项和为，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 11．（25-26高三上·安徽六安·期末）在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（    ） A．若，则为“和封闭数列” B．若，则不为“和封闭数列” C．若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D．若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）等差数列中，前项和为，则当______时，最大． 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求数列的通项公式； (3)设，求． 16．（25-26高三上·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 17．（2026高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 18．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 19．（25-26高三上·四川资阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷20　数列 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（安徽宿州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）已知各项均为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式即可求公比，结合数列各项为负的条件舍去负根，再代入公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，易知， ，代入，， 得 ，化简得， 解得或（舍去）， 所以 . 2．（25-26高三上·云南文山·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】先分公比与讨论，排除后利用等比数列求和公式化简求出，再结合算出首项，最后代入通项公式求得． 【详解】设等比数列的公比为， ①若， 由，得， 则，， 显然，所以不满足题意； ②若， 由，得， 因为，所以， 即， 所以，解得， 由，得，解得， 所以， 综上． 3．（25-26高三上·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】D 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 4．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 5．（2026·湖北武汉·三模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为6天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人至少需要的天数为（    ） A．48 B．54 C．60 D．66 【答案】C 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】设感染人数由增加到需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，感染总人数为， 令，得 ，由于，故， 平均感染周期为6天，感染人数由1增加到2000大约需要天. 6．（25-26高三上·辽宁·期末）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过转化可知为常数列，求得后继而求得，再表示出，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故，则， ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合等比数列的通项公式，根据充分必要条件的定义判断，即可求得答案. 【详解】已知数列满足，，且对任意正整数，都有，其中为常数， 则，所以是一个等比数列，首项为，公比为， 因此，， 当时，满足， 所以，即， 说明数列是一个首项为，公比为的等比数列，充分性成立； 当为等比数列时，由于，，则公比，， 代入，解得，必要性成立； 综上所述，“”是“为等比数列”的充要条件，故C正确. 8．（25-26高三上·四川乐山·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知等比数列的公比且，，，记数列的前n项和为，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：由得. 因为，可得，解得或. 结合，得，A正确； 选项B：由，B正确； 选项C：，因为，则，C正确； 选项D：因， ，两者显然不相等，D错误. 10．（25-26高三上·广东阳江·期末）设等差数列的前项和为，，公差为，则下列说法正确的是（     ） A．是等比数列 B．当且仅当时，取得最大值 C．若，则的最大值为 D．若的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件求出等差数列的通项公式和前项和公式，再根据公式逐一分析选项. 【详解】已知等差数列 中 ， 则，. 对于选项A，， 因为 是等差数列，公差 ，所以 ， 则 ，且 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， A选项正确； 对于选项B，的图象开口向下，对称轴为 ， 因为 为正整数，所以当 或 时， 可以取得最大值， 而 ， 即 的最大值为 30 ，B选项错误； 对于选项C，令 ，即 ，解得 ； 因为为正整数，所以使 成立的的最大值为 11，C选项正确； 对于选项D，令 ，解得 ． 当 时， ；当 时，. ， ， ， 所以 ，D选项正确. 11．（25-26高三上·安徽六安·期末）在无穷数列中，记，若，仍是中的项，则称为“和封闭数列”.下列说法正确的有（    ） A．若，则为“和封闭数列” B．若，则不为“和封闭数列” C．若为“和封闭数列”，则也为“和封闭数列” D．若为无穷等差数列，则一定可以分解成两个“和封闭数列”的和的形式 【答案】ABD 【分析】对A，先计算的前项和，验证对任意正整数，都存在正整数使得，结合“和封闭数列”定义判断；对B，验证的前项和不是数列中的项；对C，取，验证的前项和不是中的项；对D：设无穷等差数列通项为，通过推导验证是否一定能拆分为两个“和封闭数列”的和，判断正误. 【详解】对于A：若 ，则前项和 ， 因为一奇一偶，一定是正整数，记，则，即是数列中的项， 因此是“和封闭数列”，A正确； 对于B：若 ，则，不是的幂，即不在数列中，因此不为“和封闭数列”，B正确； 对于C：取（已证是和封闭数列），其，即为， 的前项和，不存在正整数使得，即不是中的项， 因此不是和封闭数列，C错误； 对于D：任意无穷等差数列可写为 （）， 令 ，，显然 ， 对，前项和 ，取， 由于一定是偶数，因此是正整数，且，故是和封闭数列； 对，前项和 ，是正整数，故是和封闭数列； 因此任意无穷等差数列都可以拆成两个和封闭数列的和，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东聊城·一模）已知为数列的前项和，若，则________. 【答案】11 【分析】利用与的关系计算求解即可. 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）等差数列中，前项和为，则当______时，最大． 【答案】5 【详解】方法一：设等差数列的公差为，由题意可得. 又. 设二次函数，， 显然 的图象过原点，设其与轴的另一个交点为，则， 所以对称轴为，离5较近，所以， 因此当时，最大． 方法二：设等差数列的公差为， 由，得， 即，所以. 所以，所以当时，最大． 14．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求数列的通项公式； (3)设，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等比中项概念和等比数列的基本量运算求出公比，即得其通项； （2）计算的通项，判断其为等差数列，利用等差数列求和公式计算即得； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）依题意得，， ． 因，，则，联立解得，． 则，． （2），， 是以为首项，1为公差的等差数列，． （3）由（2）知 ． 16．（25-26高三上·湖南·期末）已知为等比数列的前n项和，若，． (1)求； (2)为数列的前n项和，，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式将，，统一用首项与公比表示，代入解出公比，再结合前四项和求出首项，即可得到通项； （2）先由前项和分段求出通项，再写出偶数项表达式，前项由个奇数项与个偶数项组成，分开求和再相加得到. 【详解】（1） ， ， . （2）当时，， 当时，， 也满足的情况，所以， 当n为偶数时，， . 17．（2026高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 【答案】(1) (2)1034 (3)存在，1876 【详解】（1）设的公差为， ，， ，，． （2）依题意，在之前插入的1的总个数为， ，故是数列的第项． （3）依题意，， 之前插入的1的总个数为， 故数列中，项及前面的所有项的和为， ∴数列中，及前面的所有项的和为， 而，与之间的1的个数为个， 即在后加842个1，其和为2008，故存在，使． 18．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 19．（25-26高三上·四川资阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）只要证为常数即可； （2）由（i）知，分组求和即可； （ii）由，得，所以．设，利用作差法，判断出数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $