单元集训卷30　圆的方程(培优)-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆的方程核心考点，以位置关系、距离计算、切线性质为主线，构建概念-判定-应用的逻辑链条，强化数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-5、填空12-13|圆与圆/直线位置关系、弦长计算|从圆的方程概念出发，结合距离公式推导位置关系判定法则| |综合提升|选择6-8、多选9-11|最值问题、存在性证明|通过垂径定理、切线性质拓展到面积范围、动点轨迹分析| |拓展探究|解答15-19|交点定圆、切线方程综合|整合圆的方程求法与代数运算，培养模型观念与逻辑推理能力|

单元集训卷30　圆的方程(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 2．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 3．（25-26高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线过定点，在圆内，连接，当和垂直时，最小，由垂径定理得到答案. 【详解】， 令，解得， 故直线过定点， 又，故在圆内， ，故圆心，半径为4， 连接，当和垂直时，最小， 其中， 由垂径定理得. 故选：C 4．（25-26高三·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 6．（2026·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 【答案】D 【分析】根据曲线方程画出图象，再数形结合一一判断即可. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图像如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故A正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故B正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故C正确； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D错误； 故选：D 7．（25-26高三·重庆江北·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到直线过定点 , 过定点，点P的轨迹是以AB为直径的圆，然后判断两个圆的位置关系为外离，进而分析得到的取值范围. 【详解】直线过定点 ，过定点； 由于 与 的斜率乘积为（ 时也垂直），故 ； 因此，交点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆心为半径为 ； 圆圆心为 半径为 ； 圆心距为 ，故两圆外离； ，， 则的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26高三·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 10．（25-26高三·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 13．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 14．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 【答案】(1)证明：直线过定点，直线过定点. 当时，，则，且交点不可能为和. 所以与的交点必在以线段为直径的圆上． 设，由，得，即． 当时，：，：，此时交点，也在圆上. 所以，交点的轨迹方程为（除点）. 综上，对，与的交点在一个定圆上. (2)最大值为，或． 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示及两直线垂直斜率之积为证明即可. （2）设定圆圆心为，结合几何关系求解面积的最大值及取最大值时点的位置，结合两直线垂直求出方程，与定圆方程联立求出点坐标，代入直线即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，设定圆圆心为， 因为，所以当时，的面积取得最大值， 为. 又，则，所以直线：，即． 与定圆方程联立整理得，解得或， 即或， 所以直线为或，即或． 16．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 17．（25-26高三·安徽滁州·期末）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）根据直线过圆心且斜率存在写出直线方程，求出在坐标轴上截距，根据截距相等求解即可； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． 【详解】（1）由题意知，圆心在直线上，故设圆心为， 因为点在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径，即圆的标准方程为. （2）由题意知，直线斜率存在且圆心，设直线的方程为，令，解得，令，解得， 因为直线过圆心且在轴，轴上截距相等，所以，解得 当时，直线，此时轴，轴上截距为0，符合题意； 当时，直线，此时轴，轴上截距为2，符合题意. 综上，直线的方程为或. （3）因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 又直线的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，整理可得， 由，得，即， 解得或， 因为，所以，则，故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 18．（25-26高三·河南鹤壁·阶段检测）已知为坐标原点，点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. (1)若圆心也在直线：上，求圆的方程； (2)在（1）的条件下，求过点的圆的切线的方程； (3)若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（1）由圆心在两直线上，两方程联立求解得出圆心坐标，即可解出. （2）对直线就斜率是否存在讨论，再由切线到圆心的距离为半径求解即可. （3）将问题转化为两圆有交点，从而利用两圆位置关系列得相应不等式，求解即可. 【详解】（1）联立，解得，即， 因为圆的半径为2，故圆的标准方程为. （2）由（1）得， 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离为， 等于半径，恰与圆相切，故符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由圆心到直线的距离， 解得，所以切线方程为，即， 综上，切线的方程为和.    （3）设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由，可得，所以点即在圆上， 又在圆：上，所以圆与圆有公共点， 所以，即①，② 由①解得，由②解得， 综上，圆心的横坐标的取值范围为. 19．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 设直线方程为与圆交点坐标为，， 由消去得到， 即， ，， 又，， 所以 ， 所以为定值. (3)不存在，理由如下： 法一：由已知， 由（2）化简得， 所以， ， 所以由得， 即解得， 由（2）知，即， 所以不存在直线使得. 法二：由是弦中点，得，即有， 所以是直角三角形. 设中点为，由已知得，， 所以点轨迹方程为： 且（点轨迹在圆内），记为圆. 又，即. 设则， 化简得，记为圆，则， 而圆心距. 所以圆与圆相交， 联立， 解得或者， 两圆交点为和， 不在圆内，不满足题意， 所以不存在直线，使得. 【分析】（1）求得直线方程及圆心到直距离，利用公式求解即可； （2）联立直线方程为与圆的方程，消元后利用韦达定理得到，，用坐标表示出，，进一步计算即可. （3）利用坐标表示出点，继而求得,根据建立方程，求解后进一步判断即可；也可以根据，是直角三角形，继而求得点的轨迹方程且，再利用，建立方程，利用两圆的位置关系进行判断即可. 【详解】（1）由已知直线方程为即， 则圆心到直距离， 则. （2）略 （3）略 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷30　圆的方程(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州黔南·模拟预测）已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·二模）已知曲线，点在曲线上，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形的面积为 B．的最小值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．曲线有且仅有2条对称轴 7．（25-26高三·重庆江北·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·湖南·期末）已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 10．（25-26高三·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 11．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·上海宝山·期末）已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 13．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 14．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线：，：． (1)求证：对，与的交点在一个定圆上； (2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的． 16．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 17．（25-26高三·安徽滁州·期末）已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)求过圆心且在轴，轴上截距相等的直线的方程； (3)若直线的横截距为，纵截距为，且直线被圆截得的弦长为，求的最小值. 18．（25-26高三·河南鹤壁·阶段检测）已知为坐标原点，点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. (1)若圆心也在直线：上，求圆的方程； (2)在（1）的条件下，求过点的圆的切线的方程； (3)若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 19．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知圆，点，过点的直线与圆交于不同的两点，（均不在轴上）. (1)若直线的斜率为，求的长度； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)设中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $