单元集训卷12 三角函数与解三角形-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数与解三角形核心考点，通过多样化题型系统覆盖概念应用、性质探究及综合解题，强化知识逻辑与数学运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数性质与变换|8题（如选择2、4、11，解答16、18）|含单调性、周期性、图像变换及恒等变换，多选题考查多维度辨析|以三角函数定义为基础，通过恒等变换推导性质，结合图像深化理解，形成“定义-变换-性质-应用”逻辑链| |解三角形及应用|11题（如选择1、6、8，解答15、17、19）|涉及正余弦定理应用、面积计算、多解问题及实际测量，解答题注重多问递进|以正余弦定理为核心，关联三角形边角关系、面积公式及不等式求最值，构建“定理-关系-计算-应用”问题解决路径|

单元集训卷12　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 6．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7． （    ） A． B． C． D． 8．已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 10．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 11．下列关于函数的说法正确的是（） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 13．如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 14．在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 16．已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 18．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若任意的，均满足，求a的取值范围； (3)设函数，求证：函数有且只有一个零点． 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷12　三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 2．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 则. 3．已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合同角三角函数关系，余弦的差角公式求解即可. 【详解】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 4．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 5．在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 6．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据余弦定理和角C有两解，可得关于c的一元二次方程有两个正根，从而求解. 法二：根据角C有两解可知三角形存在两解的情形，利用其条件即可得出a的范围. 【详解】法一：由余弦定理可得，，所以. 因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以， 解得，所以a的取值范围为. 法二：因为，，所以， 因为角C有两解，A为锐角，所以，即. 所以a的取值范围为. 7． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系将切化弦，二倍角公式及和差角公式，并结合三角变换公式可得； 【详解】 8．已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用诱导公式可判断A，根据两角和的正切公式可判断B；利用两角差的正弦，余弦，正切公式化简即可判断C，根据辅助角公式可判断D. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，因为， 所以， 所以 ，故B符合题意； 对于C，， 由于，故C不符合题意； 对于D， ，故D符合题意. 10．在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 11．下列关于函数的说法正确的是（） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 【答案】AB 【分析】先把通过三角恒等变换化简为,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证符合条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出内三个零点,进而确定的取值范围,最终判断各选项正误。 【详解】 选项A：令，解得，当时，，A正确. 选项B：即，令， 因为，所以在区间上单调递增，B正确. 选项C：左移得，C错误. 选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点， 则三个零点只能为：，故，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且，则____，____． 【答案】 / 【分析】根据函数的最小正周期得到，利用对称轴得到，然后代入计算即可求解. 【详解】函数的最小正周期为．解得， 又图象关于直线对称，则有． 解得． 因，则得或． 又由，． 13．如图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 【答案】 【分析】在中，先利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理求得结果. 【详解】在中，， 所以. 所以根据正弦定理得，即，解得. 因为，所以是等边三角形，所以. 在中，， 根据余弦定理得，代入数据得 ，解得， 即. 14．在锐角中，角的对边分别是，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由正余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出，将所求式进行恒等变换为，利用正弦函数的性质与对勾函数的单调性即可求得其范围. 【详解】解：由余弦定理，和， 可得，化简得， 因，即，由正弦定理，（*）， 因， 代入（*）化简得：，即， 因，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由 ， 令，因函数 在上单调递增， 则，故的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． (1)求的大小； (2)已知的周长为，求边上的中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角； （2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， ，，，， ，解得； （2）由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 16．已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，，． (2)条件③不符合题目要求，选①或②时的最小正周期均为． 【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数单调性，可得答案； （2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1）因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求 17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求. （2）根据正弦定理结合（1）结合可判断为等边三角形，再根据数量积可求； （3）设边上的高为，结合两角差的正切可求的范围，从而可求面积的范围. 【详解】（1）因为，结合正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 因为三角形内角，故，故，故. （2）因为，结合正弦定理得， 故，而为三角形内角，故， 故即为等边三角形. 因为，故， 故，故即. （3） 设边上的高为，则， 因为锐角三角形，故在上（不含端点）， 设，则，其中， 故， 故 设， 因为在上为减函数，在为增函数， 故，故， 故. 18．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若任意的，均满足，求a的取值范围； (3)设函数，求证：函数有且只有一个零点． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2) (3) ，， 当时，单调递增， ， ， 所以在上有唯一零点； 当时，， ，所以，无零点； 当时， ，，所以，无零点． 综上，函数有且只有一个零点． 【分析】（1）先利用三角恒等变换将 化为，再根据正弦型函数的周期公式和单调性求解. （2）先求出 时的值域，再将不等式转化为关于的不等式组求解. （3）先化简，再分区间讨论的符号与单调性，结合零点存在性定理证明其仅有一个零点. 【详解】（1）由题意知 ， 所以的最小正周期． 令，， 解得，， 即的单调递增区间为． （2）因为，所以， 所以． 因为，所以 ， 所以，解得， 即a的取值范围是． （3）略 19．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $