单元集训卷19 数列-2027届高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦数列核心概念与运算，通过各地期末真题构建等差等比性质应用、递推求通项及求和的完整训练体系，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|选择1-4、填空12|等差等比基本量计算|从定义到通项/求和公式的直接应用| |性质应用|选择5-8、填空14|中项性质、前n项和最值|公式推导延伸至性质探究| |递推与求和|解答15-19|递推求通项、错位相减/裂项求和|概念生成-公式推导-综合应用的逻辑链条|

单元集训卷19　数列 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·四川成都·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．1 D．13 3．（25-26高三上·云南玉溪·期末）在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 7．（25-26高三上·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·湖北十堰·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 11．（25-26高三上·辽宁·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（   ） A． B．数列的前n项和 C．数列是等差数列 D．数列的前n项积 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（安徽宿州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）若首项为2的数列满足，则________． 13．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）数列中，，，且数列为等比数列，则____. 14．（25-26高三上·北京昌平·期末）若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东广州·期末）已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 16．（25-26高三上·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 17．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 18．（25-26高三上·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 19．（25-26高三上·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷19　数列 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·四川成都·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，则也成等比数列， 则，得，得． 2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A． B． C．1 D．13 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，所以， 所以. 3．（25-26高三上·云南玉溪·期末）在正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设等比数列的公比为，， 由，可得， 又由，可得， 解得或（舍去）， 故． 4．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 5．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 6．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： . 由题意，列方程： 交叉相乘解得，即. 7．（25-26高三上·山东东营·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则使得取得最大值的n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的前n项和为的性质求解本题. 【详解】，，故，， 所以，当时，最大. 8．（2026·山东聊城·二模）已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·湖北十堰·期末）设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】等差数列的前项和为，公差为， A选项：若，满足，公差，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，不能判断的正负，即无法判断正负，故C错； D选项：，则，故D正确. 10．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知数列的前项和为，且，，则（     ） A．是递增数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】先根据递推关系判断是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式、前项和公式逐一分析选项. 【详解】对于选项A，由得数列是首项为，公差的等差数列， 又因为，因此是递增数列，A选项正确； 对于选项B，等差数列通项公式为，B选项错误； 对于选项C，等差数列前项和公式，所以. 因为为常数，所以数列是公差为1的等差数列，C选项正确； 对于选项D，令，解得， 所以. 根据得，代入上式得，D选项正确. 11．（25-26高三上·辽宁·期末）定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（   ） A． B．数列的前n项和 C．数列是等差数列 D．数列的前n项积 【答案】ACD 【分析】将两边同除以，得是等差数列，即可求得，即可判断AC；根据等比数列求和公式判断B；根据指数运算结合等差数列求和公式判断D. 【详解】对于A：对于，令，得，代入，解得，故A正确； 对于C：将两边同除以，得，且，因此是以为首项，为公差的等差数列，故，故C正确； 对于B：由C可知，，故，其前项和，故B错误； 对于D：由B可知，，其前项积，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（安徽宿州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷）若首项为2的数列满足，则________． 【答案】 【分析】将递推公式变形构造等比数列，求出数列的通项后代入计算即可. 【详解】因为，所以， 设，即 ， 所以，解得，即. 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 所以. 13．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）数列中，，，且数列为等比数列，则____. 【答案】 【分析】根据题意，求出等比数列的公比，得到的通项公式即可求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 由于，则， 因此，解得， 又因为，即，解得， 所以. 14．（25-26高三上·北京昌平·期末）若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 【答案】9 【详解】设，则，解得. 又，所以，由此可知. 所以， 时，，时，， 所以时，数列的前项和最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·广东广州·期末）已知等比数列的前项和为，满足， (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2) ，结合（1）得，则，                      因此 ，则，即数列是递增数列，               又，，所以． 【分析】（1）利用，结合已知求出公比，方法一，利用特值法求出，进而求出通项公式；方法二，利用等比数列前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和得，再借助单调性推理得证. 【详解】（1）由，得（），     两式相减得，则， 由数列是等比数列，得数列的公比为， 方法一：由，得，化简得 则，解得，所以数列的通项公式为. 方法二：由，得， ，解得， 所以数列的通项公式是. （2）略 16．（25-26高三上·辽宁·期末）已知数列，满足，，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，即可得数列的通项公式，分析可知数列是等比数列，可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用分组求和法，结合等差数列求和公式以及错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，且，，即， 可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 又因为，可得， 且，可知数列是等比数列，首项为3，公比为3， 所以，即. （2）由（1）可知：， 则， 因为， 令，则， 两式相减得， 可得， 所以. 17．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 【答案】(1) (2) (3)3120 【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. （2）， （3）， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 18．（25-26高三上·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 19．（25-26高三上·广东·期末）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且 (1)求数列和的通项公式； (2)设求数列的前10项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列前两项和条件求公比，再结合等差数列两项关系求公差，代入通项公式即得； （2）按奇偶分项处理，奇数项为等比数列求和，偶数项裂项相消，两部分相加即得前10项和． 【详解】（1）令公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故， 又，令的公差为，则， 所以，可得， 故． （2）由， 所以． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $