单元集训卷29圆的方程(基础)-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆的方程核心概念与应用，通过基础题型系统覆盖圆的标准方程、位置关系及综合计算，强化几何直观与运算推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空12|圆的方程求法、点与圆位置关系|从圆的定义（直径式）到方程形式（标准/一般），构建概念生成链| |位置关系|选择4-8、9-11|切线方程、直线与圆/圆与圆位置关系|以圆心距、半径关系为核心，推导位置判断及公切线数量逻辑| |综合应用|解答15-19|外接圆、公共弦、最值问题|融合几何性质与代数运算，体现“方程表示圆→位置关系→实际应用”的拓展路径|

单元集训卷29　圆的方程(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．（25-26高三·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 3．（25-26高三·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 4．（25-26高三·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 5．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 6．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 7．（25-26高三·河北·阶段检测）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令所求直线为，由题意可知，由垂直直线间斜率的关系求得，由点斜式求得直线方程. 【详解】令过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线，则. 由题意得，，∴一定存在，且，所以， 所以，即. 故选：B. 8．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·重庆·阶段检测）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 【答案】ABD 【分析】根据直线的截距式方程、圆的一般式方程的性质，结合圆的切线性质、圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】A：因为方程表示圆， 所以，因此本选项说法正确； B：因为点，， 所以点、的直线方程为，因此本选项说法正确； C：， 所以圆心坐标为，半径为， 若直线与圆相切， 则有，所以本选项说法不正确； D：圆：的圆心坐标为，半径为， 若圆与圆：恰有三条公切线， 则圆与圆相外切， 所以有，因此本选项说法正确， 故选：ABD 10．（2026·辽宁·三模）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 11．（25-26高三·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 13．（26-27高三上·湖南·阶段检测）若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 【答案】 【分析】数形结合，根据直线与圆的位置关系列式求的值. 【详解】由得或， 所以曲线表示两个同心圆，如下图： 因为直线，即与曲线恰有三个公共点， 所以直线与圆相切. 所以. 所以. 14．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 16．（25-26高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【详解】（1）圆，即， 则圆心为，半径， 因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上， 所以，解得， 所以的半径； （2）由（1）可得，圆心为， 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或.    17．（25-26高三·北京昌平·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)直线与圆相交，所截得的弦长为2 (2)或 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【详解】（1）由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. （2）因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18．（25-26高三·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【详解】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 19．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷29　圆的方程(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 6．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 7．（25-26高三·河北·阶段检测）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·重庆·阶段检测）已知点，，圆：，则（    ） A． B．过点、的直线方程为 C．若直线与圆相切，则 D．若圆与圆：恰有三条公切线，则 10．（2026·辽宁·三模）已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（   ） A．直线与圆C相离 B． 的面积为12 C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为 11．（25-26高三·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 13．（26-27高三上·湖南·阶段检测）若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 14．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 16．（25-26高三上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称. (1)求的半径； (2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程. 17．（25-26高三·北京昌平·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 18．（25-26高三·河南开封·开学考试）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 19．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $