基础集训15 统计与概率-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦统计与概率基础，覆盖新高考I卷核心考点，以题构建知识网络，强化数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计基础|单选1-2、填空12|考查百分位数、方差变换，结合正态分布应用|从样本数字特征到数据分布规律，形成统计描述→推断的逻辑链| |概率计算|单选3-6、多选9-10|古典概型、条件概率、二项式定理，融入实际情境|从事件关系到概率公式推导，体现概率模型的构建与应用| |随机变量|单选4、7-8、填空13|二项分布、数学期望、方差，结合多维空间创新题|从离散到连续型变量，建立分布列→期望→方差的递进关系| |综合应用|解答15-19|统计图表分析、概率建模、分布列与期望计算|整合统计与概率知识，通过实际问题培养模型观念与数据分析能力|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 基础集训15 统计与概率 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：统计与概率部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】将数据从小到大排列后使用百分位数的计算方法即可求解. 【详解】数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，8，共8个数据， ，则第80百分位数为第7位数据7. 2．（本题5分）若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（    ） A．2 B．4 C．6 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差， 则新数据方差为. 3．（本题5分）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率的性质和公式计算，再结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】已知，， 根据条件概率公式，得， 根据条件概率的性质，在事件发生的条件下，事件发生与事件不发生是对立事件， 所以， 因此，故A正确. 4．（本题5分）已知X服从二项分布，且，则二项分布的参数n、p的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由X服从二项分布，得， 而，结合， 得，∴. 5．（本题5分）二项式的展开式的常数项是（     ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【详解】二项式的展开式通项为： , 令，解得， 所以常数项为. 6．（本题5分）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 7．（本题5分）某快递店每天的快递量（单位：个），记表示100天内快递量介于470至560的天数，则的值约为（    ） （附：若随机变量，则） A．68 B．82 C．84 D．95 【答案】B 【详解】由，可得均值，标准差. 区间 可化为 . 根据3σ准则的常用近似值. 由对称性， 所以. 100天中符合条件的天数服从二项分布，其中. 则期望，因此100天内约有天满足条件. 因此的值约为82. 8．（本题5分）设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，求得随机变量X的取值，利用古典概型概率公式求得对应的概率，进而利用期望公式求得期望. 【详解】由题意得，随机变量X的取值为. 则，，， ，，， 所以. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用两点分布的概率性质、两点分布期望方差公式，结合期望和方差的线性运算性质，逐一计算验证各选项得出结论. 【详解】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 10．（本题6分）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】化简得，对应可知 代入题目条件得，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 11．（本题6分）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（   ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中，即有2种选择， 故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个（，）满足，有3个满足， 所以满足的顶点对有组，因此，故B正确； 满足的顶点对有组，所以， 即，，，，，. 因此，故C正确； 而，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）随机变量X服从正态分布，若，则________. 【答案】/ 【详解】因为随机变量X服从正态分布，且， 则. 13．（本题5分）随机变量ξ的分布列如下： －1 0 1 其中成等差数列，则的最大值为______. 【答案】 【分析】首先根据分布列的性质和等差数列的性质，求得，，再设，，代入期望和方差公式，转换为二次函数最值问题，即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以由随机变量ξ的分布列， 可得，解得，， 设，，， ， 所以当时，取最大值为. 14．（本题5分）将四张标有1､2､3､4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按4-3-2-1取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为__________. 【答案】/ 【分析】分析得只有当2号卡片是第一个或者第二个被取走时才不是“和谐序”，利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】只有当2号卡片是第一个或者第二个被取走时才不是“和谐序”， 当2号卡片被第一个取走时共有种取法， 当2号卡片被第二个取走时共有种取法， 而总共有种取法，所以取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； (1)条形图中的___________，___________，文学类书籍对应扇形圆心角等于_______度； (2)若该校有名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； (3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】(1)，， (2)人 (3) 【分析】（1）先由爱好E类的人数及所占比例可得样本总人数，进而可得的值及所求圆心角度数； （2）直接用样本的频率估计总体的频率，进而可得所求人数； （3）直接根据树状图计算可得. 【详解】（1）因为爱好E：其他类的人数为，所占的比例为，因此参与调查的总人数为：（人）， 所以，得，， 文学类书籍对应扇形圆心角. 因此，，文学类书籍对应扇形圆心角为. （2）因为样本中最喜欢阅读政史类书籍的学生所占比例为， 因此估计该校中最喜欢阅读政史类书籍的学生所占比例为， 所以该校中最喜欢阅读政史类书籍的学生数为（人）. 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为人. （3）画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：. 16．（本题15分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每次射击中靶与否相互独立，设甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，其中．已知甲乙两人都中靶的概率为，甲乙两人恰好有一人中靶的概率为． (1)求甲乙两人至少有一人中靶的概率； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互斥事件求和结合题意即可求解； （2）利用相互独立事件同时发生的乘法原理，再转化为一元二次方程来求根即可. 【详解】（1）记甲中靶为事件A，乙中靶为事件B，则, 根据题意可知：， 由甲乙两人至少有一人中靶的概率为： ； （2）由题意可知：， ， 代入可得：， 故为方程的两个根， 解得：． 17．（本题15分）某超市举办促销活动，顾客消费后可参与一次抽奖．抽奖规则如下：盒子中装有2个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客从中随机摸出2个球，若摸到2个球中有红球就中奖，且每位顾客抽奖结果互不影响． (1)求某位参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)若有4位顾客到此超市消费，并参与抽奖活动，设这4位顾客中中奖人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）法一：由题知此，再根据二项分布概率公式计算对应概率，列出分布列即可得答案； 法二：分析随机变量的所有可能取值，分别计算对应概率，列出分布列即可得答案. 【详解】（1）设摸到的2个球中红球的个数为， 某位参与抽奖的顾客中奖，即摸到1个红球或2个红球， ，， 即， 所以，某位参与抽奖的顾客中奖的概率为． （2）法一：由（1）可知，每位参与抽奖的顾客中奖的概率都为，且每位顾客抽奖结果相互独立，因此， 随机变量的分布列为， 即 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望． 法二：随机变量的所有可能取值为． ， ， ， ， ． 所以随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望 ． 18．（本题17分）某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； (3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 【答案】(1) (2)分布列为： 0 1 2 3 (3) 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 19．（本题17分）某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为．根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技术题目的概率分别为，．规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛结束．答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立． (1)求甲在完成1次作答后所得分数X的分布列与数学期望； (2)在比赛过程中，记甲累积分数达到分的概率为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1)的分布列如下表， 0 1 2 . (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）首先列出随机变量的取值，再根据随机变量的意义，求概率，列分布列和期望； （2）（ⅰ）根据题意列出数列的递推关系式，即可求解；（ⅱ）根据递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）， ，，， 的分布列如下表， 0 1 2 . （2）（ⅰ）由条件可知，，， ， （ⅱ），， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ，两边同时乘以， ， 设，则， ， 当时，，成立， 所以，. 试卷第6页，共15页 试卷第16页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 基础集训15统计与概率 (时间：120分钟分值：150分) 注意事项： 1.本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考 I卷 2.本试卷测试范围：统计与概率部分 3.本试卷适用于新高考1卷地区 一、单选题（共40分) 1.(本题5分)样本数据3,3,4,5,6,7,7,8的第80百分位数为() A.4 B.5 C.6 D.7 2。(本题5分)若一组数据.与，，的方差为2，则数据3-2,3-2，，3或 y…, “的方差为 () A.2 B.4 C.6 D.18 3.(本题5分)已知P4)-,P()=子，则P(aB=(） 1 A.6 B.4 c. D.a 4.（本题5分)已知X服从二项分布Bm,PD,且E(3X+2)=92,D(3X+2)=12.96 则二项分布的参数 n、p的值为() A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 试卷第1页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 5.(本题5分)二项式 到x+ x 的展开式的常数项是() A.28 B.56 C.36 D.40 6.(本题5分)在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特 色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位 游客各自随机选择一个主题体验，事件A:甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件B:甲和乙选择的主 P(BI A)= 题不同，则 () B.日 c. A.9 D.6 7.(本题5分)某快递店每天的快递量（单位：个） X~N(50,90),记I表示100天内快递量介于410 至560的天数，则T的值约为() (附：若随机变量yVc),则 P(4-o≤Y≤μ+o)=0.6827,P(μ-2o≤Y≤4+2o)=0.9545,P(4-3o≤Y≤4+3o)=0.9973、 A.68 B.82 C.84 D.95 8(体型5分)安”-《，e人-0i-2为同中有的的家合，-l1.长本 =P,从2中随机取一个点，定义随机变量X如下：对2中的每个点 空间 x）,令 X(A)=x+x2+ ,则X的数学期望值为() 1 1 3 A.-21 B.-27 C.0 D.26 二、多选题（共18分） 试卷第2页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 9.(本题6分)若随机变量，X服从两点分布，其中P(X=0)-号，B(X)和D(X)分别为随机变量X的期 望与方差，则() A.P(X1)- B.E(4X+3)=3 C.D( D.D(4X+3)=3 10.（本题6分)设-=4+ax+a++ar”,则() A.a-0 B.a+4=0 C.g+a+a+a,+a,=-16 D a+a2+a4+a6+ag=16 1.(本题6分)在“维空间中n≥2，neN ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为”维坐 标a,a,,a）,其中0e0,1≤i≤n,ieN） 完义：在”维空间中两点a,4a)与a,）的受 哈顿距离为4一b+4,一6++以，一b.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点 间的曼哈顿距离为随机变量X,则() A.6维“立方体”的顶点有36个 B.P(X=3)=20 63 ex)-9 D.D(X)-44 608 三、填空题（共15分） 12.《本题5分)随机变量X服从正态分布N20）,若P2<X≤25)-=04，则PX<1) 13.(本题5分)随机变量5的分布列如下： 试卷第3页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 D 其中4b,c 成等差数列， D(5) 的最大值为 14.(本题5分)将四张标有1、2.3、4的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与 剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按43-2-1取走卡片的顺序 是“和谐序”，按1-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”)，现依次不放回地随机抽取这4张卡片，则取 卡顺序是“和谐序”的概率为 2 3 4 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展以“我最喜欢阅 读的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A:科技类，B:文学类，C:政史类， D:艺术类，E:其他类)·张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据， 绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）， 人数 20m A 15 36% B 10 10 E8% 5 D C A B CDE类别 根据图中信息，请回答下列问题： (1)条形图中的m= n= 文学类书籍对应扇形圆心角等于 度： (2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数： (3)甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B,C,D三类书籍中随机选择一种，请用画树 状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率 试卷第4页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 16.(本题15分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每次射击中靶与否相互独立，设甲中靶的概率 为P,乙中靶的概率为9，其中0<P<9<1.已知甲乙两人都中靶的概率为0.72，甲乙两人恰好有一人中 靶的概率为0.26 (1)求甲乙两人至少有一人中靶的概率： (2)求P,9的值， 17.(本题15分)某超市举办促销活动，顾客消费后可参与一次抽奖.抽奖规则如下：盒子中装有2个红 球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，顾客从中随机摸出2个球，若摸到2个球中有红球就中奖，且 每位顾客抽奖结果互不影响. (1)求某位参与抽奖的顾客中奖的概率； (2)若有4位顾客到此超市消费，并参与抽奖活动，设这4位顾客中中奖人数为X,求随机变量X的分布列 和数学期望。 X 0 1 2 3 4 16 96 216 216 81 625 625 625 625 625 Ew)-号 X 0 1 4 16 96 216 216 81 P 625 625 625 625 625 X 0 4 16 96 216 216 81 P 625 625 625 625 625 18. (本题17分)某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动.已知奖箱中共有3个标记一等 奖、6个标记二等奖的标签.二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内 容不同，其余完全相同.若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合 资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍 (I)求n的值； 试卷第5页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中.X表示甲三次抽 奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求X的分布列及数学期望： 3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰 有两个一等奖的概率 0 2 3 1 3 3 P 8 8 8 x)-月 X 0 1 2 1 3 3 1 P 8 8 8 8 19. (本题17分)某木雕社团举办相关知识比赛，题库中有大量的雕木选材与雕刻技术两类题目，从中 随机选择一道作答，每次选到任意一类题目的概率均为2.根据以往数据，甲答对雕木选材题目、雕刻技 12 术题目的概率分别为5,5：规定比赛规则如下：若答对，继续选题作答；若答错，立即停止答题，比赛 结束.答对雕木选材一题得1分，答对雕刻技术一题得2分，答错得0分，且每次作答相互独立. (1)求甲在完成1次作答后所得分数X的分布列与数学期望： ②在比容过程中，记甲累积分数达到mm∈N)分的概率为P八侧) 2P(m)-P(m-1) m≥3) (i)求2P(m-1)-P(m-2) 的值： P(m) (ⅱ)求 0 1 2 7 1 1 10 10 5 试卷第6页，共16页 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 知识改变命运，加油吧高三学子 比 0 1 2 P 1 0 10 1-5 试卷第7页，共16页