5.5 一次函数与二元一次方程 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系这一核心知识点，系统梳理从基础关系（如函数与方程的转化）到综合应用（含绝对值、组合函数）再到几何综合（存在型、最值型等）的递进式学习支架，涵盖13类题型及典例变式。 该资料亮点在于分层设计题型，从基础到复杂，通过典例探究培养抽象能力和几何直观，几何综合题结合运动、变换发展推理能力和空间观念。课中助力分层教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

5.5 一次函数与二元一次方程 内 容 导 航 题型1 一次函数与二元一次方程（组） 题型2 一次函数综合 题型3 一次函数的函数综合 题型4 一次函数_含绝对值 题型5 一次函数_组合函数 题型6 一次函数_复杂函数探究 题型7 一次函数几何综合_基本型 题型8 一次函数几何综合_存在型 题型9 一次函数几何综合_存在型_三角形 题型10 一次函数几何综合_最值型 题型11 一次函数几何综合_运动型 题型12 一次函数几何综合_变换型 题型13 一次函数几何综合_面积型 考 点 演 练 题型1 一次函数与二元一次方程（组） 解｜题｜知｜识 （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 【典例1】如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，一次函数y＝ax+b和y＝cx+d的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 题型2 一次函数综合 【典例1】如图，直线AD：y1＝k1x+b1过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y2＝k2x+b2过点C（﹣2，0），且与直线AD交于点B，且点B的横坐标为a． （1）当a＝1时，求直线BC的解析式； （2）在（1）的条件下，请直接写出k1x+b1＞k2x+b2时，对应的x的取值范围； （3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值． 【变式1】如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时． ①请直接写出n的取值范围 　 ； ②若MN＝AB，求点M的坐标． 【变式2】平面直角坐标系xOy中有点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”，图1为点P关于点A的“链垂点”Q的示意图． （1）如图2，已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“链垂点”为点Q． ①若点P的坐标为（0，3），则点Q的坐标为 　　 ； ②若点Q的坐标为（2，﹣1），则点P的坐标为 　　 ； （2）已知点C的坐标为（﹣2，0），点D在直线y＝﹣2x+4上，若点D关于点C的“链垂点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标； （3）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点C是x轴上的动点，点A关于点C的“链垂点”是点B，连接BO、BA． ①直接写出BO+BA的最小值； ②直接写出当BO+BA最小时点C的坐标． 题型3 一次函数的函数综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2011＝　 ． 【变式1】定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 　 　 ； （2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值； （3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 题型4 一次函数_含绝对值 【典例1】对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则|x1﹣x2|为点P1与点P2的“分解距离”，即d分解（P1，P2）＝|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则|y1﹣y2|为点P1与点P2的“分解距离”，即d分解（P1，P2）＝|y1﹣y2|； 点P1，P2的“和距离”为|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的和，即d和（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点A（1，2），则d分解（A，O）＝　　 ；d和（A，O）＝　　 ； （2）若点B（x，5﹣x）在第一象限，且d分解（B，O）＝3．求点B的坐标； （3）①若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且d和（C，O）＝3．请写出符合题意的三个点C的坐标　　 ，在图1中描出相应的点并观察图形，判断这些点是否在一条直线上 　 　 （填“是”或“否”）； ②若点E满足d分解（E，O）＝4，请在图2中画出所有符合条件的点E组成的图形； 若点F满足d和（F，O）≤4，请在图3中画出所有符合条件的点F组成的区域，用阴影部分表示； （4）已知M（m，2m+2），N（1，0）， ①点M与点N的“分解距离”的最小值是 　 ，及此时相应的M点坐标 　 　 ； ②点M与点N的“和距离”的最小值是 　　 ，及此时相应的M点坐标 　 　 ． 题型5 一次函数_组合函数 【典例1】已知函数，记该函数为G． （1）当m＝3时， ①已知M（7，n）在该函数图象上，求n的值； ②当2≤x≤6时，求函数G的最小值． （2）当m＞0时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°，求m的值； （3）点A（1，2），点B（﹣3，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（m，1）为中心，DE在x轴上（点D在点E的左侧），若在函数G上存在点H，满足FH∥AB，且FH＝AB，请直接写出点F的坐标． 【变式1】函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①A（　　 ，0）；B（　　 ，0）；C（1，　　 ）； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当S△ABC＝S△ABP时，求点P的坐标； （2）当m＞0时，直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当m＞0时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为（0，﹣6），直接写出以AF为直角边的Rt△AEF时m的值． 题型6 一次函数_复杂函数探究 【典例1】对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“等值三角形”，已知点A（4，0）． （1）若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“等值三角形”，则此三角形第三个顶点的坐标为 　 　 ； （2）若Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，求点B的坐标． 【变式1】先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点Q（t﹣2，t+3），当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组．消去t，得y﹣x＝5，即y＝x+5，可以发现，点Q随t的变化而运动所形成的图象的解析式是y＝x+5． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数y＝﹣x+4图象上的是 ． A．M（1，3） B．N（t，t﹣4） C．P（4﹣t，t） D．T（2t，4﹣2t） （2）求点M（3﹣t，2t﹣7）随t的变化而运动所形成的图象的解析式． 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点A（3，0）为定点，连接PA，过点A作直线BA⊥PA，且BA＝PA，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 【变式2】材料1：对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点； 材料2：直线L1：y1＝k1x+b1，直线L2：y2＝k2x+b2，若两直线平行，则k1＝k2，若两直线垂直，则k1•k2＝﹣1． （1）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1），如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是 　 ． （2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）； ①如图2，当t＝0时，若直线上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是 　 　 ． 题型7 一次函数几何综合_基本型 【典例1】如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，把长方形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到长方形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）． （1）当α＝60°时，△CBD的形状是 　 　 ； （2）当AH＝HC时，①求点H的坐标；②求直线FC的解析式． 【变式2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0，）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）． （1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式． （2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）． （3）在图3中以AB为边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线yx上时，求m的值． 题型8 一次函数几何综合_存在型 【典例1】如图1，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标． 【变式1】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，求证△AED是等腰直角三角形． （2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，则点D的坐标为　 　 ． 【变式2】如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点． （1）B'点的坐标是　 　 ． （2）求折痕CM所在直线的解析式． （3）在x轴上是否能找到一点P，使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 题型9 一次函数几何综合_存在型_三角形 【典例1】如图1，直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且OB＝3OA． （1）求直线AB的解析式； （2）点M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点，连接MN，若∠BNM＝45°，求点N的坐标； （3）点P是直线AB上的一个动点，连接CP，请直接写出使△BPC是直角三角形的点P坐标　 　 ． 【变式1】如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4）． （1）求直线AB相应的函数表达式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝8，求点C的坐标； （3）若直线AB上有D（a，b），E（a+1，c）两点，则c﹣b＝　 　 ； （4）若在x轴上存在点F，使得△ABF是等腰三角形，则点F的坐标为　 　 ． 题型10 一次函数几何综合_最值型 【典例1】如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】【观察发现】如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①∠OAB的度数为　　 ； ②C，D是正比例函数y＝kx的图象上的两个动点，连接AC，BD．若AC⊥CD，AC＝3，则BD的最小值是　　 ； （2）如图3，一次函数y＝3x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线AB顺时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，Rt△AOB是某试验田的一块区域示意图，OA⊥OB，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段AB上．现要规划一片等腰直角三角形区域△PMN作为新品种小麦的研究基地，点M在线段BO上，点N在线段OB的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为（6，8），按设计要求∠PMN＝90°，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 题型11 一次函数几何综合_运动型 【典例1】如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6． （1）求点A的坐标； （2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为， ①请求出此时顶点C的坐标； ②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为　 　 ； ③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小　 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足． （1）求直线AP的解析式； （2）如图1，点M为直线x＝﹣2上一点，点N为y轴上一点，若△MAP面积等于4，且△MNA是以MA为底的等腰三角形，请求出点M和点N的坐标； （3）如图2，点B（2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰Rt△DCE，EF⊥x轴，F为垂足，试判断的值是否为定值，如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【变式2】已知一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APB为直角三角形？ （2）当t为何值时，△APB为等腰三角形？ 题型12 一次函数几何综合_变换型 【典例1】如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为 　 　 ． 【变式1】如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒． （1）当t＝3时，求l的解析式； （2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； （3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 题型13 一次函数几何综合_面积型 【典例1】如图，已知直线y＝kx+b经过点A（0，5），B（4，1），并与x轴交于点C，与直线y＝2x﹣1相交于点D． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求不等式kx+b＞0的解集； （3）直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED＝2S△AEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且，求点D的坐标； （3）若直线y＝3x的图象上有一点P，且S△PAC＝6时，求点P的坐标． 过 关 验 收 1．已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　 ． 2．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，且S△AOP＝6， （1）求S△COP； （2）求点A的坐标及p的值； （3）若S△AOP＝S△BOP，求直线BD的解析式． 3．如图，点A（1，3）、点B（m，1）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，一次函数y＝﹣x+b图象与x轴交于点D． （1）b＝　　 ，m＝　 ； （2）过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点，点C是点A关于原点的对称点．试判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由． （3）连接AO、BO，求△AOB的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4与正比例函数y＝3x交于点A（1，m）． （1）求m和k的值． （2）若点B（3，n）在直线y＝kx+4上，连接OB，求△AOB的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式0＜kx+4＜3x的解集． 5．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为d（M，N）特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”d（M，N）＝0． （1）如图1，在平面直角坐标系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），则d（N，∠AOB）＝　　 ，d（M，∠AOB）＝　　 ； （2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L． ①若k＞0，且d（L，△ABC）＝2，求k的值； ②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N，若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为第一象限的“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，PQ的最小值为　 　 ； （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，求k的取值范围． 7．OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6． （1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．求B′点的坐标； （2）求折痕CM所在直线的解析式． 8．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 9．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 10．如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC． （1）A（　 　 ）；B（　 　 ）； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F． ①求证：BD＝ED； ②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），C为第一象限内一点，AC⊥y轴，BC⊥x轴，D坐标为（m，0）（0＜m＜4）． （1）若D为OB的中点，求直线DC的解析式； （2）若△ACD为等腰三角形，求m的值； （3）E为四边形OACB的某一边上一点． ①若E在边BC上，满足△AOD≌△DBE，求m的值； ②若使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个，直接写出符合条件的m的值． 12．如图，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标． （3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B1处，求出点M的坐标． （4）点C在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 13．如图，已知一次函数yx+3的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段AO上，将△BOC沿BC翻折，点O恰好落在AB上点D处． （1）求OC的长； （2）过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，试判断△AOE的形状，并说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（　　 ，　　 ），点B的坐标为（　　 ，　　 ）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D．当CD＝10时，求直线l的解析式． 15．一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B．在y轴左侧有一点P（﹣1，a）． （1）如图1，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC＝90°，求点C的坐标； （2）当a时，求△ABP的面积； （3）当a＝﹣2时，点Q是直线y＝﹣2x+2上一点，且△POQ的面积为5，求点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 一次函数与二元一次方程 内 容 导 航 题型1 一次函数与二元一次方程（组） 题型2 一次函数综合 题型3 一次函数的函数综合 题型4 一次函数_含绝对值 题型5 一次函数_组合函数 题型6 一次函数_复杂函数探究 题型7 一次函数几何综合_基本型 题型8 一次函数几何综合_存在型 题型9 一次函数几何综合_存在型_三角形 题型10 一次函数几何综合_最值型 题型11 一次函数几何综合_运动型 题型12 一次函数几何综合_变换型 题型13 一次函数几何综合_面积型 考 点 演 练 题型1 一次函数与二元一次方程（组） 解｜题｜知｜识 （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 【典例1】如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：关于x，y的方程组可化为： ， 故一次函数的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标即为方程组的解， 将P（﹣2，n）代入得： ， ∴P（﹣2，3）， 故关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题知， 将x＝3代入y＝﹣x+4得， y＝1， 所以点P坐标为（3，1）． 因为方程组的解可看成一次函数y＝﹣x+4与y＝2x+m的交点坐标， 所以该方程组的解为． 故选：A． 【变式2】如图，一次函数y＝ax+b和y＝cx+d的图象如图所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：关于x，y的二元一次方程组的解可看成一次函数y＝ax+b和y＝cx+d图象的交点坐标， 由函数图象可知， 两个函数图象的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 所以关于x，y的二元一次方程组的解为． 故选：A． 题型2 一次函数综合 【典例1】如图，直线AD：y1＝k1x+b1过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y2＝k2x+b2过点C（﹣2，0），且与直线AD交于点B，且点B的横坐标为a． （1）当a＝1时，求直线BC的解析式； （2）在（1）的条件下，请直接写出k1x+b1＞k2x+b2时，对应的x的取值范围； （3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：直线AD过点A（0，4），D（4，0）， ∴解得：． ∴直线AD的解析式为y1＝﹣x+4 又因为点B在AD上，且B点的横坐标为a＝1，所以纵坐标为3，即B（1，3） 由题意的直线BC过点B（1，3），C（﹣2，0） ∴解得：． ∴直线BC的解析式为y2＝x+2 （2）因为直线AD与直线BC相交于点B（1，3） 由图象得：k1x+b1＞k2x+b2时x的取值范围为x＜1． （3）△ABC的面积计算有三种形式，分别为点B在点A上方、在AD中间、在点D下方． ②∵直线CB把△ACD的面积分为1：2两部分， ∴B点在线段AD上， ∴0＜a＜4， ∴S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD6×46×（﹣a+4）＝3a， ∵S△ABC＝3a，S△ACD＝12． 当S△ABC：S△ACD＝1：3时，即3a：12＝1：3，∴a； 当S△ABC：S△ACD＝2：3时，即3a：12＝2：3，∴a． 【变式1】如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为M，N，当点M位于点N上方时． ①请直接写出n的取值范围 　 ； ②若MN＝AB，求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把C（1，m）代入l1：y＝x+3得：m＝1+3＝4， ∴点C的坐标为（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（3，0），C（1，4）代入得： ， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6． （2）①根据函数图象可知，当点M、N在点C右边时，点M位于点N上方， ∴n＞1， 故答案为：n＞1； ②把y＝0代入y＝x+3得：x+3＝0，解得：x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 把x＝n分别代入y＝x+3和y＝﹣2x+6得M（n，n+3），N（n，﹣2n+6）， ∵MN＝AB，点M位于点N上方， ∴n+3﹣（﹣2n+6）＝6， 解得：n＝3， ∴此时点M的坐标为：（3，6）． 【变式2】平面直角坐标系xOy中有点A和点P，若将点P绕点A顺时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“链垂点”，图1为点P关于点A的“链垂点”Q的示意图． （1）如图2，已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“链垂点”为点Q． ①若点P的坐标为（0，3），则点Q的坐标为 　　 ； ②若点Q的坐标为（2，﹣1），则点P的坐标为 　　 ； （2）已知点C的坐标为（﹣2，0），点D在直线y＝﹣2x+4上，若点D关于点C的“链垂点”E在坐标轴上，试求出点D的坐标； （3）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，2），点C是x轴上的动点，点A关于点C的“链垂点”是点B，连接BO、BA． ①直接写出BO+BA的最小值； ②直接写出当BO+BA最小时点C的坐标． 【答案】（1）①（3，0）； ②（1，2）； （2）点D（﹣2，8）或（1，2）； （3）①BO+BA的最小值为； ②当BO+BA最小时点C的坐标为（，0）． 【解答】解：（1）①若点P的坐标为（0，3），则点Q的坐标为（3，0）， 故答案为：（0，3）； ②若点Q的坐标为（2，﹣1）， 同理可得：点P的坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； （2）①当点E落在x轴上时，如图， 则CD⊥x轴， x＝﹣2时，y＝﹣2x+4＝4+4＝8， 故点D（﹣2，8）； ②当点E落在y轴时，如图： 设点D（m，﹣2m+4）， 点D的“链垂点E在y轴上， 过点D作DH⊥x轴于点H， ∴∠DHC＝∠COE＝90°， ∴∠CDH+∠DCH＝90°， ∵∠DCE＝∠ECH+∠DCH＝90°， ∴∠CDH＝∠ECH， 由旋转得CD＝EC， ∴△CHD≌△EOC（AAS）， 则DH＝OC＝2，即：﹣2m+4＝2，解得：m＝1， 故点D（1，2）， 综上，点D（﹣2，8）或（1，2）； （3）①如图，过点B作BH⊥x轴于点H，过点A作AG⊥x轴于点G， 则∠AGC＝∠CHB，∠ACG＝∠CBH，AC＝CB， ∴△CHB≌△EOC（AAS）， 设点C的坐标为（n，0）， ∴GC＝HB＝n+1，GA＝HC＝2， ∴点B（n+2，n+1）， ∴BO+BA，相当于在直线y＝x上寻找一点P（n，n），使得点P到N（﹣2，﹣1），到M（﹣3，1）的距离和最小， 作N关于直线y＝x的对称点N′（﹣1，﹣2），连接PN′，MN′， ∴PM+PN＝PM+PN′≥NM′， ∴MN′的最小值为， ∴BO+BA的最小值为； ②设直线MN的解析式为y＝kx+b， ∵N′（﹣1，﹣2），M（﹣3，1）， ∴，解得， ∴直线MN的解析式为yx， 联立y＝x解得x， ∴n， ∴当BO+BA最小时点C的坐标为（，0）． 题型3 一次函数的函数综合 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2011＝　 ． 【答案】2010.5 【解答】解：∵函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An， ∴A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3）…An（n，n）， 又∵函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn， ∴B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…Bn（n，2n）， ∴S1•1•（2﹣1）， S2•2•（4﹣2）•1•（2﹣1）， S3•3•（6﹣3）•2•（4﹣2）， … Sn•n•（2n﹣n）•（n﹣1）[2（n﹣1）﹣（n﹣1）] n2（n﹣1）2 ＝n． 当n＝2011，S2011＝20112010.5． 故答案为2010.5． 【变式1】定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 　 　 ； （2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值； （3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标． 【答案】（1）（﹣1，﹣1）；（2）m，n＝3；（3）P（﹣6，0）或P（12，0）． 【解答】解：（1）联立， 解得， ∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）； （2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1）， ∴n﹣1＝2， ∴n＝3， ∴“不动点”为（2，2）， ∴2＝2m+3， 解得m； （3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”， ∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行， ∴k＝1， ∴y＝x﹣3， ∴A（3，0），B（0，﹣3）， 设P（t，0）， ∴AP＝|3﹣t|， ∴S△ABP|t﹣3|×3， S△ABO3×3， ∵S△ABP＝3S△ABO， ∴|t﹣3|＝9， ∴t＝12或t＝﹣6， ∴P（﹣6，0）或P（12，0）． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（2，4）． （1）求m的值及l2的解析式； （2）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标； （3）一次函数y＝kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一次函数yx+m的图象l1与l2交于点C（2，4）， 将点C坐标代入yx+m得：42+m，解得：m＝5， 设l2的表达式为：y＝nx， 将点C（2，4）代入上式得：4＝2n，解得：n＝2， 故：l2的表达式为：y＝2x； （2）点M是直线yx+m上的一个动点， 由（1）得m＝5， ∴yx+5， ∴A（10，0），B（0，5）， ∵C（2，4）， ∴S△BOC5×2＝5， 设M（a，a+5）， S△AOM＝2S△BOC＝10， ∴S△AOM10×|a+5|＝10，解得：a＝6或14， ∴点M的坐标为（6，2）或（14，﹣2）； （3）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形， 即k或k＝2， 当l3过点C（2，4）时，l1，l2，l3不能围成三角形， 将点C坐标代入y＝kx+2并解得：k＝1； 故当l3的表达式为：yx+2或y＝2x+2或y＝x+2． 故k或2或1． 题型4 一次函数_含绝对值 【典例1】对于平面直角坐标系中任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则|x1﹣x2|为点P1与点P2的“分解距离”，即d分解（P1，P2）＝|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则|y1﹣y2|为点P1与点P2的“分解距离”，即d分解（P1，P2）＝|y1﹣y2|； 点P1，P2的“和距离”为|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的和，即d和（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点A（1，2），则d分解（A，O）＝　　 ；d和（A，O）＝　　 ； （2）若点B（x，5﹣x）在第一象限，且d分解（B，O）＝3．求点B的坐标； （3）①若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且d和（C，O）＝3．请写出符合题意的三个点C的坐标　　 ，在图1中描出相应的点并观察图形，判断这些点是否在一条直线上 　 　 （填“是”或“否”）； ②若点E满足d分解（E，O）＝4，请在图2中画出所有符合条件的点E组成的图形； 若点F满足d和（F，O）≤4，请在图3中画出所有符合条件的点F组成的区域，用阴影部分表示； （4）已知M（m，2m+2），N（1，0）， ①点M与点N的“分解距离”的最小值是 　 ，及此时相应的M点坐标 　 　 ； ②点M与点N的“和距离”的最小值是 　　 ，及此时相应的M点坐标 　 　 ． 【答案】（1）2；3；（2）B点坐标为（3，2）或（2，3）；（3）①C1（0，3），C2（1，2），C3（3，0）（答案不唯一）；是；②见解答内容；（4）①：；（，）；②2；（﹣1，0）． 【解答】解：（1）∵点A（1，2），点O（0，0），且|1﹣0|＜|2﹣0|， ∴d分解（A，O）＝|2﹣0|＝2，d和（A，O）＝|1﹣0|+|2﹣0|＝1+2＝3， 故答案为：2；3； （2）∵点B（x，5﹣x）在第一象限， ∴， 解得：0＜x＜5， ①当|x﹣0|≥|5﹣x﹣0|时， d分解（B，O）＝|x﹣0|＝3， 解得：x＝3， 此时B点坐标为（3，2）； ②当|x﹣0|＜|5﹣x﹣0|时， d分解（B，O）＝|5﹣x﹣0|＝3， 解得：x1＝2，x2＝8（不合题意，舍去）， 此时B点坐标为（2，3）， 综上，B点坐标为（3，2）或（2，3）； （3）①若点C（x，y）（x≥0，y≥0），且d和（C，O）＝3， 则符合题意的三个点C的坐标可以为C1（0，3）；C2（1，2）；C3（3，0）， 如图： 设直线C1C2的解析式为y＝kx+b， 把C1（0，3）；C2（1，2）代入可得： ， 解得：， ∴直线C1C2的解析式为y＝﹣x+3， 当y＝0时，﹣x+3＝0， 解得：x＝3， ∴C3（3，0）在直线C1C2上， 即C1（0，3）；C2（1，2）；C3（3，0）是在同一条直线上， 故答案为：C1（0，3），C2（1，2），C3（3，0）（答案不唯一）；是； ②设E点坐标为（x，y）， 当|x﹣0|≥|y﹣0|时，d分解（E，O）＝|x﹣0|＝4， 解得：x＝±4，且﹣4≤y≤4， 当|x﹣0|＜|y﹣0|时，d分解（E，O）＝|y﹣0|＝4， 解得：y＝±4，且﹣4≤x≤4， 综上，所有符合条件的点E组成的图形如图： 设F点坐标为（x，y）， d和（F，O）＝|x﹣0|+|y﹣0|≤4， ∴|y|≤4﹣|x|， 当x≥0，y≥0时，y≤4﹣x， 当x≥0，y＜0时，y≥x﹣4， 当x＜0，y≥0时，y≤x+4， 当x＜0，y≤0时，y≥﹣x﹣4， ∴所有符合条件的点F组成的区域如图： （4）①i）当|m﹣1|≥|2m+2|时，d分解（M，N）＝|m﹣1|， m﹣1≥2m+2时， 解得：m≤﹣3， m﹣1≥﹣2m﹣2时， 解得：m， 综上，当|m﹣1|≥|2m+2|时，m， 此时当m时，|m﹣1|取得最小值为， ii）当|m﹣1|＜|2m+2|时，d分解（M，N）＝|2m+2|， 由i）可得，当m时，|m﹣1|＜|2m+2| 此时|2m+2|无最小值， ∴点M与点N的“分解距离”的最小值是，此时M点坐标为（，）； 故答案为：；（，）； ②设y＝d和（M，N）＝|m﹣1|+|2m+2|， 当m≤﹣1时，y＝﹣m+1﹣2m﹣2＝﹣3m﹣1， 此时y随m的增大而减小， ∴当m＝﹣1时，y有最小值为2， 当﹣1＜m＜1时，y＝﹣m+1+2m+2＝m+3， 此时y随m的增大而增大， 当m≥1时，y＝m﹣1+2m+2＝3m+1， 此时y随m的增大而增大， ∴当m＝1时，y有最小值为4， 综上，当m＝﹣1时，点M与点N的“和距离”的最小值为2，此时M点坐标为（﹣1，0）， 故答案为：2；（﹣1，0）． 题型5 一次函数_组合函数 【典例1】已知函数，记该函数为G． （1）当m＝3时， ①已知M（7，n）在该函数图象上，求n的值； ②当2≤x≤6时，求函数G的最小值． （2）当m＞0时，作直线与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°，求m的值； （3）点A（1，2），点B（﹣3，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（m，1）为中心，DE在x轴上（点D在点E的左侧），若在函数G上存在点H，满足FH∥AB，且FH＝AB，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）① ② （2）m＝4或m＝12； （3）F点坐标为（）． 【解答】解：（1）①由题意得：M（7，n）在y＝x﹣5上， ∴n＝7﹣5＝2； ②Ⅰ：当2≤x＜3时，y＝﹣2x+6， ∵﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，在此范围内y没有最小值； Ⅱ：当3≤x≤6时，y＝x﹣5， ∵1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，y最小，y＝﹣2， ∴函数G的最小值为﹣2； （2）由题意得：点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（m，﹣m+6）， ∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝∠OPQ′＝90°， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∴OP＝PQ， ∴m＝|﹣m+6|， ∴m＝﹣m+6或m＝m﹣6， 解得：m＝4或m＝12； （3）∵正方形CDEF边长为2，且以点（m，1）为中心，DE在x轴上（点D在点E的左侧）， ∴正方形CDEF恒在x轴上方（DE与x轴重合），点F（m+1，2）在直线y＝2上运动． ∵点A（1，2），点B（﹣3，﹣1），且在函数G上存在点H，满足FH∥AB，且FH＝AB， ∴F点必在直线y＝﹣1上， 当m≤0时，显然只有y＝x﹣5与y＝﹣1有交点，交点的横坐标为4，此时可得H（4，﹣1）， 从而F（8，2），即m+1＝8，解得m＝7＞0， 这与题设矛盾，故此情形不符合要求； 当m＞0时，联立y＝﹣2x﹣5与y＝﹣1可得交点横坐标为，此时可得H（，﹣1），此时m， 从而可得F（），即m+1，解得m，满足题意． 故F点坐标为（）． 【变式1】函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①A（　　 ，0）；B（　　 ，0）；C（1，　　 ）； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当S△ABC＝S△ABP时，求点P的坐标； （2）当m＞0时，直线y＝x与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当m＞0时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为（0，﹣6），直接写出以AF为直角边的Rt△AEF时m的值． 【答案】（1）①﹣2；2；2． ②点P坐标为（﹣1，2）或（3，﹣2）或（﹣3，﹣2）； （2）； （3）以AF为直角边的Rt△AEF时m的值为或． 【解答】解：（1）①当x＜1时，令y＝0，得：2x+4＝0， 解得：x＝﹣2，此时满足题意， 故A（﹣2，0）； 当x≥1时，令y＝0，得：﹣2x+4＝0， 解得：x＝2，此时满足题意， 故B（2，0）； 当x＝1时，y＝﹣2x+4＝﹣2×1+4＝2， 故C（1，2）， 故答案为：﹣2；2；2； ②∵A（﹣2，0），B（2，0），C（1，2）， ∴AB＝4，|yC|＝2， ∴， ∵S△ABC＝S△ABP， ∴， ∴|yP|＝2， 解得：yP＝2或yP＝﹣2， 当yP＝2，且xP≥1时，令y＝2，即﹣2x+4＝2， 解得：x＝1， 此时P（1，2）与点C重合，故舍去． 当yP＝2，且xP＜1时，令y＝2，即2x+4＝2， 解得：x＝﹣1，此时符合题意， 故P（﹣1，2）． 当yP＝﹣2，且xP≥1时，令y＝﹣2，即﹣2x+4＝﹣2， 解得：x＝3，此时符合题意， 故P（3，﹣2）． 当yP＝﹣2，且xP＜1时，令y＝﹣2，即2x+4＝﹣2， 解得：x＝﹣3，此时符合题意， 故P（﹣3，﹣2）． 故点P坐标为（﹣1，2）或（3，﹣2）或（﹣3，﹣2）； （2）∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于y＝﹣2x+4（x≥m），令y＝0，即0＝﹣2x+4， 解得：x＝2， ∴x＝2必须在x≥m的范围之内， ∴m≤2， ∵对于y＝2x+4（x＜m），令y＝0，即0＝2x+4， 解得：x＝﹣2， ∴x＝﹣2必须在x＜m的范围之内． ∴m＞﹣2． ∴﹣2＜m≤2， ∴直线y＝x分别与直线y＝﹣2x+4（x≥m）和y＝2x+4（x＜m）各有一个交点， 对于直线y＝x与直线y＝2x+4（x＜m）， 联立得：， 解得：， 对于直线y＝x与直线y＝﹣2x+4（x≥m）， 联立得：， 解得：， ∵﹣2＜m≤2， ∴必须在x≥m的范围之内才能保证直线y＝x与直线y＝﹣2x+4（x≥m）有交点， ∴， 又∵m＞0，﹣2＜m≤2， ∴， ∴m的取值范围是； （3）∵点E的横坐标为m， ∴点E在y＝﹣2x+4的图象上， 把x＝m代入y＝﹣2x+4得：y＝﹣2m+4， ∴E（m，﹣2m+4）， 把y＝0代入y＝2x+4得：2x+4＝0， 解得：x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∵点A、E、F组成直角三角形，AF为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：AE2+AF2＝EF2， ∵点F的坐标为（0，﹣6）， ∴（﹣2﹣m）2+（﹣2m+4）2+（﹣2）2+（﹣6）2＝m2+（﹣2m+4+6）2， 解得：， ∵， ∴符合题意； 情况二：EF2+AF2＝AE2， ∴m2+（﹣2m+4+6）2+（﹣2）2+（﹣6）2＝（﹣2﹣m）2+（﹣2m+4）2， 解得：m， 综上所述，以AF为直角边的Rt△AEF时m的值为或． 题型6 一次函数_复杂函数探究 【典例1】对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“等值三角形”，已知点A（4，0）． （1）若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“等值三角形”，则此三角形第三个顶点的坐标为 　 　 ； （2）若Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，求点B的坐标． 【答案】（1）（2，4）或（2，﹣4）； （2）点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）． 【解答】解：（1）如图1， 设满足条件的三角形为等腰△OAR，则OR＝AR．过点R作RH⊥OA于点H， ∴OH＝HA＝2， ∵以线段OA为底的等腰△OAR恰好是点O，A的“等值三角形”， ∴RH＝OA＝4． ∴R（2，4）或（2，﹣4）， 故答案为：（2，4）或（2，﹣4）． （2）如图2所示：若A为直角顶点时， ∵Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”， ∴AC⊥AB，AC＝AB， ∵点C在直线y＝2x﹣5上， ∴AC＝AB＝2×4﹣5＝3， ∵点A（4，0）， ∴点B的坐标为（1，0）或（7，0）； 若B为直角顶点时， ∵Rt△ABC是点A，B的“等值三角形”， ∴BC⊥AB，BC＝AB， ∵点C在直线y＝2x﹣5上， ∴设点C（x，2x﹣5），则B（x，0）， ∴2x﹣5＝|4﹣x|，解得x＝3或1， ∴点B的坐标为（1，0）或（3，0） 综上，点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）． 【变式1】先阅读下列材料，然后解决问题： 【阅读感悟】 在平面直角坐标系中，已知点Q（t﹣2，t+3），当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x，纵坐标y，得到了方程组．消去t，得y﹣x＝5，即y＝x+5，可以发现，点Q随t的变化而运动所形成的图象的解析式是y＝x+5． 【尝试应用】 （1）观察下列四个点的坐标，不在函数y＝﹣x+4图象上的是 ． A．M（1，3） B．N（t，t﹣4） C．P（4﹣t，t） D．T（2t，4﹣2t） （2）求点M（3﹣t，2t﹣7）随t的变化而运动所形成的图象的解析式． 【综合运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点P在一次函数的图象上运动．已知点A（3，0）为定点，连接PA，过点A作直线BA⊥PA，且BA＝PA，求点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式． 【答案】（1）B； （2）y＝﹣2x﹣1； （3）y＝﹣2x+17或y＝﹣2x﹣5． 【解答】解：（1）A、当x＝1时，y＝﹣x+4＝﹣1+4＝3， ∴M（1，3）在函数y＝﹣x+4图象上； B、当x＝t时，y＝﹣x+4＝﹣t+4， ∴N（t，t﹣4）不在函数y＝﹣x+4图象上， C、当x＝4﹣t时，y＝t﹣4+4＝t， ∴P（4﹣t，t）在函数y＝﹣x+4图象上； D、当x＝2t时，y＝﹣2t+4＝4﹣2t， ∴T（2t，4﹣2t）在函数y＝﹣x+4图象上； 故答案为：B； （2）∵M横坐标为x，纵坐标为y． 根据题意得， 消去t得：y＝﹣2x﹣1， 故点M（3﹣t，2t﹣7）随t的变化而运动所形成的图象的解析式为y＝﹣2x﹣1； （3）∵点P在一次函数的图象上运动， 设P（m，m+4）， 如图，过A作直线l⊥x轴于A，过P作PG⊥l于G，过B作BH⊥x轴于H， ∴∠AGP＝∠PAB＝∠AHB＝∠GAH＝90°， ∴∠PAG+∠BAG＝∠BAH+∠BAG＝90°， ∴△PAG≌△BAH（AAS）， ∴PG＝BH＝3﹣m，AG＝AHm+4， ∴B（m+7，3﹣m）， ∵B横坐标为x，纵坐标为y． 根据题意得， 消去m得，y＝﹣2x+17； 如图， 同理得到B（m﹣1，m﹣3）， ∵B横坐标为x，纵坐标为y． 根据题意得， 消去m得，y＝﹣2x﹣5； 如图， 同理得到B（m﹣1，m﹣3）， ∵B横坐标为x，纵坐标为y． 根据题意得， 消去m得，y＝﹣2x﹣5； 综上所述，点B随点P的变化而运动所形成的图象的解析式为y＝﹣2x+17或y＝﹣2x﹣5． 【变式2】材料1：对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB的等垂点； 材料2：直线L1：y1＝k1x+b1，直线L2：y2＝k2x+b2，若两直线平行，则k1＝k2，若两直线垂直，则k1•k2＝﹣1． （1）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1），如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是 　 ． （2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）； ①如图2，当t＝0时，若直线上存在线段PQ的等垂点，求b的值； ②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是 　 　 ． 【答案】（1）D（1，2），F（﹣1，﹣1）； （2）①或； ②﹣4≤t． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1）， ∴AB2＝|12﹣（﹣1）2|＝4， ∵|CA2﹣CB2|＝|（﹣1﹣0）2+（1﹣4）2﹣[（1﹣0）2+（1﹣4）2]|＝0， ∴|CA2﹣CB2|≠AB2， ∴点C不是线段AB的垂点； ∵|DA2﹣DB2|＝|（1+1）2+（2﹣1）2﹣[（1﹣1）2+（2﹣1）2]|＝4， ∴|DA2﹣DB2|＝AB2， ∴点D是线段AB的垂点； ∵|EA2﹣EB2|＝|（3+1）2+（﹣2﹣1）2﹣[（3﹣1）2+（﹣2﹣1）2]|＝12， ∴|EA2﹣EB2|≠AB2， ∴点E不是线段AB的垂点； ∵|FA2﹣FB2|＝|（﹣1+1）2+（﹣1﹣1）2﹣[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]|＝4， ∴|FA2﹣FB2|＝AB2， ∴点F是线段AB的垂点； 综上所述：点D，F是线段AB的垂点， 故答案为：D（1，2），F（﹣1，﹣1）； （2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0）， 设点M是直线上存在的线段PQ的等垂点，则，过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H， ， ∴MP＝PQ，MP⊥PQ， ∴∠PGM＝∠QOP＝90°，∠MPG＝∠PMG＝90°，∠QPO＝∠MPG＝90°， ∴∠PMG＝∠QPO， ∴△PMG≌△QPO（AAS）， ∴MG＝OP＝1，PG＝OQ＝2， ∴OG＝OP+PG＝1+2＝3， ∴M（1，3）， ∴，解得：， 同理得：M′（﹣1，﹣1）， ∴，解得：， ∴b的值为或； ②∵点P（t，1），Q（t+2，0）， ∴k， ∴线段PQ的垂点一定在直线yx+b′上， 把A（0，4）代入yx+b′，得b′＝4， 当Q（t+2，0）在直线y＝2x+4上时，0＝2（t+2）+4， 解得：t＝﹣4， 把C（1，0）代入yx+b′中，得b′＝﹣2， ∴yx﹣2， 当p（t，1）在直线y＝2x﹣2上时，1＝2t﹣2，解得t， ∴t的取值范围是：﹣4≤t， 故答案为：﹣4≤t． 题型7 一次函数几何综合_基本型 【典例1】如图1，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例函数y＝x的图象交于点C． （1）求一次函数的解析式及点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，点E是线段OD上一点，F是y轴正半轴上一点，且∠ECF＝45°，连接EF，求△OEF的周长． 【答案】（1）yx+3，C（2，2）； （2）（0，1）或（0，3）或（0，3）或（0，）； （3）4． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3）， ∴， 解得：， ∴一次函数yx+3， ∵与函数y＝x的图象交于点C， ∴x+3＝x， ∴x＝2， 当x＝2时，y＝x＝2， ∴C点的坐标（2，2）． （2）设P（0，m）， ∵B（0，3），C（2，2）． ∴BC2＝（0﹣2）2+（3﹣2）2＝5， PC2＝（0﹣2）2+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2， BP2＝（m﹣3）2， 要使△BCP是等腰三角形， ①BC＝PC， ∴BC2＝PC2， 4+（m﹣2）2＝5， m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1， m＝3或m＝1， 当m＝3时与P点重合（舍去）， ∴m＝1， ∴P（0，1）， ②BC＝BP， ∴BC2＝BP2， ∴（m﹣3）2＝5， m﹣3或m﹣3， ∴m＝3或m＝3， ∴P（0，3）或P（0，3）， ③PC＝BP， ∴PC2＝BP2， ∴4+（m﹣2）2＝（m﹣3）2， 解得m， ∴P（0，）． 综上所述，P点的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0，3）或（0，）． （3）过点C作CP交x轴于点P，使DP＝HF，过点C作CH⊥y轴， ∵CH⊥y轴，OD⊥y轴，CD⊥x轴，OH⊥x轴， ∴∠CHO＝∠HOD＝∠OPC＝∠PCH＝90°， ∴四边形HODC为长方形， ∵C（2，2）． ∴CD＝OD＝2， ∴四边形HODC为正方形， ∴CH＝CD， ∵在△CHF和△CDP中，∠CHF＝∠CDP＝90°，CH＝CD，HF＝DP， ∴△CHF≌△CDP（SAS）， ∴CF＝PC，∠HCF＝∠DCP， ∵∠HCD＝∠HCF+∠FCE+∠ECD＝∠HCF+∠FCD＝90°， ∴∠DCP+∠FCD＝90°， ∴∠HCP＝∠FCD+∠DCP＝90°， ∵∠FCE＝45°， ∴∠ECP＝∠FCP﹣∠FCE＝90°﹣45°＝45°， 在△ECF和△ECP中，∠FCE＝∠ECP，CE＝CE，CF＝CP， ∴△CFE≌△CPE（SAS）， ∴EF＝EP， ∵EP＝ED+DP＝ED+HF，设OE＝m，OF＝n， ∴HF＝OH﹣OF＝2﹣n，ED＝2﹣m+2﹣n＝4﹣m﹣n， ∴△OEF的周长＝OE+OF+EF ＝m+n+4﹣m﹣n ＝4． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，把长方形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到长方形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（8，0）． （1）当α＝60°时，△CBD的形状是 　 　 ； （2）当AH＝HC时，①求点H的坐标；②求直线FC的解析式． 【答案】（1）等边三角形； （2）①H（5，4）；②yx． 【解答】解：（1）∵把长方形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到长方形CFED，且α＝60°， ∴∠BCD＝60°，BC＝DC， ∴△CBD是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）①过H作HP⊥OC于P，如图： ∵四边形COAB是长方形，PH⊥OC， ∴∠AOP＝∠OAH＝∠OPH＝90°， ∴四边形POAH是长方形， ∴AH＝OP，OA＝HP，∠HPC＝90°， ∵A（0，4），C（8，0）， ∴OA＝HP＝4，OC＝8， 设AH＝OP＝t，则CP＝8﹣t， ∵AH＝HC， ∴HC＝t， 在Rt△PHC中，HP2+CP2＝HC2， ∴42+（8﹣t）2＝t2， 解得t＝5，即OP＝5， ∴H（5，4）； ②设直线FC解析式为y＝kx+b， 将H（5，4）、C（8，0）代入得： ，解得， ∴直线FC解析式为yx． 【变式2】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），直线l是经过点（0，）且平行于x轴的直线，点B在直线l上，连接AB，设点B的横坐标为m（m＞0）． （1）如图1，当m＝9时，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，求直线BC的函数表达式． （2）在图2中以AB为直角边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连接OD，求△AOD的面积（用含m的代数式表示）． （3）在图3中以AB为边作等腰直角三角形ABP，当点P落在直线yx上时，求m的值． 【答案】（1）yx；（2）当0＜m＜1.5时，S＝3﹣2m；当m≥1.5时，S＝2m﹣3；当0＜m＜6.5时，S＝13﹣2m； 当m≥6.5时，S＝2m﹣13；（3）或或． 【解答】解：（1）作CN⊥x轴于N，BM⊥x轴于M， ∵∠BAC＝90°， ∴∠NAC+∠NCA＝∠NAC+∠MAB＝90°， ∴∠NCA＝∠MAB， ∵CA＝AB， ∴Rt△NCA≌Rt△MAB， ∴NC＝MA，NA＝MB， ∵点B的横坐标为m，且m＝9， ∴点B的坐标为（9， ）， ∴NC＝MA＝MO﹣OA＝9﹣4＝5，NA＝MB，ON＝OA﹣NA， ∴点C的坐标为（，5 ）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将（9， ），（，5 ）代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为yx； （2）过B作直线EF⊥x轴于F，过D1作D1M⊥EF交直线EF于E，过D2作D2E⊥EF交直线EF于M， 同理可证Rt△FAB≌Rt△EBD1≌Rt△MBD2， ∴AF＝BE＝MB，FB＝D1E＝D2M， ∵点B的横坐标为m， ∴AF＝BE＝MB＝m﹣4，FB＝D1E＝D2M， 点D1的坐标为（m，m﹣4），即D1的坐标为（m，m）， 点D2的坐标为（m，m+4），即D2的坐标为（m，m）， ∵S△OAD1， D点位于直线AB左侧时， 当0＜m＜1.5时，S4×（m）＝3﹣2m； 当m≥1.5时，S4×（m）＝2m﹣3； D点位于直线AB右侧时， 当0＜m＜6.5时，S4×（m）＝13﹣2m； 当m≥6.5时，S4×（m）＝2m﹣13； （3）①当∠ABP＝90°时， 由（2）可知D与P重合， ∴点P的坐标为（m，m）， 当点P落在直线y上时， m， 解得：m； 由（2）知，点D2（m+2.5，m）， 由（2）可知D2与P重合， ∴点P的坐标为（m+2.5，m）， 当点P落在直线y上， 解得：m； ②当∠BAP＝90°时， 同理可证明Rt△HAP≌Rt△GBA， ∵点B的坐标为（m，）， ∴PH＝AG＝m﹣4，AH＝BG， ∴点P的坐标为（ 4，m﹣4），即（，m﹣4 ）， 当点P落在直线y上时， m﹣4， 解得：m， 当AB是斜边时，过点P作PM⊥OA于点M，BN⊥PM于点N，则△PMA≌△BNP． 设OM＝x，则AM＝PN＝x﹣4， ∴PN＝PN+MN＝x， ∴P（x，x）， ∴xx， ∴x， ∴PM＝BN＝x， ∴m＝OM+BN＝2x． 综上，m的值为或或或． 题型8 一次函数几何综合_存在型 【典例1】如图1，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点M的坐标； ②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对于yx+3 由x＝0得：y＝3， ∴B（0，3） 由y＝0得：yx+3，解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴C（6，0） 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，则， 解得． ∴直线BC的函数解析式为yx+3； （2）设M（m，0）， 则P（m，m+3）、Q（m，m+3） 如图1，过点B作BD⊥PQ于点D， ∴PQ＝|（m+3）﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|， ∴S△PQBPQ•BDm2， 解得m＝±， ∴M（，0）或M（，0）； （3）如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BMC+∠BCA＝90° ∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90° ∴BM2+BC2＝MC2 设M（x，0），则P（x，x+3） ∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45 ∴x2+9+45＝（6﹣x）2， 解得x． ∴P（，）． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得P（，）， 综上，点P的坐标为（，）或（，）． 【变式1】（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连接AE、DE，求证△AED是等腰直角三角形． （2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，则点D的坐标为　 　 ． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）（6，0）或（，0）． 【解答】（1）证明：∵在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD （SAS）， ∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC， 在Rt△EDC中，∠C＝90°， ∴∠EDC+∠DEC＝90°． ∴∠AEB+∠DEC＝90°． ∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°， ∴∠AED＝90°． ∴△AED是等腰直角三角形； （2）解：如图2，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F， 把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2， ∴点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝2， 把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1， ∵AO⊥OB，EF⊥BD， ∴∠AOB＝∠BFE＝90°， ∵AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°， ∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°， 又∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠EBF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1， ∴OF＝3， ∴点E的坐标为（3，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 由题意可得 ， 解得 ， ∴直线AC的解析式为yx+2， 令y＝0，解得x＝6， ∴D（6，0）． 当D在B左侧时，D（，0）． 综上所述，点D的坐标为（6，0）或（，0）． 【变式2】如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6．在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点． （1）B'点的坐标是　 　 ． （2）求折痕CM所在直线的解析式． （3）在x轴上是否能找到一点P，使△B'CP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形OABC， ∴BC＝OA， ∵OA＝10， ∴BC＝10， ∵△CBM沿CM翻折， ∴B′C＝BC＝10， 在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6， ∴B′O8， ∴B′（8，0）， 故答案为：（8，0）； （2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x， ∵OA＝10，B′O＝8， ∴B′A＝2， ∵△CBM沿CM翻折， ∴B′M＝BM＝6﹣x， 在Rt△AB′M中，B′A2+AM2＝B′M2， ∴22+x2＝（6﹣x）2，解得x， ∴M（10，）， 设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得： ，解得k，b＝6， ∴CM所在直线的解析式为yx+6； （3）∵△B'CP的面积为12， ∴B′P•OC＝12， ∴B′P×6＝12， ∴B′P＝4， ∵B′（8，0）， ∴P（12，0）或P（4，0）． 题型9 一次函数几何综合_存在型_三角形 【典例1】如图1，直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且OB＝3OA． （1）求直线AB的解析式； （2）点M是BC的中点，N为直线AB上的一个动点，连接MN，若∠BNM＝45°，求点N的坐标； （3）点P是直线AB上的一个动点，连接CP，请直接写出使△BPC是直角三角形的点P坐标　 　 ． 【答案】（1）y＝3x+8； （2）N（﹣2，2）； （3）（﹣2，2）或（﹣4，﹣4）． 【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点C和点B，点A在x轴负半轴，且OB＝3OA． 当x＝0时，得：y＝8， ∴点B（0，8）， ∴OB＝8， ∴， ∴点， 设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝3x+8； （2）直线y＝﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点C和点B， 当y＝0时，得：﹣2x+8＝0， 解得：x＝4， ∴点C（4，0）， ∵点M是BC的中点，点B（0，8），点C（4，0）， ∴点M（2，4）， 设点N（n，3n+8）， 如图1，当点N在点B下方时，过点M作MH⊥MN交直线AB于H，过点M作EF⊥AC，过点N作NF⊥EF于点F，过点H作HE⊥EF于点E， ∴∠NMH＝90°＝∠HEM＝∠NFM， ∴∠NMF+∠HME＝90°＝∠NMF+∠MNF， ∴∠HME＝∠MNF， ∵∠BNM＝45°， ∴△NHM是等腰直角三角形， ∴MN＝MH， ∴△NMF≌△MHE（AAS）， ∴HE＝MF，NF＝EM， ∴MF＝4﹣（3n+8）＝﹣4﹣3n＝EH，NF＝2﹣n＝EM， ∴H（6+3n，6﹣n）， ∴6﹣n＝3（6+3n）+8， ∴n＝﹣2， ∴点N坐标为（﹣2，2）； 当点N在点B上方时，如图2，构造同样辅助线， 同理△NMF≌△MHE（AAS）， ∴HE＝MF，NF＝EM， ∴MF＝3n+8﹣4＝3n+4＝EH，NF＝2﹣n＝EM， ∴H（﹣3n﹣2，2+n）， ∴2+n＝3（﹣3n﹣2）+8， ∴n＝0， 此时点N与点B重合，不符合题意； 综上所述：点N（﹣2，2）； （3）点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣4）．理由如下： 设点P（m，3m+8）， ∵点B（0，8），点C（4，0）， ∴BC2＝80，PC2＝（m﹣4）2+（3m+8）2，PB2＝m2+（3m+8﹣8）2＝10m2， 当∠BPC＝90°时，如图3，PB2+PC2＝BC2， ∴10m2+（m﹣4）2+（3m+8）2＝80， 解得：m＝﹣2或0（舍去）， ∴点P的坐标为（﹣2，2）； 当∠BCP＝90°时，PB2﹣PC2＝BC2， ∴10m2﹣[（m﹣4）2+（3m+8）2]＝80， 解得：m＝﹣4， ∴点P的坐标为（﹣4，﹣4）； 综上所述，点P的坐标为（﹣2，2）或（﹣4，﹣4）， 故答案为：（﹣2，2）或（﹣4，﹣4）． 【变式1】如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4）． （1）求直线AB相应的函数表达式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝8，求点C的坐标； （3）若直线AB上有D（a，b），E（a+1，c）两点，则c﹣b＝　 　 ； （4）若在x轴上存在点F，使得△ABF是等腰三角形，则点F的坐标为　 　 ． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）（﹣2，0）或（8，0）或（﹣3，0）或（，0）． 【解答】解：（1）∵直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，﹣4）， ∴设直线AB的解析式为y＝kx﹣4， 把A（3，0）代入，得3k﹣4＝0， 解得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵点C在第一象限， ∴xC＞0， ∵B（0，﹣4）， ∴OB＝4， ∴， ∴xC＝4， ∵点C在直线AB上， ∴， ∴； （3）∵直线上有D（a，b），E（a+1，c）两点， ∴当x＝a时，； 当x＝a+1时，， ； 故答案为：； （4）∵A（3，0），B（0，﹣4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴， 设点F（m，0）， 当△ABF为等腰三角形时，分3种情况： ①当AF＝AB＝5时，则m＝3﹣5＝﹣2或m＝3+5＝8， ∴F（﹣2，0）或F（8，0）； ②当BF＝AB＝5时，如图， ∵BO⊥AF， ∴OF＝OA＝3， ∴F（﹣3，0）； ③当AF＝BF时，如图， 则AF＝BF＝3﹣m， 在Rt△BOF中，由勾股定理得：OF2+OB2＝BF2， ∴m2+42＝（3﹣m）2， 解得， ∴； 综上：F（﹣2，0）或F（8，0）或F（﹣3，0）或． 故答案为：（﹣2，0）或（8，0）或（﹣3，0）或（，0）． 题型10 一次函数几何综合_最值型 【典例1】如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k，b＝4，m＝2； （2）6； （3）存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）． 【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5）， ∴5＝1+b， ∴b＝4， ∴直线l2：y＝﹣x+4， ∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m）， ∴m＝﹣2+4＝2， ∴C（2，2）， 把C（2，2）代入y＝kx+1，得到k． ∴k，b＝4，m＝2； （2）对于直线l1：yx+1，令y＝0，得到x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）， ∴OD＝2， 对于直线l2：y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4，AD＝6， ∵C（2，2）， ∴S△ADC6×2＝6； （3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小． ∵B（﹣1，5），C（2，2）关于x轴的对称点是（2，﹣2）， 则设经过（2，﹣2）和B（﹣1，5）的函数解析式是y＝mx+n， 则， 解得：， 则直线的解析式是yx． 令y＝0，则x0，解得：x． 则E的坐标是（，0）． ∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E（，0）． 【变式1】【观察发现】如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①∠OAB的度数为　　 ； ②C，D是正比例函数y＝kx的图象上的两个动点，连接AC，BD．若AC⊥CD，AC＝3，则BD的最小值是　　 ； （2）如图3，一次函数y＝3x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线AB顺时针旋转45°得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，Rt△AOB是某试验田的一块区域示意图，OA⊥OB，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段AB上．现要规划一片等腰直角三角形区域△PMN作为新品种小麦的研究基地，点M在线段BO上，点N在线段OB的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为（6，8），按设计要求∠PMN＝90°，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【答案】（1）①45°； ②4； （2）； （3）． 【解答】解：（1）①∵直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当y＝0时，得：﹣x+5＝0， 解得：x＝5； 当x＝0时，y＝5， ∴A（5，0），B（0，5）， ∴OA＝OB＝5， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 故答案为：45°； ②如图2，AC⊥CD，AC＝3，根据垂线段最短，得到BD⊥CD时，BD取得最小值， ∴∠BDO＝∠BOA＝∠ACO＝90°， ∴∠COA+∠DOB＝90°，∠DBO+∠DOB＝90°， ∴∠DBO＝∠COA， 在△AOC和△OBD中， ， ∴△AOC≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OC， 在直角三角形AOC中，OA＝5，AC＝3， 由勾股定理得：， 故答案为：4； （2）如图3，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥DF于点E，则四边形BEFO为矩形， ∴BE＝OF，EF＝OB， ∵∠ABD＝45° ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴DA＝DB， ∵BE⊥DF，DF⊥OA， ∴∠BED＝∠DFA＝∠BDA＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠BDE+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠DBE， 在△ADF和△DBE中， ， ∴△ADF≌△DBE（AAS）， ∴ED＝FA，BE＝DF， ∵一次函数y＝3x+6的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当y＝0时，得：3x+6＝0， 解得：x＝﹣2； 当x＝0时，得：y＝6， ∴A（﹣2，0），B（0，6）， ∴OA＝2，OB＝6， ∴BE＝OF＝2+AF，EF＝OB＝DE+DF＝AF+BE＝2AF+2＝6， 解得：AF＝DE＝2，BE＝DF＝4． ∴D（﹣4，4）， 设直线l的解析式为y＝kx+b，将点B，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线l解析式为； （3）如图4，点P的坐标为（6，8），按设计要求∠PMN＝90°，过点M作MH∥y轴，过点N作NH∥x轴，MH与NH相交于点H，过点P作PG∥x轴，交直线HM于点G． ∴∠GMP+∠NMH＝90°，∠GMP+∠GPM＝90°， ∴∠NMH＝∠GPM． 在△MGP和△NHM中， ， ∴△MGP≌△NHM（AAS）， ∴HN＝GM，GP＝MH， 设点M（m，0），点N（x，y）， 即6﹣m＝﹣y，x﹣m＝8， 解得：x＝m+8，y＝m﹣6， 则y＝x﹣14．即点N在直线y＝x﹣14上， 过点O作直线y＝x﹣14的对称点O′，当点P，N，O′三点共线时，PN+ON＝PN+ON′＝PO′最小，即OP+ON+PN的值最小， 设直线y＝x﹣14与x轴交于点J，与y轴交于点K，连接JO′，KO′， 则点J（14，0），点K（0，﹣14），∠OJK＝∠OKJ＝45°， △JOK≌△JO′K（SSS）， ∴JO＝JO′＝14，∠OJK＝∠O′JK＝∠O′KJ＝∠OKJ＝45°， ∴JO＝JO′＝14，OK＝O′K＝14，∠OJK＝∠O′JK＝∠O′KJ＝∠OKJ＝45°， ∴∠OJO′＝∠OKO′＝90°， ∴点O′（14，﹣14）， ∴， ∴OP+ON+PN的值最小为． 题型11 一次函数几何综合_运动型 【典例1】如图1，正方形OABC，顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，连接C、A两点的三条折线段中，CD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D，E，CD＝18，DE＝10，AE＝6． （1）求点A的坐标； （2）如图2，将图1正方形OABC绕点O逆时针旋转，使点A旋转到第一象限且到y轴的距离为， ①请求出此时顶点C的坐标； ②点P在对角线AC上运动（不与A、C重合），当△AOP为直角三角形时，点P的纵坐标为　 　 ； ③已知点Q（m，﹣2），在②的条件下，请直接写出点P与点Q距离的最小　 ． 【答案】（1）；（2）①；②；③． 【解答】解：（1）解法一：如图，以DE和AE为边构造矩形DEAG，连接AC， ∵DE＝10，AE＝6， ∴AG＝DE＝10，DG＝AE＝6， ∵CD＝18， ∴CG＝CD+DG＝24， 在Rt△ACG中，AC26， ∵四边形OABC为正方形， ∴OA＝OC， 在Rt△OAC中，OA2+OC2＝AC2， ∴OA＝13． 解法二：如图，过D作DH⊥OC于点H，过E作EG⊥OA于点G，GE延长线交DH于点F， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝OC，∠COA＝90°， ∵DH⊥OC，EG⊥OA， ∴∠CHP＝∠OHP＝∠FGO＝∠FGA＝90°， ∴四边形OGFH是矩形， ∴FG＝OH，GO＝FH，∠GFH＝∠DFE＝90°， ∵CD⊥DE，AE⊥DE， ∴∠CDH＝∠DEF＝90°﹣∠FDE，∠EAG＝∠DEF＝90°﹣∠GEA， ∴∠CDH＝∠DEF＝∠EAG， ∵∠PHC＝∠EGA＝∠EFD＝90°， ∴△PHC∽△EFD∽△AGE， ∴，， ∵CD＝18，DE＝10，AE＝6， ∴，， ∴设GE＝3a，AG＝3b，则DF＝5a，EF＝5b，CH＝9a，DH＝9b， ∴OH＝FG＝EF+EG＝5b+3a，OG＝HF＝DH﹣DF＝9b﹣5a， ∴OC＝HC+OH＝9a+5b+3a＝12a+5b，OA＝AG+OG＝3b+9b﹣5a＝12b﹣5a， ∴OC＝OA＝12a+5b＝12b﹣5a， 解得， 在Rt△AGE中GE2+AG2＝AE2， ∴（3a）2+（3b）2＝62， ∴， ∴（负值不合题意，已舍去）， ∴， ∴， ∴点A的坐标； （2）①如图，过C作CM⊥y轴于点M，过A作AN⊥y轴于点N，则∠ANO＝CMO＝90°， ∵四边形OABC是正方形， ∴AO＝CO，∠AOC＝90°， ∴∠COM＝∠OAN＝90°﹣∠AON， ∴△COM≌△OAN（AAS）， ∴OM＝AN，CM＝ON， ∵点A旋转到第一象限且到y轴的距离为， ∴AN＝OM＝12， 由（1）知， ∴， ∴， ∵点C在三象限， ∴； ②连接OB， ∴∠OAP＝45°，AC和OB互相垂直且平分， ∵△AOP为直角三角形， ∴第一种情况：当∠AOP＝90°时，点P与点C重合，此时不合题意，故舍去； 第二种情况：当∠APO＝90°时，点P为对角线AC和OB的交点，此时点P为AC中点， ∵， ∴AC中点， ∴点P的纵坐标为； 故答案为：； ③∵点Q（m，﹣2）在直线y＝﹣2上运动， ∴当PQ垂直于直线y＝﹣2时，点P与点Q距离的最小，此时最小值为， 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足． （1）求直线AP的解析式； （2）如图1，点M为直线x＝﹣2上一点，点N为y轴上一点，若△MAP面积等于4，且△MNA是以MA为底的等腰三角形，请求出点M和点N的坐标； （3）如图2，点B（2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰Rt△DCE，EF⊥x轴，F为垂足，试判断的值是否为定值，如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【答案】（1）y＝3x﹣3； （2）点M，点N的坐标分别为（﹣2，﹣1），（0，﹣1）或（﹣2，﹣17），； （3）的值为定值，定值3． 【解答】解：（1）∵直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、p满足， 依题意得：， 解得：， ∴点A（0，﹣3），点P（1，0）， 设直线AP的解析式为y＝kx+b′，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AP的解析式为y＝3x﹣3； （2）如图1，连接MP，交y轴于点H，设M（﹣2，m），N（0，n）， 根据题意S△MAP＝S△MAH+S△HAP＝4， ∴，即， 解得：， ∴或， ∴或， 设直线MP的解析式为y＝sx+c，将点P，点H的坐标分别代入得： 或， 解得或， ∴直线MP的解析式为或， 当x＝﹣2时，y＝﹣1或y＝﹣17， ∴M点的坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣2，﹣17）； ∵△MNA是以MA为底的等腰三角形， ∴MN＝AN， ∴MN2＝AN2，即22+（n+1）2＝（n+3）2或22+（n+17）2＝（n+3）2， 解得n＝﹣1或， ∴N点的坐标为（0，﹣1）或， 综上所述，点M，点N的坐标分别为（﹣2，﹣1），（0，﹣1）或（﹣2，﹣17），； （3）的值为定值；理由如下： 由（1）知直线AP的解析式为y＝3x﹣3， ∵点B（2，b）在直线AP上， ∴b＝3×2﹣3＝3， ∵A（0，﹣3），P（1，0），且， ∴点P为AB的中点， 如图2，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴，PC⊥AP， ∴∠CPG+∠APO＝90°，∠APO+∠PAO＝90°， ∴∠CPG＝∠PAO， 在△APO与△PCG中， ， ∴△APO≌△PCG（AAS）， ∴PG＝AO＝3，CG＝PO， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴CD＝DE，∠CDG+∠EDF＝90°， 又∵EF⊥x轴， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∴∠CDG＝∠DEF， 在△CDG和△DEF中， ， ∴△CDG≌△DEF（AAS）， ∴DG＝EF， ∴DP＝PG﹣DG＝3﹣EF， ∴，即的值为定值，定值3． 【变式2】已知一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APB为直角三角形？ （2）当t为何值时，△APB为等腰三角形？ 【答案】（1）当t的值为5或时，△APB为直角三角形； （2）当t的值为或或10时，△APB为等腰三角形． 【解答】解：（1）∵一次函数yx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B， 当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0），B（0，4）， ∴OA＝5，OB＝4， ∴AB， △APB为直角三角形，分两种情况： ①当∠APB＝90°时，点P与点O重合， ∴AP＝OA＝5， ∵点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）． ∴当t的值为5时，△APB为直角三角形； ②当∠ABP＝90°时，设P（a，0）， ∴BP，AP＝5﹣a， ∵S△ABPAP•OBAB•PB， ∴4（5﹣a），解得a， ∴AP＝5﹣a， ∴当t的值为时，△APB为直角三角形； 综上，当t的值为5或时，△APB为直角三角形； （2）由题意得AP＝t， ①当AP＝BP时，AP＝BP＝t， OP＝OA﹣AP＝5﹣t， 在Rt△OBP中，BP2＝OB2+OP2， ∴t2＝42+（5﹣t）2， ∴t， ∴当t的值为时，△APB为等腰三角形； ②当AP＝AB时，AP＝AB， ∴当t的值为时，△APB为等腰三角形； ③当AB＝PB时， ∵AB＝PB，OB⊥AP， ∴OP＝OA＝5， ∴AP＝10， ∴当t的值为10时，△APB为等腰三角形； 综上，当t的值为或或10时，△APB为等腰三角形． 题型12 一次函数几何综合_变换型 【典例1】如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为 　 　 ． 【答案】（，） 【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H， ∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°， ∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°， ∴∠MCP＝∠DPN， ∵P（1，1）， ∴OM＝BN＝1，PM＝1， 在△MCP和△NPD中 ∴△MCP≌△NPD（AAS）， ∴DN＝PM，PN＝CM， ∵BD＝2AD， ∴设AD＝a，BD＝2a， ∵P（1，1）， ∴DN＝2a﹣1， 则2a﹣1＝1， a＝1，即BD＝2． ∵直线y＝x， ∴AB＝OB＝3， 在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD， 在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2， 则C的坐标是（0，3）， 设直线CD的解析式是y＝kx+3， 把D（3，2）代入得：k， 即直线CD的解析式是yx+3， 即方程组得：， 即Q的坐标是（，）， ②当点C在y轴的负半轴上时，作PN⊥AD于N，交y轴于H，此时不满足BD＝2AD， 故答案为：（，）． 【变式1】如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒． （1）当t＝3时，求l的解析式； （2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围； （3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+b交y轴于点P（0，b）， 由题意，得b＞0，t≥0，b＝1+t． 当t＝3时，b＝4， 故y＝﹣x+4． （2）当直线y＝﹣x+b过点M（3，2）时， 2＝﹣3+b， 解得：b＝5， 5＝1+t， 解得t＝4． 当直线y＝﹣x+b过点N（4，4）时， 4＝﹣4+b， 解得：b＝8， 8＝1+t， 解得t＝7． 故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7． （3）如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝3，MD＝2． 已知∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形， ∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1， ∴E（1，0），F（0，﹣1）． ∵M（3，2），F（0，﹣1）， ∴线段MF中点坐标为（，）． 直线y＝﹣x+b过点（，），则b，解得：b＝2， 2＝1+t， 解得t＝1． ∵M（3，2），E（1，0）， ∴线段ME中点坐标为（2，1）． 直线y＝﹣x+b过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3， 3＝1+t， 解得t＝2． 故点M关于l的对称点，当t＝1时，落在y轴上，当t＝2时，落在x轴上． 题型13 一次函数几何综合_面积型 【典例1】如图，已知直线y＝kx+b经过点A（0，5），B（4，1），并与x轴交于点C，与直线y＝2x﹣1相交于点D． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求不等式kx+b＞0的解集； （3）直线y＝2x﹣1与y轴交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得S△AED＝2S△AEP，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5； （2）不等式kx+b＞0的解集为x＜5； （3）P（1，4）或（﹣1，6）． 【解答】解：（1）把点A（0，5），B（4，1）代入y＝kx+b得，， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+5； （2）在y＝﹣x+5中，令y＝0，则x＝5， ∴C（5，0）， ∴不等式kx+b＞0的解集为x＜5； （3）解得， ∴D（2，3）， 设P（m，﹣m+5）， ∵直线y＝2x﹣1与y轴交于点E， ∴E（0，﹣1）， ∴OE＝1， ∵S△AED＝2S△AEP， ∴AE•xD＝2AE•xP， ∴6×2＝26•|m|， ∴m＝±1， ∴P（1，4）或（﹣1，6）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且，求点D的坐标； （3）若直线y＝3x的图象上有一点P，且S△PAC＝6时，求点P的坐标． 【答案】（1）k＝﹣1，b＝4； （2）点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； （3）点P的坐标为（0，0）或（2，6）． 【解答】解：（1）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． 当x＝1时，y＝3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将点A、点C的坐标分别代入y＝kx+b得： ， 解得：； （2）由（1）知y＝﹣x+4， 一次函数y＝﹣x+4与x轴相交于点B， 当y＝0时，得：﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）． 如图1，点D在y轴上，设点D的坐标为（0，m）， ∵， 解得：m＝±4， ∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； （3）如图2，作AE∥x轴交直线y＝3x于点E，设点P的坐标为（c，3c）， ∵A（﹣2，6）， ∴点E的纵坐标为6， 当y＝6时，得：3x＝6， 解得：x＝2， ∴AE＝4， ∵点C的坐标为（1，3）， 由题意得：， 即|3c﹣3|＝3， 解得：c＝2或c＝0， ∴点P的坐标为（0，0）或（2，6）． 过 关 验 收 1．已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　 ． 【答案】（﹣3，1）． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， ∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 2．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点P（2，p）在第一象限内，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，且S△AOP＝6， （1）求S△COP； （2）求点A的坐标及p的值； （3）若S△AOP＝S△BOP，求直线BD的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）作PE⊥y轴于E， ∵P的横坐标是2，则PE＝2． ∴S△COPOC•PE2×2＝2； （2）∴S△AOC＝S△AOP﹣S△COP＝6﹣2＝4， ∴S△AOCOA•OC＝4，即OA×2＝4， ∴OA＝4， ∴A的坐标是（﹣4，0）． 设直线AP的解析式是y＝kx+b，则 ， 解得：． 则直线的解析式是yx+2． 当x＝2时，y＝3，即p＝3； （3）∵S△AOP＝S△BOP， ∴OB＝OA＝4，则B的坐标是（4，0）， 设直线BD的解析式是y＝mx+n，则 ， 解得． 则BD的解析式是：yx+6． 3．如图，点A（1，3）、点B（m，1）是一次函数y＝﹣x+b的图象上的两点，一次函数y＝﹣x+b图象与x轴交于点D． （1）b＝　　 ，m＝　 ； （2）过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点，点C是点A关于原点的对称点．试判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由． （3）连接AO、BO，求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A在直线y＝﹣x+b上， ∴﹣1+b＝3， ∴b＝4， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∵点B（m，1）在直线y＝﹣x+4上， ∴﹣m+4＝1， ∴m＝3 故答案为4，3； （2）如图1，∵B（3，1）， ∵点E和点D关于l对称， ∴E（2，0）， ∵点C和点A关于原点对称． ∴C（﹣1，﹣3）， 设直线BC的函数的关系式：y＝kx+b'， 将B（3，1）、C（﹣1，﹣3）两点代入上式得， ∴， ∴直线BC的函数的关系式：y＝x﹣2； 将x＝2代入y＝x﹣2得y＝0，则点E（2，0）在直线BC上， ∴点B、E、C在一条直线上； （3）如图2， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4， 令y＝0， ∴﹣x+4＝0， ∴x＝4， ∴D（4，0）， ∴OD＝4， S△AOB＝S△AOD﹣S△BODOD×yAOD×yB4×34×1＝6﹣2＝4． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4与正比例函数y＝3x交于点A（1，m）． （1）求m和k的值． （2）若点B（3，n）在直线y＝kx+4上，连接OB，求△AOB的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式0＜kx+4＜3x的解集． 【答案】（1）m＝3，k＝﹣1； （2）4； （3）1＜x＜4． 【解答】解：（1）将A（1，m）代入y＝3x，得： m＝3×1＝3， ∴A（1，3）， 将A（1，3）代入y＝kx+4，得： 3＝k+4， 解得：k＝﹣1； （2）由（1）得k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝3时，y＝﹣3+4＝1＝n，则B（3，1）， 当y＝0时，x＝4，则直线AB与x轴交点为C（4，0），如图1， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC4×34×1＝4； （3）如图2，由（2）知：C（4，0）， 根据函数图象可知，当1＜x＜4时，直线y＝﹣x+4在直线y＝3x的下方，且在x轴的上方， ∴不等式0＜kx+4＜3x的解集为：1＜x＜4． 5．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为d（M，N）特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”d（M，N）＝0． （1）如图1，在平面直角坐标系中，∠AOB＝60°，若A（4，0），M（0，2），N（﹣1，0），则d（N，∠AOB）＝　　 ，d（M，∠AOB）＝　　 ； （2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L． ①若k＞0，且d（L，△ABC）＝2，求k的值； ②若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围． 【答案】（1）1，1； （2）①k＝1；②k≥3或k≤﹣3． 【解答】解：（1）∵M（0，2），N（﹣1，0）， ∴OM＝2，ON＝1， 由题意知，d（N，∠AOB）＝ON＝1， 如图，作MH⊥OB于点H， ∵∠AOB＝60°， ∴∠MOH＝30°， ∴MH＝OM＝1， ∴d（M，∠AOB）＝MH＝1， 故答案为：1，1； （2）①如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E． y＝kx+6中，令x＝0，则y＝6， ∴D（0，6）， ∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4， ∵d（L，△ABC）＝2， ∴AE＝2， ∴DEAE， ∴∠ADE＝45°， ∴∠DFO＝45°， ∴OF＝OD＝6， ∴F（﹣6，0）， 将F（﹣6，0）代入y＝kx+6，得﹣6k+6＝0， 解得k＝1； ②图象L经过点B和点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d（L，△ABC）＝0， 当图象L经过点B时， 将B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0， 解得k＝3， 当图象L经过点C时， 将C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0， 解得k＝﹣3， 由一次函数的图象和性质可知，当k＞3或k＜﹣3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d（L，△ABC）＝0， 故k的取值范围为k≥3或k≤﹣3． 6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（x，y）（xy≠0）是平面内任意一点．过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点M和点N，若四边形PMON的周长为6，则点P叫做“周六点”．例如：如图中的P（2，﹣1）是一个“周六点”． （1）若D（m，2m+2）为第一象限的“周六点”，求m的值； （2）点Q的坐标为（2，2），若点P是“周六点”，PQ的最小值为　 　 ； （3）若一次函数y＝kx+k﹣4的图象上存在“周六点”，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）k≥1或k＜﹣2． 【解答】解：（1）∵D（m，2m+2）为第一象限的“周六点”， 依题意得：2（m+2m+2）＝6， 解得：； （2）如图1，点Q的坐标为（2，2），过点Q作QC⊥y轴，QD⊥x轴，QP⊥EF， ∴四边形QCOD是正方形，此时，PQ最小， ∵点P是“周六点”， 设点P的坐标是（x，y），则|x|+|y|＝3， ∵PQ最小， ∴点P在第一象限， ∴x+y＝3，即y＝﹣x+3， ∵点Q的坐标为（2，2）， ∴CQ＝DQ＝2， 当x＝2时，得：y＝﹣x+3＝1， ∴点F的坐标是（2，1）， ∴QF＝1， 当y＝2时，得：﹣x+3＝2， 解得：x＝1， ∴点E的坐标是（1，2）， ∴QE＝1， 在△QEF中，∠EQF＝90°， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）一次函数y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4必经过点（﹣1，﹣4）， 如图2， ∵点P（x，y）是“周六点”， ∴点P在正方形ABCD上且不与点A、B、C、D重合， 即直线y＝kx+k﹣4与正方形ABCD的边相交 （正方形的顶点除外）， 当k＞0时，一次函数y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4经过点B（0，﹣3），将点B的坐标代入得： k×0+k﹣4＝﹣3， 解得：k＝1， 当k＝1时，直线y＝kx+k﹣4与直线BC重合， 要使直线y＝kx+k﹣4与正方形ABCD的边相交 （正方形的顶点除外）， ∴k﹣4＞﹣3， 解得：k＞1； ∴k≥1； 当k＜0时，一次函数y＝kx+k﹣4＝k（x+1）﹣4经过点A（﹣3，0），将点A的坐标代入得： ﹣3k+k﹣4＝0， 解得：k＝﹣2； ∴y＝﹣2x﹣6， 要使直线y＝kx+k﹣4与正方形ABCD的边相交（正方形的顶点除外）， ∴k﹣4＜﹣6， ∴k＜﹣2； 综上所述，k≥1或k＜﹣2． 7．OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6． （1）如图，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．求B′点的坐标； （2）求折痕CM所在直线的解析式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴CB＝OA＝10，AB＝OC＝6， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点， ∴CB′＝CB＝10，B′M＝BM， 在Rt△OCB′中，OC＝6，CB′＝10， ∴OB′＝8， ∴B′点的坐标为（8，0）； （2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6﹣t， 而AB′＝OA﹣OB′＝2， 在Rt△AB′M中，B′M2＝B′A2+AM2，即（6﹣t）2＝22+t2，解得t， ∴M点的坐标为（10，）， 设直线CM的解析式为y＝kx+b， 把C（0，6）和M（10，）代入得，b＝6，10k+b，解得k，b＝6， ∴直线CM的解析式为yx+6． 8．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　 ，点B的坐标为 　 　 ； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线yx+3经过点B、C， 设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3， ∴C（0，3）； 设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2， ∴B（﹣4，2）； 故答案为：（0，3）；（﹣4，2）； （2）①证明：∵AB∥y轴， ∴∠OCM＝∠CMD． ∵∠OCM＝∠MCD， ∴∠CMD＝∠MCD， ∴MD＝CD， ∴CMD是等腰三角形； ②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P． 在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP3， ∴OP＝AD＝CO+CP＝3+3＝6， ∴AM＝AD﹣DM＝6﹣5＝1， ∴点M的坐标是（﹣4，1）． 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得 ， 解得， 故直线l的解析式为yx+3． 9．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对于直线AB：， 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4， 则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）； （2）∵C（0，4），A（4，0） ∴OC＝OA＝4， 当0≤t＜4时，OM＝OA﹣AM＝4﹣t，S△OCM4×（4﹣t）＝8﹣2t； 当t＞4时，OM＝AM﹣OA＝t﹣4，S△OCM4×（t﹣4）＝2t﹣8； （3）分为两种情况：①当M在OA上时，OB＝OM＝2，△COM≌△AOB． ∴AM＝OA﹣OM＝4﹣2＝2 ∴动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； M（2，0）， ②当M在AO的延长线上时，OM＝OB＝2， 则M（﹣2，0），此时所需要的时间t＝[4﹣（﹣2）]/1＝6秒， 即M点的坐标是（2，0）或（﹣2，0）． 10．如图1，已知直线y＝﹣2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC． （1）A（　 　 ）；B（　 　 ）； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE＝AC，AE与x轴相交于点F． ①求证：BD＝ED； ②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）0，2；1，0；（2）yx；（3）①见解答；②点P的坐标为（，）或（，）． 【解答】解：（1）y＝﹣2x+2中，当x＝0时y＝2， 则A（0，2）， 当y＝0时，﹣2x+2＝0，解得x＝1， 则B（1，0）； （2）如图①，过点C作CD⊥x轴于点D， 则∠AOB＝∠BDC＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠OAB＝∠DBC， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1， 则点C（3，1）， 由点B、C的坐标得，直线BC所在直线解析式为yx； （3）①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N， 则∠BGC＝∠BME＝∠END＝∠BOD＝90°， ∵∠ABC＝90°，且AE＝AC， ∴AB是CE的中垂线， ∴BC＝BE， ∵∠CBG＝∠EBM， ∴△BCG≌△BEM（AAS）， ∴BM＝BG＝2，EM＝CG＝1， ∵BO＝1， ∴OM＝EN＝OB＝1， ∵∠BDO＝∠EDN， ∴△BDO≌△EDN（AAS）， ∴BD＝ED； ②如图③，作EH⊥x轴于点H， 由yx知D（0，），即OD， 则AD＝OA+OD， ∴S△ABDAD•OB1， 由①知E（﹣1，﹣1）， 根据A（0，2）、E（﹣1，﹣1）得直线AE解析式为y＝3x+2， 当y＝0时，3x+2＝0，解得x， ∴F（，0）， 设点P的坐标为（m，3m+2）， 当点P在点A的下方时， 则△ABP的面积＝S△ABF﹣S△BFPBF×（yA﹣yP）（1）×（2﹣3m﹣2）， 解得m， 故点P的坐标为（，）； 当点P′在点A的上方时， 则点A是点P′、P的中点， 由中点坐标公式得：点P的坐标为（，）， 综上，点P的坐标为（，）或（，）． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），C为第一象限内一点，AC⊥y轴，BC⊥x轴，D坐标为（m，0）（0＜m＜4）． （1）若D为OB的中点，求直线DC的解析式； （2）若△ACD为等腰三角形，求m的值； （3）E为四边形OACB的某一边上一点． ①若E在边BC上，满足△AOD≌△DBE，求m的值； ②若使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个，直接写出符合条件的m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A（0，3），B（4，0），四边形AOBC是矩形， ∴OA＝BC＝3，OB＝AC＝4， ∴C（4，3）， ∵点D为OB中点， ∴D（2，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线CD的解析式为yx﹣3． （2）①当DA＝DC时，D（2，0）． ②当AD＝AC＝4时，在Rt△AOD中，OD， ∴D（，0）． ③当CD＝AC时，在Rt△BCD中，BD， ∴D（4，0）． （3）①∵△AOD≌△DBE， ∴DB＝OA＝3， ∴OD＝OB﹣BD＝1， ∴m＝1． ②如图1中，当m＝3时，使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个； 如图2中，当E与C重合时，OD＝DC＝m， 在Rt△CDB中，∵CD2＝BD2+BC2， ∴m2＝（4﹣m）2+32， ∴m．此时使△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个； 综上所述，m＝3或时，△EOD为等腰三角形的点E有且只有4个； 12．如图，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标． （3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B1处，求出点M的坐标． （4）点C在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）； （2）点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）； （3）点M的坐标为（0，1.5）； （4）点C的坐标为（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）． 【解答】解：（1）对于yx+4，令y＝0，即yx+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4）； （2）设点P（x，0）， 则△ABP的面积AP×OB4×|x+3|＝8，解得x＝1或﹣7， 故点P的坐标为（1，0）或（﹣7，0）； （3）由点A、B的坐标知，OA＝3，BO＝4，则AB5＝AB1， 故点B1的坐标为（2，0）， 设点M的坐标为（0，m）， 由题意得：MB＝MB1，即m2+4＝（4﹣m）2，解得m＝1.5， 故点M的坐标为（0，1.5）； （4）设点C（0，t）， 则AB＝5，AC， 当AB＝BC时，则5＝|t﹣4|，解得t＝9或﹣1， 当AB＝AC时，即25＝9+t2，解得t＝4（舍去）或﹣4， 故点C的坐标为（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）． 13．如图，已知一次函数yx+3的图象与坐标轴交于点A、B，点C在线段AO上，将△BOC沿BC翻折，点O恰好落在AB上点D处． （1）求OC的长； （2）过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE，试判断△AOE的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意得A（﹣4，0），B（0，3），则AO＝4，BO＝3， 在Rt△AOB中，AB5， 由折叠可得，BD＝BO＝3，CO＝CD，∠BDC＝∠BOC＝90°， ∴AD＝5﹣3＝2，∠ADC＝90°， 设CO＝CD＝x，则AC＝4﹣x， 在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2， 22+x2＝（4﹣x）2， 解得x，即OC； （2）△AOE是等腰三角形， 理由：如图，延长AE交y轴于点F， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 由折叠可得，∠ABE＝∠FBE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝FE， ∵Rt△AOF中，AE＝FE， ∴OE＝AE， ∴△AOE是等腰三角形． 14．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（　　 ，　　 ），点B的坐标为（　　 ，　　 ）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D．当CD＝10时，求直线l的解析式． 【答案】（1）0，6；8，；（2）点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）或（﹣8，0）或（，0）；（3）yx+6； 【解答】解：（1）对于，令x＝0，则y＝6，当x＝8时，则， 故点C、B的坐标分别为（0，6）、（8，）， 故答案为：0，6；8，； （2）AC10， ①若AP＝AC，则点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）； ②若CA＝CP，则点P的坐标为（﹣8，0）； ③若PA＝PC，设点P的坐标为（m，0），则m2+62＝（8﹣m）2， 解得m，故点P的坐标为（，0）； 综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）或（﹣8，0）或（，0）； （3）如图2，过C点作CN⊥AB于N， ∵AB∥OC， ∴∠OCM＝∠DMC， 由题意∠DCM＝∠OCM， ∴∠DCM＝∠DMC， ∴CD＝MD＝10， ∵OC＝6， ∵CN＝OA＝8， ∴DN6， ∴NM＝10﹣6＝4， ∴AM＝2， ∴M（8，2）， 设l解析式y＝kx+b，则，解得． ∴直线l的解析式为：yx+6； 15．一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B．在y轴左侧有一点P（﹣1，a）． （1）如图1，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC＝90°，求点C的坐标； （2）当a时，求△ABP的面积； （3）当a＝﹣2时，点Q是直线y＝﹣2x+2上一点，且△POQ的面积为5，求点Q的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于D， 令x＝0，得y＝2， 令y＝0，得x＝1， ∴A（1，0），B（0，2）， ∴OA＝1，OB＝2， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAD＝90°， ∵∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BAO＝∠ACD， ∵∠BOA＝∠ADC＝90°， ∴△ABO≌△CAD， ∴AD＝BO＝2，CD＝AO＝1， ∴OD＝3， ∴C（3，1）； （2）连接PO，如图2，S△ABP＝S△AOB+S△BOP﹣S△AOP 2×11×21 ， （3）设点Q（m，﹣2m+2）， ①当点Q在第二象限时， 如图3，作PM⊥y轴于M，QN⊥y轴于N， ∴QN＝﹣m，ON＝﹣2M+2，PM＝1，OM＝2， ∵S△POQ＝S梯形PMNQ﹣S△ONQ﹣S△OMP （﹣m+1）（﹣2m+2+2）（﹣m）（﹣2m+2）1×2＝5， ∴m＝﹣2， ∴﹣2m+2＝6， ∴点Q（﹣2，6），符合题意； ②点Q在第一象限时，如图4， 作PM⊥y轴，QN⊥x轴于N，QN交PM于点M， ∴ON＝m，QN＝﹣2m+2，PM＝m+1，MN＝2， ∴QM＝﹣2m+4， ∴S△POQ＝S△OQN+S梯形ONMP﹣S△QMP m（﹣2m+2）（m+m+1）×2（m+1）（﹣2m+4） ＝5， ∴m＝3， ∴﹣2m+2＝﹣4， ∴Q（3，﹣4），但不在第一象限，不符合题意，舍去； ③当点Q在第四象限时，如图5， 作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N， ∴ON＝m，QN＝2m﹣2，PM＝2，OM＝1，MN＝m+1， ∴S△POQ＝S梯形PMNQ﹣S△PMO﹣S△QNO （2+2m﹣2）（m+1）1×2m（2m﹣2）＝5， ∴m＝3， ∴﹣2m+2＝﹣4， ∴Q（3，﹣4），符合题意， ④当点Q和点A重合时，S△POQ1×2＝1≠5，不符合题意， ⑤当点Q和点B重合时，S△POQ1×2＝1≠5，不符合题意， 即：点Q的坐标为（﹣2，6）或（3，﹣4）． 学科网（北京）股份有限公司 $