3.3 勾股定理的简单应 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理的简单应用这一核心知识点，系统梳理从不规则几何图形添加辅助线构造直角三角形，到勾股定理与方程结合解决实际问题的方法，涵盖几何应用、实际问题应用、数轴表示无理数等类型，搭建递进式学习支架。 该资料特色在于融合“折竹抵地”“葭生池中”等古代数学名题与蚂蚁爬行、自动感应门等现代实例，通过典例、变式到过关验收的分层设计，培养学生数学眼光（抽象能力、几何直观）和数学思维（推理能力、运算能力），课中辅助教师引导建模，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

3.3 勾股定理的简单应用 内 容 导 航 题型1 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为6cm．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm 【变式1】杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　） A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【变式3】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 过 关 验 收 1．如图，《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈＝10尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 3．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，则秋千绳索（OA或OB）的长度为（　　） A．14 B．14.5 C．15 D．15.5 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 5．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 6．《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边处，芦苇的顶端恰好与水面齐平．问：芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 7．如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．6 C．10 D．14 8．如图所示，公路AB和铁路CD在点O处交汇，∠BOD＝45°，公路AB上E处距离O点．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（　　）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（　　）尺． A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（　　） A．3m B．4m C．5m D．6m 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD是BC边上的高．E是AD上任一点，则EC2﹣EB2的值是（　　） A．4 B．14 C．28 D．条件不足，无法计算 12．如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　 　 cm． 13．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 　 　 米． 14．折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC的高为 　 　 尺． 15．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　　 　m． 16．如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是 　 　． 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米． 18.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC为x尺，则可列方程为　 　 ． 19．如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　　 　 元． 20．如图，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB＝60°，点P是距离地面OB为5dm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为8dm时，PD的长是　 　 dm． 21．如图，大风把一棵树刮断，量得AC＝4m，BC＝3m，则树刮断前的高度为　 　 m． 22． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 23．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是　 　 ． 24．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为　 　 ． 25．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地ABCD进行改建，如图所示，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，∠B＝90°，AB＝9米，BC＝12米，CD＝17米，AD＝8米． （1）连接AC，求AC的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 26．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 27．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 28．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状，并说明理由； （3）在AD的中点F处修建饮水设备，求点C与点F之间的距离． 29．如图，当秋千OA静止时，最低点A离地面的距离AB为0.7m，当秋千摆动到OA′位置时，点A′与点B的距离A′B为2.5m，点A′水平移动的距离A′C为2m．求秋千OA的长． 30．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图所示），求旗杆AB的高度． 31．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 32．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原路线GA的长． 33．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 34．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 35．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 36．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为30km，现有公路AB，AD，BD，DC，已知AD＝12km，BD＝16km． （1）求公路AB的长度； （2）市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 勾股定理的简单应用 内 容 导 航 题型1 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为6cm．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm 【答案】A 【解答】解：根据题意可得图形： AB＝18﹣6＝12cm，BC＝5cm， 在Rt△ABC中，AC13（cm）， ∴18﹣13＝5（cm）， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在5cm～6cm之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 【变式1】杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，那么从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头需要长度可能是（　　） A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米 【答案】C 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC＝5米，BC＝8米， ∴BE＝CEBC8＝4（米）， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE3（米）， 由题意可知，AE≤AD＜AC， 即3米≤AD＜5米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：C． 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 【变式3】华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（　　）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【解答】解：展开图： 12÷3＝4（米）， （米）， 5×3＝15（米）， 故选：C． 过 关 验 收 1．如图，《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈＝10尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【解答】解：1丈＝10尺， 设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺， 根据勾股定理得：， 解得x＝12， ∴x+1＝12+1＝13， 即芦苇的长度为13， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 2．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【解答】解：（1）设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度BC为12米， 故选：C． 3．明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA＝OB，则秋千绳索（OA或OB）的长度为（　　） A．14 B．14.5 C．15 D．15.5 【答案】B 【解答】解：设OA的长为x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺）， 在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 由勾股定理得：102+（x﹣4）2＝x2， 解得：x＝14.5， ∴秋千绳索（OA或OB）的长度为14.5尺， 故选：B． 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 【答案】D 【解答】解：根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2． 故选：D． 5．如图，一个棱长为4cm的正方体盒子上，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（　　） A．8 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：①沿CC1展开，如图所示， MN2（cm）． ②沿B1C1展开，MN4（cm）， 42， ∴最短路线长是4cm， 故选：D． 6．《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长各几何？”这道题的意思是说：有一个边长为1丈（1丈＝10尺）的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到池边处，芦苇的顶端恰好与水面齐平．问：芦苇的长度是（　　） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【解答】解：依题意画出图形，设水深AC＝x尺，则芦苇长AB＝AB′＝（x+1）尺， ∵B'E＝1丈＝10尺， ∴B'C＝5尺，在Rt△AB'C中， ∵CB'2+AC2＝AB'2，∴52+x2＝（x+1）2， 解得x＝12； ∴12+1＝13尺． 故选：C． 7．如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】A 【解答】解：∵四边形BCFG是矩形， ∴∠C＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：， ∴BC+CD﹣BD＝8+6﹣10＝4（米）， ∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍”． 故选：A． 8．如图所示，公路AB和铁路CD在点O处交汇，∠BOD＝45°，公路AB上E处距离O点．若火车行驶时，周围150m内会受到噪音的影响，则火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（　　）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：如图，过点E作EH⊥CD于H，GE＝EF＝150m， 由题意可知：OE＝120m，∠HOE＝45°， ∴EH＝OE•sin45°＝120m， ∵周围150m以内会受到噪音的影响， ∴当行驶在E、F之间时，会受到噪音的影响， ∴GH90m， 同理HF＝90m， ∴GF＝180m， ∵火车在铁路CD上沿由C到D的方向以72km/h的速度行驶，72km/h＝20m/s， ∴点E处受噪音影响的时间为180÷20＝9s． 故选：B． 9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（　　）尺． A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 【答案】C 【解答】解：如图，过点B作BE⊥OA， 由题意得，BC＝ED＝5，AD＝1，CD＝10， ∴AE＝4， 设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣4， 在Rt△OBE中根据勾股定理得，OB2＝OE2+BE2， 即x2＝102+（x﹣4）2， 整理得，8x＝116， 解得x＝14.5， ∴OA＝14.5， 即绳索OA的长度为14.5， 故选：C． 10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送3m（水平距离BC＝3m）时，踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索AD的长度是（　　） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】C 【解答】解：DE＝0.5m，BF＝CE＝1.5m，设秋千绳索AD＝AB＝xm， ∴CD＝1m， ∴AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，BC＝3m， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5， ∴秋千绳索AD的长度是5m． 故选：C． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，AD是BC边上的高．E是AD上任一点，则EC2﹣EB2的值是（　　） A．4 B．14 C．28 D．条件不足，无法计算 【答案】C 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴EC2﹣EB2＝CD2+DE2﹣（BD2+DE2）＝CD2﹣BD2， ∵AC2﹣AB2＝AD2+CD2﹣（AD2+BD2）＝CD2﹣BD2， ∴EC2﹣EB2＝AC2﹣AB2＝82﹣62＝28， 故选：C． 12．如图，是一扇半开的窗户，（图2为图1的平面示意图），当推开双窗，双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm，则AB的长是　 　 cm． 【答案】130． 【解答】解：如图，取AB的中点O， ∵双窗间隙CD的距离为10cm，点C和点D距离窗台AB为DE、CG都是25cm， ∴OA＝OB＝AD＝BC，， 设OA＝OB＝AD＝BC＝xcm，则AE＝OA﹣OE＝（x﹣5）cm，AB＝2xcm， 在Rt△DEA中， ∵AD2＝AE2+DE2， ∴x2＝（x﹣5）2+252， 解得x＝65， ∴AB＝2×65＝130（cm）． 故答案为：130． 13．如图，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”，其实他们仅仅少走了 　 　 米． 【答案】4 【解答】解：由勾股定理知，“路”长（米）， 12+5﹣13＝4（米）， 所以其实他们仅仅少走了4米． 故答案为：4． 14．折竹问题：今有竹高九尺，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高9尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC的高为 　 　 尺． 【答案】4． 【解答】解：由题意知，AB+AC＝9尺，BC＝3尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2＝AC2+BC2， 即（9﹣AC）2＝AC2+9， 解得AC＝4， 故答案为：4． 15．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　　 　m． 【答案】2.6． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC， ∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2， ∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m）； 故答案为：2.6． 16．如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm，支架脚BC的长度为12cm，当∠ABC＝90°时，可测得AC＝20cm，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD的距离是 　 　． 【答案】9.6cm． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝16cm，BC＝12cm， ∴AC20（cm）， 过点B作BE⊥CD于点E，CF⊥AC于点F，如图所示： ∵CB平分∠ACD， ∴BE＝BF， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20cm，AB＝16cm， 由三角形的面积公式得：S△ABCAC•BFAB•BC， ∴BF9.6（cm）， ∴BE＝BF＝9.6cm， ∴点B到CD的距离是9.6cm． 故答案为：9.6cm． 17．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米． 【答案】1.5 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 18.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC为x尺，则可列方程为　 　 ． 【答案】x2+32＝（10﹣x）2． 【解答】解：∵一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，折断处离地面的高度为x尺， ∴折断处离竹梢（10﹣x）尺． 根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2． 故答案为：x2+32＝（10﹣x）2． 19．如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 　　 　 元． 【答案】1020 【解答】解：由勾股定理得AB12（m）， 则地毯总长为12+5＝17（m）， 则地毯的总面积为17×2＝34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×30＝1020（元）． 故答案为：1020． 20．如图，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB＝60°，点P是距离地面OB为5dm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为8dm时，PD的长是　 　 dm． 【答案】6． 【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点P′，则DP＝DP′， 当点P′、D、E三点共线，且P′E⊥OB时，光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短， ∵光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为8dm， ∴EP′＝8dm， 过点P作PF⊥EP′， ∵点P是距离地面OB为5dm的一个光源， ∴EF＝PC＝5dm， ∴P′F＝P′E﹣EF＝8﹣5＝3（dm）， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ODE＝30°， ∴∠ADP＝∠ODE＝30°，∠P′DA＝∠ODE＝30°， ∴∠PDP'＝60°， ∴△PDP′是等边三角形， ∴DP′＝2P′F＝6dm， ∴PD＝DP′＝6dm， 故答案为：6． 21．如图，大风把一棵树刮断，量得AC＝4m，BC＝3m，则树刮断前的高度为　 　 m． 【答案】8． 【解答】解：设大树断掉的部分AB长为xm， ∵∠BCA＝90°， ∴BC2+CA2＝AB2， ∴32+42＝x2， 解得x＝5（m）， ∴大树原高为：3+5＝8（m）， 答：树刮断前的高度为8m， 故答案为：8． 22． 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　 　 米． 【答案】9 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 23．如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是　 　 ． 【答案】18米 【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边， ∴AB2+AC2＝BC2， ∵AB＝5米，AC＝12米， ∴BC13米， 大树折断前的高度为AB+BC＝5米+13米＝18米． 故答案为：18米． 24．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它历史悠久，趣味浓厚；基本规则简明易懂．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得，“車”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故答案为：． 25．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地ABCD进行改建，如图所示，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，∠B＝90°，AB＝9米，BC＝12米，CD＝17米，AD＝8米． （1）连接AC，求AC的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】（1）15米； （2）购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 【解答】解：（1）由勾股定理可得，（米）； 答：AC的长度为15米； （2）∵AC2+AD2＝152+82＝289，CD2＝172＝289， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD为直角三角形， ∴（米2）， ∴购买运动型塑胶地板的费用为：114×200＝22800（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元． 26．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1）△ACB是直角三角形， 在△ABC中，AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴152+202＝252， ∴△ACB是直角三角形； （2）一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km． 【解答】解：（1）△ACB是直角三角形， 理由：在△ABC中，AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴152+202＝252， ∴△ACB是直角三角形； （2）∵∠ACB＝90°， ∴， 在Rt△BDC中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）， 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km． 27．如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1）240米； （2）有危险需要暂时封锁，需要封锁的公路长为200米． 【解答】解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD240（米）， 答：山地C距离公路的垂直距离为240米； （2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF， 则EC＝FC＝260米，DE＝DF， 由（1）可知，CD＝240米， ∵240米＜260米， ∴有危险需要暂时封锁， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE100（米）， ∴EF＝2DE＝200（米）， 即需要封锁的公路长为200米． 28．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状，并说明理由； （3）在AD的中点F处修建饮水设备，求点C与点F之间的距离． 【答案】（1）18m； （2）△ADC是直角三角形， ∵AE⊥BC，E恰好是BC的中点， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AC＝AB＝15m， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形； （3）8.5m． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， 由勾股定理可得，AE2+BE2＝AB2， ∴， ∵E恰好是BC的中点， ∴CE＝BE＝9m， ∴BC＝BE+CE＝18m． ∴边BC的长为18m． （2）△ADC是直角三角形，理由如下： 如图， ∵AE⊥BC，E恰好是BC的中点， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AC＝AB＝15m， ∵CD＝8m，AD＝17m， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形． （3）如图，连接CF， 由（2）得，△ADC是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， 又∵点F是AD的中点， ∴， ∴点C与点F之间的距离为8.5m． 29．如图，当秋千OA静止时，最低点A离地面的距离AB为0.7m，当秋千摆动到OA′位置时，点A′与点B的距离A′B为2.5m，点A′水平移动的距离A′C为2m．求秋千OA的长． 【答案】秋千OA的长为2.9m． 【解答】解：由题意可知，∠A'CO＝∠A'CB＝90°， ∴BC1.5（m）， ∴AC＝BC﹣AB＝1.5﹣0.7＝0.8（m）， 设OA＝OA'＝xm，则OC＝（x﹣0.8）m， 在Rt△A'OC中，由勾股定理得：（x﹣0.8）2+22＝x2， 解得：x＝2.9， 答：秋千OA的长为2.9m． 30．某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图所示），求旗杆AB的高度． 【答案】旗杆AB的高度为9米． 【解答】解：设AB＝x米，则绳子长为（x+1）米， ∴AC＝（x+1）米， 由题意得：四边形CDBE是矩形， ∴BE＝CD＝1米， ∴AE＝AB﹣BE＝（x﹣1）米， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2， 即（x﹣1）2+62＝（x+1）2， 解得：x＝9， 答：旗杆AB的高度为9米． 31．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）△ABC是直角三角形； （2）18.8． 【解答】解：（1）∵AC＝8，AB＝6，BC＝10， ∴BC2＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE， 由勾股定理可得，DE， ∵AC＝8，AB＝6，BC＝10，△ABC是直角三角形， ∴BC边上的高， ∵滚轮半径r＝2， ∴购物车上篮子的左边缘D到地面的距离＝12+4.8+2＝18.8． 32．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路GC，测得BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km． （1）判断△BCG的形状，并说明理由； （2）求原路线GA的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△BCG是直角三角形，理由如下： ∵BG＝5km，GC＝4km，BC＝3km， ∴42+32＝52， ∴GC2+BC2＝BG2， ∴△BCG是直角三角形； （2）∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴AG＝AB， ∵由（1）易知△ACG是直角三角形， 设AG＝AB＝x（km），则AC＝（x﹣3）km， 在Rt△ACG中，AC＝（x﹣3）km，GA＝x（km），GC＝4km， ∵AC2+GC2＝GA2， ∴（x﹣3）2+42＝x2， 解得：， ∴． 33．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【答案】（1）B处与地面的距离是25米； （2）消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝5米， ∴OB20（米）， ∴BE＝OB+OE＝20+5＝25（米）， 答：B处与地面的距离是25米； （2）由题意得BD＝4米， ∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米）， ∴OC7（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 34．《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设竹子折断处离地面有x尺， 由题意得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺， ∴AB＝（10﹣x）尺， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 35．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得CB＝2千米，CH＝1.6千米，HB＝1.2千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是； （2）千米． 【解答】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路； 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝BC2， ∴CH⊥AB， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x，则AH＝x﹣1.2， 在Rt△ACH中，由勾股定理可得，AC2＝AH2+CH2， ∴x2＝（x﹣1.2）2+1.62， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 36．如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为30km，现有公路AB，AD，BD，DC，已知AD＝12km，BD＝16km． （1）求公路AB的长度； （2）市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段BC），并在大道BC上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段DE），且DE⊥BC．若修建互通大道BC，DE的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道BC，DE的总费用． 【答案】（1）公路AB的长度为20km； （2）修建互通大道BC，DE的总费用是818万元． 【解答】解：（1）由题意得，BD⊥AC， 在Rt△ABD中，∵AD＝12km，BD＝16km， ∴， 答：公路AB的长度为20km； （2）在Rt△BCD中，CD＝30km，BD＝16km， ∴． ∵DE⊥BC， ∴， 即， 解得，， ∴（万元）． 答：修建互通大道BC，DE的总费用是818万元． 学科网（北京）股份有限公司 $