吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三数学开学考聚焦函数导数、数列、概率统计等核心知识，通过AI关注调查、无人机航线分配等真实情境，检测数学抽象、逻辑推理与建模能力，适配高三开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、函数零点、二项式定理|第8题无人机航线分配，考查分类讨论与抽象能力| |多选题|3/18|抛物线性质、概率公式、解三角形|第11题结合锐角三角形条件，检测数学思维的严谨性| |填空题|3/15|独立事件概率、切线方程、数列最值|第14题递推数列求最值，体现数学眼光的转化思想| |解答题|5/77|函数单调性与零点、独立性检验、数列证明、概率期望|第16题AI关注调查，融合数据分析与数学语言表达；第19题函数零点证明，深化逻辑推理与数学思维|

高三数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知首项为1的数列中，，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） A. B. C. D. 6. 在的二项展开式中，若常数项为240，则的系数为（ ） A. 6 B. 32 C. 36 D. 60 7. 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心．若每个调度中心至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为（ ） A. 185 B. 205 C. 215 D. 235 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知抛物线：与：，则（ ） A. 与的焦点相同 B. 与的离心率相同 C. 与的准线相同 D. 与的焦点到准线的距离相同 10. 有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ） A. B. C. D. 11. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，则的周长可以为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机事件A，B相互独立，且，，则________． 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 14. 已知数列满足，，已知数列满足，，则的最小值为________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，是自然对数的底数． （1）求函数的单调区间； （2）若关于x的方程有三个不等实根，求a的取值范围． 16. 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 （1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ （2）为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知数列满足，且． （1）证明：是等比数列． （2）求的通项公式． （3）设，数列的前项和为，证明：． 18. 某足球俱乐部进行点球测试，球员每次点球射中的概率为，各次点球射中与否相互独立，该球员连续进行4次点球射门，记射中次数为随机变量X. （1）求射中次数X不少于3次的概率； （2）该足球俱乐部制定奖励方案，射中X次可得奖金千元，求该球员获得奖金的数学期望. 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. BBCAD DBC 9BD 10AC 11BC 12 13 14 15 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，函数在上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 方程，即， 当时，方程成立，即为方程的一个零点； 当时，则，令，依题意，当时，方程还有两个非零不等实根，即直线与的图象有两个非零交点，， 当或时，；当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，；当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 16 【小问1详解】 列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则， 故能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． 【小问2详解】 设甲、乙得分分别为，，则，且为奇数， 可得，，，，，，，， ， ， ， ， 又因为，则或， 所以，． 所以的分布列为 1 3 所以． 17【答案】（1）由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． （2） （3）由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 18 【小问1详解】 由题可知，， 则射中次数不少于3次的概率为. 【小问2详解】 令，由题意知Y的所有可能取值为0，1，4，9，16， ，，，，， 所以. 故该球员获得奖金的数学期望为8000元. 19 【答案】（1）时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 学科网（北京）股份有限公司 $