5.4 用一次函数解决问题 同步讲义 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦“用一次函数解决问题”核心知识点，衔接一次函数概念与表达式基础，通过列关系式、行程、利润、方案选择等9大题型搭建学习支架，系统引导学生从理论过渡到实际应用。 资料特色在于题型贴近生活且典例变式结合，如长方形牛舍建造成本、出租车收费等问题，培养学生用数学眼光观察现实，通过列函数关系式和推理运算发展数学思维，以函数模型表达问题强化数学语言（模型意识），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

5.4 用一次函数解决问题 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列一次函数关系式 题型2 一次函数的应用_行程问题 题型3 一次函数的应用_最大利润 题型4 一次函数的应用_方案选择 题型5 一次函数的应用_分段函数 题型6 一次函数的应用_营销问题 题型7 一次函数的应用_工程问题 题型8 一次函数的应用_几何问题 题型9 一次函数的应用_其他问题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列一次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为方便进出，在边CD上留一扇1米宽的门．若设AB的长为x米，BC的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝25﹣2x（0＜x＜12.5） C．y＝26﹣2x（0＜x＜13） D．y＝25﹣x（0＜x＜25） 【答案】C 【解答】解：根据题意得AB+BC+CD﹣1＝25， ∴y＝26﹣2x（0＜x＜13）， 故选：C． 【变式1】某商店要进一批油，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其数量a与售价c的关系如表所示． 数量a/kg 1 2 3 4 … 售价c/元 10+0.2 20+0.4 30+0.6 40+0.8 … 下列表示数量a与售价c的关系的代数式中，正确的是（　　） A．c＝10a+0.2 B．c＝10+0.2a C．c＝（10+0.2）a D．c＝10+0.2+a 【答案】C 【解答】解：依题意得：c＝（10+0.2）a． 故选：C． 【变式2】已知一根弹簧原长12cm，它能挂的物体的质量不超过15kg，并且每挂1kg，弹簧就伸长cm，则挂物体后的弹簧长度y（cm）与物体的质量x（kg）之间的函数关系式为　 ．（并写出自变量的范围） 【答案】yx+12 （0≤x≤15）． 【解答】解：设挂重为x，则弹簧伸长为x， 挂重后弹簧长度y （cm）与挂重x （kg） 之间的函数关系式是：yx+12 （0≤x≤15）， 故答案为：yx+12 （0≤x≤15）． 【变式3】徐州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为　 （不要求写出自变量x的取值范围）． 【答案】y＝2x+2． 【解答】解：根据题意得：y＝8+2（x﹣3）， 即y＝2x+2． 故答案为：y＝2x+2． 题型2 一次函数的应用_行程问题 【典例1】小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）． （1）小明出发第2min时离家的距离为　 　 m； （2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式； （3）画出s与t之间的函数图象． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）100×2＝200（m）． 故小明出发第2min时离家的距离为200m； 故答案为：200． （2）当2＜t≤5时，s＝100×2+160（t﹣2）＝160t﹣120． 故s与t之间的函数表达式为s＝160t﹣120； （3）s与t之间的函数关系式为， 如图所示： 【变式1】日前教育部要求各中小学开展一次以“崇尚英雄精忠报国”为主题的班会，为了配合此次“铭记英雄，缅怀先烈”的活动，某校开展了赴铜川耀州区陕甘边照金革命根据地纪念馆研学旅行活动．学校离纪念馆135公里，高年级同学乘校车先出发，2小时后到达，参观完后沿原路匀速返回．低年级同学在高年级同学出发1小时后才乘校车走，如图是他们离学校的路程y（千米）行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求高年级同学返回途中y与x之间的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围； （2）低年级同学出发后行驶3小时时与返回的高年级同学在途中相遇，求低年级同学乘坐的校车行驶速度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设高年级同学返回途中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， ，得， 即高年级同学返回途中y与x之间的函数关系式是y＝﹣54x+324（3.5≤x≤6）； （2）当x＝4时，y＝﹣54×4+324＝108， ∴低年级同学乘坐的校车行驶速度是：108÷3＝36千米/小时， 即低年级同学乘坐的校车行驶速度是36千米/小时． 【变式2】甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　　 千米/小时； （2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由． 【答案】（1）80； （2）y＝80x﹣40（1.5≤x≤3.5）； （3）不能，理由见解答过程． 【解答】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时； 故答案为：80； （2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（240﹣80）÷80＝2（小时）， ∴点E的坐标为（3.5，240）， 设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，则： ，解得， ∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：y＝80x﹣40（1.5≤x≤3.5）； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290÷80+0.5＝4.125（小时）， 12：00﹣8：00＝4（小时）， 4.125＞4， 所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达． 【变式3】甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（km），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）甲的速度为 　　 km/h，乙的速度为 　　 km/h； （2）求出图中a、b的值； （3）何时两人相距20km？ 【答案】（1）40；80；（2）a＝60；b＝1；（3）小时或小时． 【解答】解：（1）由图象可得：甲骑摩托车的速度为：120÷3＝40（千米/小时）， 乙开汽车的速度为（千米/小时）， 故答案为：40；80； （2）由（1）可知，b＝120÷（40+80）＝1； a＝40×1.5＝60； （3）设x小时后两人相距20km，根据题意，得（40+80）x＝120﹣20或（40+80）x＝120+20， 解得x或x． 答：小时或小时后两人相距20km． 题型3 一次函数的应用_最大利润 【典例1】某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． （1）若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ （2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设公司给甲店A型产品x件． 则甲店B型产品有（140﹣x）件，乙店A型有（80﹣x）件，B型有（x﹣20）件． 设公司总利润为W元， W＝400x+320（80﹣x）+340（140﹣x）+300（x﹣20）＝40x+67200． 由W＝40x+67200≥70280 ∴x≥77．（2分） 由解得20≤x≤80 ∴77≤x≤80 ∵x为整数∴x＝77，78，79，80 ∴有四种不同的分配方案（4分） （2）依题意：W＝（400﹣m）x+340（140﹣x）+320（80﹣x）+300（x﹣20） ＝（40﹣m）x+67200（5分） ∵400﹣m＞340 ∴m＜60 1、当0＜m＜40时，40﹣m＞0，x越大，W越大，得出x＝80即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大． 2、当m＝40时，40﹣m＝0，W为定值，20≤x≤80符合题意的各种方案使总利润最大． 3、当40＜m＜60时，40﹣m＜0，x越小，W越大，得出x＝20即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 【变式1】某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元； （2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵， ∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍， ∴42﹣t≤2t， 解得：t≥14， ∵t是正整数， ∴t最小值＝14， 设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420， ∵k＞0， ∴W随t的减小而减小， 当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）． 答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元． 【变式2】某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元． （1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？ （2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为a元、b元， ， 解得， 答：每瓶洗手液和每包口罩的价格分别为10元、15元； （2）由题意可得， W＝10m+15（1000﹣m）＝﹣5m+15000， ∴W随m的增大而减小， ∵购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍， ∴， 解得700≤m≤750， ∴当m＝750时，W取得最小值，此时W＝11250， 答：W（元）与m（瓶）之间的函数关系式是W＝﹣5m+15000，W的最小值是11250． 【变式3】某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】（1）y＝400x+54000，0≤x≤90，且x为整数； （2）66000元，生产A产品60件，B产品30件． 【解答】解：（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品（90﹣x）件，依题意得： y＝600（90﹣x）+1000x＝400x+54000，且0≤x≤90，x为整数； （2）由题意得： 90﹣x≥2x， 解得：x≤30， ∵y＝400x+54000，y随x的增大而增大， ∴当x＝30时，获利总额最大，最大总额为：400×30+54000＝66000（元）， ∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为66000元． 题型4 一次函数的应用_方案选择 【典例1】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y1＝4x， 蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y2＝2.4x+16000． （2）y2﹣y1＝2.4x+16000﹣4x＝16000﹣1.6x， 由y1＝y2得，16000﹣1.6x＝0， 解得x＝10000， ∴当x＜10000时，y1＜y2， 选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低． 当x＞10000时，y1＞y2， 选择方案二，加工厂自己加工制作纸箱所需的费用低． 当x＝10000时，y1＝y2， 选择两个方案的费用相同． 【变式1】假期将至，某旅行社准备打印一些照片进行宣传，一家打印店现推出活动如下：“方式A”使用者先交50元会员费，然后每打印一张，再付0.4元；“方式B”不交会员费，每打印一张，付0.6元．若本次打印x张，两种方式的费用分别为y1元和y2元． （1）写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）当打印多少张时两种方式的费用相同？ （3）如果此次打印不超过150张，请你为其选一种便宜的打印方式；如果不低于300张，请你为其选一种便宜的打印方式． 【答案】（1）y1＝50+0.4x，y2＝0.6x； （2）250张； （3）当此次打印不超过150张时，选择方式B比较便宜；当此次打印不低于300张时，选择方式A比较便宜． 【解答】解：（1）根据题意得，y1＝50+0.4x，y2＝0.6x； （2）当y1＝y2时，50+0.4x＝0.6x，解得x＝250， 即当打印250张时两种方式的费用相同； （3）当y1＞y2 时，即50+0.4x＞0.6x，解得x＜250， 当y1＜y2 时，即50+0.4x＜0.6x，解得x＞250， ∴当此次打印不超过150张时，选择方式B比较便宜；当此次打印不低于300张时，选择方式A比较便宜． 【变式2】共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间xmin之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，小明同学求出y1（x≥10）与x的函数解析式是y＝0.2x+4，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求y2关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3km/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 A 品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）B品牌共享电动车每分钟收费8÷20＝0.4（元）， ∴求y2关于x的函数解析式为y2＝0.4x． （2）小明骑共享电动车从家到工厂用时9÷0.3＝30（分钟）， 由图象可知，当x＝30时，y1＜y2， ∴小明选择A品牌共享电动车更省钱． （3）当0≤x≤10时，|y1﹣y2|＝4，即6﹣0.4x＝4， 解得x＝5， 当x＞10时，|y1﹣y2|＝4，即|0.2x+4﹣0.4x|＝4， 解得x＝0（舍去）或x＝40， ∴当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【变式3】共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图．其中A品牌的收费方式对应yA，B品牌的收费方式对应yB． （1）请分别求出yA（x＞0）以及yB（x≥10）的函数解析式； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为15千米/时，小明家到工厂的距离为4.5千米，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （3）直接写出：第 　　 分钟，两种收费相差2.5元． 【答案】（1）yA＝0.3x（x＞0），yB＝0.2x+2（x≥10）； （2）A； （3）5或45 【解答】解：（1）A品牌的收费标准为6÷20＝0.3（元/分钟），则yA＝0.3x， ∴yA的函数解析式为yA＝0.3x（x＞0）， 当x≥10时，品牌的收费标准为（6﹣4）÷（20﹣10）＝0.2（元/分钟），则yB＝4+0.2（x﹣10）＝0.2x+2， ∴yB的函数解析式为yB＝0.2x+2（x≥10）． （2）4.5÷15×60＝18（分钟）， 当x＝18时，yA＝0.3×18＝5.4，yB＝0.2×18+2＝5.6， ∵5.4＜5.6， ∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱． （3）当0≤x≤10时，两种收费相差2.5元时，得4﹣0.3x＝2.5， 解得x＝5， 当x＞10时，两种收费相差2.5元时，得|0.2x+2﹣0.3x|＝2.5， 解得x＝﹣5（舍去）或45， ∴第5或45分钟两种收费相差2.5元． 故答案为：5或45 题型5 一次函数的应用_分段函数 【典例1】某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 　　 元． 【答案】50 【解答】解：由图象可知，固定月使用费为30元的方式，上网时间是50小时费用为30+（50﹣25）×2.8＝100（元）， 而固定月使用费为50元的方式，上网时间是50小时费用为50元， ∴两种方式所收的费用最多相差100﹣50＝50（元）； 故答案为：50． 【变式1】为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm3，应缴水费为y元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得， 当0≤x≤6时，y＝1.1x， 当x＞6时，y＝1.1×6+（x﹣6）×1.6＝1.6x﹣3， 即y与x之间的函数表达式是y； （2）∵5.5＜1.1×6， ∴缴纳水费为5.5元的用户用水量不超过6m3， 将y＝5.5代入y＝1.1x，解得x＝5； ∵9.8＞1.1×6， ∴缴纳水费为9.8元的用户用水量超过6m3， 将y＝9.8代入y＝1.6x﹣3，解得x＝8； 答：这两户家庭这个月的用水量分别是5m3，8m3． 【变式2】某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．下表是购买量x（千克）、付款金额y（元）部分对应的值，请你结合表格： 购买量x（千克） 1.5 2 2.5 3 付款金额y（元） 7.5 10 12 b （1）写出a、b的值，a＝　　 b＝　　 ； （2）求出当x＞2时，y关于x的函数关系式； （3）甲农户将18.8元钱全部用于购买该玉米种子，计算他的购买量． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由表格即可得出购买量是函数的自变量x， ∵10÷2＝5， ∴a＝5，b＝2×5+5×0.8＝14． 故答案为：5，14； （2）设当x＞2时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b， 将点（2.5，12）、（3，14）代入y＝kx+b中， 得：， 解得：， ∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y＝4x+2． （3）∵18.8＞10， 4x+2＝18.8 x＝4.2 ∴甲农户的购买量为：4.2（千克）． 答：甲农户的购买量为4.2千克． 【变式3】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝kx+b， ， 解得，， 即日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式是y＝﹣x+40； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是：（35﹣10）（﹣35+40）＝25×5＝125（元）， 即当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是125元． 题型6 一次函数的应用_营销问题 【典例1】如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买8千克这种苹果比分8次购买1千克这种苹果可节省的金额为 　　 元． 【答案】12． 【解答】解：当x≤2时，设解析式为y＝kx， 把（2，20）代入y＝kx，得20＝2k， 解得k＝10， 故y＝10x， 当x＝1时，y＝10， 故分8次购买1千克这种苹果共需要80元； 当x＞2时，设解析式为y＝px+b， 把（2，20），（4，36）代入y＝px+b， 得， 解得， 故y＝8x+4， 当x＝8时，y＝68， 故节约80﹣68＝12元； 故答案为：12． 【变式1】某产品每件的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数． x（元） 15 20 25 … y（件） 25 20 15 … （1）求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式； （2）若该产品每件成本10元，销售价定为30元时，求每日的销售利润． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设此一次函数关系式为y＝kx+b， 则， 解得：， 故一次函数的关系式为：y＝﹣x+40； （2）∵该产品每件成本10元，销售价定为30元时， ∴每件的利润为：30﹣10＝20（元）， ∴每日的销售利润为：（﹣x+40）×20＝（﹣30+40）×20＝200（元）， 答：每日的销售利润为200元． 【变式2】某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值． 【答案】（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元； （2）甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙； （3）a的值为80． 【解答】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元； （2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0）， 把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k， 解得k＝20， ∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）； 当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0）， 把（30，750）代入解析式得：750＝30k′， 解得：k′＝25， ∴y乙＝25x； 当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0）， 则， 解得：， ∴y乙＝15x+300， 综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙； （3）①当0≤a≤30时， 根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500， 解得：a＝60＞30，不合题意； ②当30＜a≤120时， 根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500， 解得：a＝80， 综上，a的值为80． 【变式3】甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8） （1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式； （2）试讨论在哪家商店购买合算？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在甲店购买需付款：y甲＝5x+120， 在乙店购买需付款：y乙＝144+4.5x； （2）5x+120＝144+4.5x， 解得：x＝48， 8≤x＜48时，在甲商店购买合算， x＝48时，在甲乙商店购买一样合算， x＞48时，在乙商店购买合算． 【变式4】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数． x（元） 15 20 25 … y（件） 25 20 15 … （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）求销售价定为30元时，每日的销售利润． 【答案】（1）y＝﹣x+40； （2）200元． 【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，代入x＝15，y＝25；x＝20，y＝20；得： ， 解得， ∴y＝﹣x+40； （2）当x＝30时，日销售量为y＝﹣30+40＝10件， ∴每日的销售利润为（30﹣10）×10＝200元． 题型7 一次函数的应用_工程问题 【典例1】某县实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通，如图是甲、乙两个工程队修道路长度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度y与修筑时间x之间的函数关系式： ； （2）甲工程队前8天所修公路为　 　 米，该公路的总长度为　 　 米； （3）若乙工程队不提前离开，则两队只需　 　 天就能完成任务； （4）甲、乙两工程队第　 　 天时所修道路的长度相差80米． 【答案】（1）y＝70x； （2）560；1800； （3）13； （4）4或12或． 【解答】解：（1）设y＝kx， ∵经过（12，840）， ∴12k＝840， 解得k＝70， ∴y＝70x， 故答案为y＝70x； （2）甲工程队前4天平均每天修路米数为360÷4＝90； 当x＝8时，y＝560， 设当4≤x≤16时，甲工程队的函数解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴y＝50x+160， 当x＝16时，y＝960， ∴后12天平均每天修路米数为（960﹣360）÷12＝50（米）， ∴甲工程队前8天所修公路为：360+50×（8﹣4）＝560（米）， 公路的总长度为840+960＝1800（米）， 故答案为560；1800； （3）乙平均每天修路米数为：840÷12＝70（米）， 若乙工程队不提前离开，则两队需要的时间为：4+（1800﹣360﹣70×4）÷（50+70）＝13（天）． 故答案为：13； （4）设甲、乙两工程队第x天时所修道路的长度相差80米，根据题意得 90x﹣70x＝80或70x﹣[360+50（x﹣4）]＝80或50（x﹣4）+360＝840+80， 解得x＝4或12或． 故答案为：4或12或． 【变式1】工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b， ， 解得， 即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）； （2）由图象可得， 甲的工作效率为120÷3＝40（个/时）， a＝120+40×（8﹣4）＝280， 即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件； （3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个， 120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480， 解得c＝7， 即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 题型8 一次函数的应用_几何问题 【典例1】如图，李大爷要围成的一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成另外三边总长恰好为24米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12） B． C．y＝2x﹣24（0＜x＜12） D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得，菜园三边长度的和为24m， 即2y+x＝24， 所以yx+12， 由y＞0得，x+12＞0，即x＜24， 故选：B． 题型9 一次函数的应用_其他问题 【典例1】某山山脚气温为26℃，海拔每升高1km，气温下降6℃，则山上气温y（℃）与该处距山脚垂直高度x（km）之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣6x B．y＝6x+26 C．y＝﹣6x﹣26 D．y＝﹣6x+26 【答案】D 【解答】解：y＝26﹣6x． 故选：D． 【变式1】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是　 　 ． 【答案】24＜x＜38 【解答】解：根据甲15﹣33分钟运动了2千米， 所以可得甲这段时间的速度为：km/分， 故从5千米运动至6千米需要9分钟， 即6千米对应的时间为24分钟， 可得：第一次相遇的时间是第24分钟； 点B的坐标为（33，7），点C的坐标为（43，12）， 设直线BC的解析式为y＝ax+b，则， 解得：， 即直线BC的解析式为yx， 联立直线OD与直线BC的解析式可得：， 解得：， 即第二次相遇的时间是第38分钟， 所以乙领先甲时的x的取值范围是24＜x＜38． 故答案为：24＜x＜38． 【变式2】一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设出水管每分钟排水x升． 由题意进水管每分钟进水10升， 则有80﹣5x＝20， ∴x＝12， ∵8分钟后的放水时间，8， ∴a， 故答案为：． 【变式3】标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度h（cm）与燃烧时间t（分）满足一次函数h＝h0+kt，其中线香初始长度h0＝21cm．若燃烧30分钟时，线香剩余7cm，则k的值为　 　 ． 【答案】 【解答】解：线香燃烧过程中剩余长度h（cm）与燃烧时间t（分）满足一次函数h＝h0+kt， 将h0＝21cm，t＝30，h＝7cm代入h＝h0+kt得： 7＝21+30k， 解得， 故答案为：． 过 关 验 收 1．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过3kg物品需付13元，以后每增加1kg需增加托运费1.5元．直接写出托运x（kg）（x＞3）歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 　 ． 【答案】y＝1.5x+8.5． 【解答】解：∵x＞3， ∴y＝13+1.5（x﹣3）＝1.5x+8.5， 故答案为：y＝1.5x+8.5． 2．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.4元，试写出乘车费用y（元）与乘车距离x（千米）（x＞3）之间的函数关系式：　 　 ． 【答案】y＝1.4x﹣1.2（x＞3）． 【解答】解：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.4元， 由题意得，y＝3+1.4（x﹣3）＝1.4x﹣1.2（x＞3）， 故答案为：y＝1.4x﹣1.2（x＞3）． 3．某企业现年产值为150万元，计划今年后每年增加20万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是　 ． 【答案】y＝150+20x 【解答】解：∵今年后每年增加20万元， ∴x年增加的年产值是20x万元， ∴y＝150+20x． 故答案为y＝150+20x． 4．已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2x+y＝20， ∴y＝20﹣2x，即x＜10， ∵两边之和大于第三边， ∴x＞5， 综上可得5＜x＜10． 5．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的距离分别为y甲（km）、y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象下列说法不正确的是（　　） A．甲车的速度是80km/h B．乙车休息前的速度为100km/h C．甲走到200km时用时2.5h D．乙车休息了1小时 【答案】D 【解答】解：由图象可得， 甲车的速度为：400÷5＝80km/h，故A正确； 乙车休息前行驶的速度为：200÷2＝100km/h，故B正确； 甲车与乙车相遇时，甲车行驶的时间为：（400﹣200）÷80＝2.5h，故C正确； ∴乙车休息的时间为2.5﹣2＝0.5h，故D错误． 故选：D． 6．在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，甲、乙两车离C站的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论： ①A、B两地相距360千米； ②甲车速度比乙车速度快15千米/时； ③乙车行驶11小时后到达A地； ④两车行驶4.4小时后相遇． 其中正确的结论有（　　） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①A、B两地相距＝360+80＝440（千米）， 故①错误， ②甲车的平均速度60（千米/小时）， 乙车的平均速度40（千米/小时）， ∴甲车速度比乙车速度快60﹣40＝20（千米/小时）， 故②错误， ③440÷40＝11（小时）， ∴乙车行驶11小时后到达A地，故③正确， ④设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440， ∴t＝4.4（小时）， ∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确， 故选：B． 7．为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（　　） A． B．18 C． D．20 【答案】A 【解答】解：由图象可得， 甲的速度为100÷25＝4（米/秒）， 乙的速度为：100÷10﹣4＝10﹣4＝6（米/秒）， 则t， 故选：A． 8．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是　 　 升． 【答案】20 【解答】解：由图象可得出：行驶160km，耗油（35﹣25）＝10（升）， ∴行驶240km，耗油10＝15（升）， ∴到达乙地时邮箱剩余油量是35﹣15＝20（升）． 故答案为：20． 9．鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进A、B两种类型的鲜花共200束，设购进A种鲜花x束，销售完这200束鲜花的总利润为y元．鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）y与x之间的函数关系式y＝﹣5x+8000； （2）购进100束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是7500元． 【解答】解：（1）设购进A种鲜花x束，则购进B种鲜花（200﹣x）束， 根据题意得：y＝（80﹣45）x+（100﹣60）（200﹣x）＝﹣5x+8000， ∴y与x之间的函数关系式y＝﹣5x+8000； （2）根据题意得：45x+60（200﹣x）≤10500， 解得：x≥100， 对于y＝﹣5x+8000， ∵﹣5＜0， ∴当x＝100时，y有最大值，最大值为7500， 答：购进100束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是7500元． 10．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元； 根据题意得， 解得． 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； （2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x）， 即y＝﹣50x+15000； ②题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33， ∵y＝﹣50x+15000， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66， 此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300． 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 11．某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系如下表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知y是x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【答案】（1）一次函数解析式为y＝﹣x+40； （2）当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是200元． 【解答】解：（1）设此一次函数解析式为y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）， 则． ∴k＝﹣1，b＝40， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+40； （2）由题意，结合（1）y＝﹣x+40， ∴当x＝30时，每日的销售量为y＝﹣30+40＝10（件）， ∴每日所获销售利润为（30﹣10）×10＝200（元）． 答：当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是200元． 12．某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图． （1）请写出y1与x之间的函数关系式为　 ． （2）求当x≥10时，y2与x之间的函数关系式． （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y1＝k1x， ∵函数图象经过点（0，0）和（10，480）， ∴10k1＝480， ∴k1＝48， ∴y1＝48x； （2）x＞10时，设y2＝kx+b， ∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440）， ∴， ∴， ∴y2＝64x+160（x＞10）； （3）0≤x≤10时，设y2＝k2x， ∵函数图象经过点（0，0）和（10，800）， ∴10k2＝800， ∴k2＝80， ∴y2＝80x， 设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n）， 当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝20（不符合题意舍去）， 当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝30， 则50﹣n＝50﹣30＝20． ∴A团有20人，B团有30人． 13．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　　 元． 【答案】2 【解答】解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y＝10x， 1千克苹果的价钱为：y＝10， 设射线AB的解析式为y＝kx+b（x≥2）， 把（2，20），（4，36）代入得：， 解得：， ∴y＝8x+4， 当x＝3时，y＝8×3+4＝28． 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30（元）， 30﹣28＝2（元）． 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元． 14．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　 折． 【答案】七 【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10＝2元， 打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）＝1.4元， 0.7， 所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折． 故答案为：七． 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 用一次函数解决问题 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列一次函数关系式 题型2 一次函数的应用_行程问题 题型3 一次函数的应用_最大利润 题型4 一次函数的应用_方案选择 题型5 一次函数的应用_分段函数 题型6 一次函数的应用_营销问题 题型7 一次函数的应用_工程问题 题型8 一次函数的应用_几何问题 题型9 一次函数的应用_其他问题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列一次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为方便进出，在边CD上留一扇1米宽的门．若设AB的长为x米，BC的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝25﹣2x（0＜x＜12.5） C．y＝26﹣2x（0＜x＜13） D．y＝25﹣x（0＜x＜25） 【变式1】某商店要进一批油，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其数量a与售价c的关系如表所示． 数量a/kg 1 2 3 4 … 售价c/元 10+0.2 20+0.4 30+0.6 40+0.8 … 下列表示数量a与售价c的关系的代数式中，正确的是（　　） A．c＝10a+0.2 B．c＝10+0.2a C．c＝（10+0.2）a D．c＝10+0.2+a 【变式2】已知一根弹簧原长12cm，它能挂的物体的质量不超过15kg，并且每挂1kg，弹簧就伸长cm，则挂物体后的弹簧长度y（cm）与物体的质量x（kg）之间的函数关系式为　 ．（并写出自变量的范围） 【变式3】徐州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为　 （不要求写出自变量x的取值范围）． 题型2 一次函数的应用_行程问题 【典例1】小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）． （1）小明出发第2min时离家的距离为　 　 m； （2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式； （3）画出s与t之间的函数图象． 【变式1】日前教育部要求各中小学开展一次以“崇尚英雄精忠报国”为主题的班会，为了配合此次“铭记英雄，缅怀先烈”的活动，某校开展了赴铜川耀州区陕甘边照金革命根据地纪念馆研学旅行活动．学校离纪念馆135公里，高年级同学乘校车先出发，2小时后到达，参观完后沿原路匀速返回．低年级同学在高年级同学出发1小时后才乘校车走，如图是他们离学校的路程y（千米）行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求高年级同学返回途中y与x之间的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围； （2）低年级同学出发后行驶3小时时与返回的高年级同学在途中相遇，求低年级同学乘坐的校车行驶速度． 【变式2】甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系． （1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　　 千米/小时； （2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式； （3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由． 【变式3】甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车速度，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间的距离为s（km），行驶的时间为t（h），s与t之间的函数关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）甲的速度为 　　 km/h，乙的速度为 　　 km/h； （2）求出图中a、b的值； （3）何时两人相距20km？ 题型3 一次函数的应用_最大利润 【典例1】某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． （1）若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ （2）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A、B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【变式1】某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变） （1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【变式2】某企业准备购买一批爱心物资捐赠给学校．经了解，若购买洗手液300瓶和口罩200包，则共需6000元；若购买洗手液500瓶和口罩300包，则共需9500元． （1）问：每瓶洗手液和每包口罩的价格各是多少元？ （2）现计划购买洗手液和口罩，若购买这两种物资的总费用不超过11500元，洗手液瓶数和口罩的包数之和为1000，且洗手液的瓶数不大于口罩包数的3倍．设购买洗手液m瓶，购买这两种物资的总费用为W元，请写出W（元）与m（瓶）之间的函数关系式，并求出W的最小值． 【变式3】某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 题型4 一次函数的应用_方案选择 【典例1】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元； 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 【变式1】假期将至，某旅行社准备打印一些照片进行宣传，一家打印店现推出活动如下：“方式A”使用者先交50元会员费，然后每打印一张，再付0.4元；“方式B”不交会员费，每打印一张，付0.6元．若本次打印x张，两种方式的费用分别为y1元和y2元． （1）写出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）当打印多少张时两种方式的费用相同？ （3）如果此次打印不超过150张，请你为其选一种便宜的打印方式；如果不低于300张，请你为其选一种便宜的打印方式． 【变式2】共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间xmin之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，小明同学求出y1（x≥10）与x的函数解析式是y＝0.2x+4，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求y2关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3km/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 A 品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【变式3】共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有A，B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图．其中A品牌的收费方式对应yA，B品牌的收费方式对应yB． （1）请分别求出yA（x＞0）以及yB（x≥10）的函数解析式； （2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为15千米/时，小明家到工厂的距离为4.5千米，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ （3）直接写出：第 　　 分钟，两种收费相差2.5元． 题型5 一次函数的应用_分段函数 【典例1】某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用y（元）与上宽带网时间x（时）的函数关系如图所示，且超时费都为2.8元/时，则这两种方式所收的费用最多相差 　　 元． 【变式1】为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按每立方米1.1元收费，超过6m3时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为xm3，应缴水费为y元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？ 【变式2】某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．下表是购买量x（千克）、付款金额y（元）部分对应的值，请你结合表格： 购买量x（千克） 1.5 2 2.5 3 付款金额y（元） 7.5 10 12 b （1）写出a、b的值，a＝　　 b＝　　 ； （2）求出当x＞2时，y关于x的函数关系式； （3）甲农户将18.8元钱全部用于购买该玉米种子，计算他的购买量． 【变式3】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为35元时，此时每日的销售利润是多少元？ 题型6 一次函数的应用_营销问题 【典例1】如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买8千克这种苹果比分8次购买1千克这种苹果可节省的金额为 　　 元． 【变式1】某产品每件的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系如下表：若日销售量y是销售价x的一次函数． x（元） 15 20 25 … y（件） 25 20 15 … （1）求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式； （2）若该产品每件成本10元，销售价定为30元时，求每日的销售利润． 【变式2】某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示． （1）写出图中点B表示的实际意义； （2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值． 【变式3】甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价5元，乒乓球拍每副定价40元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球；乙店按九折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球x盒．（x≥8） （1）若在甲店购买付款y甲（元），在乙店购买付款y乙（元），分别写出y与x的函数关系式； （2）试讨论在哪家商店购买合算？ 【变式4】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： 若日销售量y是销售价x的一次函数． x（元） 15 20 25 … y（件） 25 20 15 … （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）求销售价定为30元时，每日的销售利润． 题型7 一次函数的应用_工程问题 【典例1】某县实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通，如图是甲、乙两个工程队修道路长度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）写出乙工程队修道路的长度y与修筑时间x之间的函数关系式： ； （2）甲工程队前8天所修公路为　 　 米，该公路的总长度为　 　 米； （3）若乙工程队不提前离开，则两队只需　 　 天就能完成任务； （4）甲、乙两工程队第　 　 天时所修道路的长度相差80米． 【变式1】工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示． （1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）求a的值，并说明a的实际意义； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个． 题型8 一次函数的应用_几何问题 【典例1】如图，李大爷要围成的一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成另外三边总长恰好为24米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝﹣2x+24（0＜x＜12） B． C．y＝2x﹣24（0＜x＜12） D． 题型9 一次函数的应用_其他问题 【典例1】某山山脚气温为26℃，海拔每升高1km，气温下降6℃，则山上气温y（℃）与该处距山脚垂直高度x（km）之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣6x B．y＝6x+26 C．y＝﹣6x﹣26 D．y＝﹣6x+26 【变式1】如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是　 　 ． 【变式2】一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 　　 ． 【变式3】标有刻度的线香在古代主要用于计时，通常被称为“更香”或“计时香”，其原理是基于线香燃烧速度的相对稳定性，根据香燃烧的长度来估算时间．已知某型号线香燃烧过程中剩余长度h（cm）与燃烧时间t（分）满足一次函数h＝h0+kt，其中线香初始长度h0＝21cm．若燃烧30分钟时，线香剩余7cm，则k的值为　 　 ． 过 关 验 收 1．本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过3kg物品需付13元，以后每增加1kg需增加托运费1.5元．直接写出托运x（kg）（x＞3）歇马杏的费用y（元）的函数关系式为 　 ． 2．某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.4元，试写出乘车费用y（元）与乘车距离x（千米）（x＞3）之间的函数关系式：　 　 ． 3．某企业现年产值为150万元，计划今年后每年增加20万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是　 ． 4．已知等腰三角形的周长是20cm，设底边长为y，腰长为x，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． 5．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的距离分别为y甲（km）、y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象下列说法不正确的是（　　） A．甲车的速度是80km/h B．乙车休息前的速度为100km/h C．甲走到200km时用时2.5h D．乙车休息了1小时 6．在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，甲、乙两车离C站的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论： ①A、B两地相距360千米； ②甲车速度比乙车速度快15千米/时； ③乙车行驶11小时后到达A地； ④两车行驶4.4小时后相遇． 其中正确的结论有（　　） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 7．为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道A处匀速跑往B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（　　） A． B．18 C． D．20 8．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是　 　 升． 9．鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进A、B两种类型的鲜花共200束，设购进A种鲜花x束，销售完这200束鲜花的总利润为y元．鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 10．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 11．某产品每件成本10元，试销阶段发现每件产品的销售价x元与产品的日销售量y件之间的关系如下表： x/元 … 15 20 25 … y/件 … 25 20 15 … 已知y是x的一次函数． （1）求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是多少元？ 12．某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图． （1）请写出y1与x之间的函数关系式为　 ． （2）求当x≥10时，y2与x之间的函数关系式． （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 13．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　　 元． 14．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　 折． 学科网（北京）股份有限公司 $