专题 3.3 勾股定理的简单应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦勾股定理的简单应用，系统梳理定理基本内容、解题五步法、三大经典实际模型（折竹、梯子滑动、航海方位）、斜边上高结论、数轴构造无理数及勾股数公式，构建从基础建模到综合应用的学习支架，衔接定理本身与实际问题解决。 资料亮点在于分层次题型精析，基础题型如古代折竹问题渗透数学文化，综合题型如航海方位模型培养数学建模与运算能力，同步检测全面覆盖各类题型，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固提升，发展几何直观与逻辑推理核心素养。

专题 3.3 勾股定理的简单应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理基本内容与解题步骤 2 【知识点二】三大经典实际应用模型 2 【知识点三】直角三角形斜边上的高重要结论 3 【知识点四】利用勾股定理在数轴上表示无理数 3 【知识点五】通用勾股数公式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】古代折竹问题应用 3 【题型 2】梯子滑动模型计算 5 【题型 3】数轴构造无理数 8 【题型 4】勾股数公式应用 11 四.题型精析（综合提升） 14 【题型 5】斜边上高综合计算 14 【题型 6】垂直平分线综合题型 18 【题型 7】航海方位综合应用 21 五.同步检测 26 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 26 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：熟练掌握勾股定理公式，理解勾股定理的常见应用场景；掌握将实际问题转化为直角三角形模型的方法；掌握直角三角形斜边上高的相关结论；会利用勾股定理在数轴上构造无理数，了解勾股数通用构造方法。 2. 能力目标：能运用勾股定理及方程思想求解线段长度、图形面积；能独立完成实际应用题建模、几何图形计算与证明；提升数形结合、建模运算与逻辑推理能力。 3. 素养目标：建立“数形结合、转化建模、方程求解”的数学思维，体会勾股定理的实用价值与数学文化，培养几何直观、数学建模与运算求解核心素养。 （二）重难点 1. 重点：勾股定理的实际应用建模；利用勾股定理结合方程思想求线段长与面积；直角三角形斜边上高的计算；数轴上无理数的构造。 2. 难点：复杂实际情境抽象为直角三角形模型；斜边上高结论的推导与综合运用；垂直平分线、动点结合勾股定理的综合计算。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理基本内容与解题步骤 在 中，，直角边长为 ，斜边长为 ，则： 勾股定理应用通用五步法 1. 建模：将实际问题、几何问题转化为直角三角形模型； 2. 构造：无直角时，作垂线、连线构造直角三角形； 3. 设元：设未知边长为 ，用代数式表示其余边长； 4. 列方程：根据勾股定理建立等量关系； 5. 求解作答：舍去负根，结合实际题意作答。 【知识点二】三大经典实际应用模型 （1）折竹模型（古代数学问题） 物体竖直折断，上段倒伏触地，剩余竖直段、地面水平距离为直角边，倒伏段为斜边，利用三边平方关系列方程求解高度。 （2）梯子滑动模型 梯子长度固定（斜边不变），底部滑动、顶端升降，形成动态直角三角形，利用斜边不变列方程求解变化高度与距离。 （3）航海方位模型 两物体沿垂直方位行驶，行驶路程为两条直角边，两点直线距离为斜边，利用方位角判定直角，直接用勾股定理计算距离。 【知识点三】直角三角形斜边上的高重要结论 在 中，， 于 。 结论1（面积法求高）： 结论2（射影公式）： 可快速求解直角三角形的高、分段边长，是考试高频结论。 【知识点四】利用勾股定理在数轴上表示无理数 原理：利用两条整数长的线段作直角边，构造直角三角形，斜边即为形如 的无理数。 操作：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点即为对应无理数的对应点。 【知识点五】通用勾股数公式 若 ，且均为正整数，则：， 为一组勾股数。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】古代折竹问题应用 【例题1】（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】（1）米；（2）米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． （1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 【题型 2】梯子滑动模型计算 【例题2】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端也沿墙下滑吗？ 【答案】梯子顶端并不是下滑，而是下滑 【分析】由题意得到．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 解：当梯子底端设向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C． 可以看出，． 在中，根据勾股定理得， ． 在中，根据勾股定理得， ． 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端并不是下滑，而是下滑． 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】（1）；（2）底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． （1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 【题型 3】数轴构造无理数 【例题3】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在数轴上画出表示的点，记作点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见分析 【分析】构造直角边为1和3的直角三角形，根据勾股定理求解即可． 解：如图，， ∴， ∵点A在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∴点即为所求． 【变式1】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知＝，再根据条件：点对应的数是原点，可求出点D表示的数． 解：∵， ∴＝， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数是：． 【变式2】（25-26八年级下·新疆伊犁·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理得到，根据作图可知，即可求出点表示的数． 解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴， ∴点表示的数为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形． （1）图中的点表示的数是________． （2）在图中画出表示的点． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）过点作，，连接，以点O为圆心，的长为半径画圆，此圆与x轴正半轴的交点即为点M． （1）解：∵正方形的边长为1， ∴， ∴图中的点表示的数是． （2）解：如图所示，点即为所求． 【题型 4】勾股数的应用 【例题4】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则 ， ； （2）当时，求的值；（ 用字母 n 表示） （3）用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】（1）60,61；（2），；（3） 解：不是一组勾股数，理由如下： 由（2）得，，， 依题意，令，则， ， ， ∴19，188，189不是一组勾股数． 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由（2）得，，，令，则， ，，即可作答． （1）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：60,61． （2）解：观察题干的数据，发现， ∵a ，b ，c是勾股数， 即， ∵，， ∴， ∴， 故， （3）略 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足（为三个数中的最大数）的三个正整数，逐项判断即可． 解：对于选项A：，故A不满足勾股数的定义； 对于选项B：，故B不满足勾股数的定义； 对于选项C：，，都不是正整数，故C不满足勾股数的定义； 对于选项D：，且，，都是正整数，满足勾股数的定义，故D正确． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 【答案】（1）①12  13  ②24  25  ③40  41  （2） 【分析】本题考查的是勾股数的概念，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股数的概念解答即可； （2）根据给出的几组勾股数总结规律即可． 解：（1）①∵，， ∴5，12，13是一组勾股数； ②∵，， ∴7，24，25是一组勾股数； ③∵，， ∴9，40，41是一组勾股数； 故答案为：12，13；24，25；40，41 （2）由（1）可知一般规律的表达方式：n，，（n为奇数，且 ）． 证明：； ， ∴，即n，，（n为奇数，且 ）是一组勾股数． 四.题型精析（综合提升） 侧重几何综合、方程思想、模型拓展，适配考试中档及压轴题型。 【题型 5】斜边上高综合计算 【例题5】（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图，在中，，是边上的高，，，则______． 【方法探究】 （2）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块三角形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图3是其缩略示意图，是的中点，沿建一条步行通道，步行通道把三角形分成了两部分，其中内种植油葵，内种植豌豆．已知，，，请求出步行通道的长． 【答案】（）；（）；（）出步行通道的长为． 【分析】（）根据勾股定理和等面积法即可求解； （）根据勾股定理即可求解； （）过作于点，再根据勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； （）解：过作于点， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 在中，， 答：出步行通道的长为米． 【变式1】（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 【变式2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据勾股定理计算即可． 解：如图， 在中，，是斜边上的高，，， ∴， ∵， ∴ 解得， 在中，． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）；（2）CD＝AB， 如图2，∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点，且AC＞AB， ∴AC2﹣AB2＝AD2，即AC2﹣AD2＝AB2， ∵AC2﹣AD2＝CD2， ∴CD2＝AB2， 即CD＝AB． 【分析】（1）根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，CA2＝AD2+1，于是AD2＝（AD2+9）﹣（AD2+1）＝8，即可解决问题； （2）由CA2﹣AB2＝AD2可得：CA2﹣AD2＝AB2，而CA2﹣AD2＝CD2，即可推出CD2＝AB2． 解：（1）如图1，根据勾股定理可得：AB2＝AD2+9，AC2＝AD2+1， ∵△ABC为勾股高三角形，A为勾股顶点， ∴AB2﹣CA2＝AD2， ∴AD2＝（AD2+9）﹣（AD2﹣1）＝8， ∴AD＝2； （2略 ） 【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型 6】垂直平分线综合题型 【例题6】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果． （1）解：∵点在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：，，， ， 由（1）可得， ∵， ， 在中，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先利用垂直平分线的性质得到相等线段，再通过两次勾股定理计算出的长度． 解：∵垂直平分， ∴， ． 在中，，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得：； 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到，，，进而利用勾股定理求解即可． 解：∵垂直平分，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴的长为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，，D、E分别在、上，且垂直平分． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）的长为 【分析】（1）连接,证明即可求解； （2）根据勾股定理可直接求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，准确假设未知线段并由勾股定理列方程是关键． 解：（1） 略 （2）解：∵，，， ∴, 设，则, ∵， ∴， 解得， 故的长为． 【题型 7】航海方位综合应用 【例题7】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】（1）海里；（2）本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． （1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 【变式1】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 【变式2】（2026·浙江杭州·二模）绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【答案】50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 解：设的长为尺，则的长为尺， 在中，，则由勾股定理得， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 解：∵，米，米， ∴（米）． 3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 7．（25-26八年级下·山西大同·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 8．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 9．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 10．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算各线段长度，通过全等判定验证A、C、D选项；对B选项使用反证法，构造截线三角形，依据三角形边长不相等推出内错角不相等，证明两直线不平行，找出错误选项． 解：设单个小正方形网格边长为 选项A，∵，，， ∵， ∴，故A项正确，不符合题意． 选项B，假设，则 ∵， ∴， ∴，这与矛盾， ∴与不平行．故B项错误，符合题意． 选项C，，故C项正确，不符合题意． 选项D，∵，，． ∴，故D项正确，不符合题意． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·四川德阳·期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 【答案】/米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 12．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 解：设折断处离地面的高度是尺，则该直角三角形的斜边长为尺，由勾股定理可得： ， 解得：， 即折断处离地面的高度是尺． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 解：根据题意得到，， ． 16．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝___． 【答案】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据三角形的面积公式解答即可． 解： 如图，在中，，，， ，即, 是直角三角形， ， ，即，解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积．先根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）在数轴上作出表示对应的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求； 【分析】设点表示的数为1，点表示的数为，以、为直角边作直角三角形，则，以为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于，则表示的数为． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． （1）请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； （2）小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 【答案】（1）旗杆的高度为12米；（2）测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． （1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知，如图，在四边形中，，过点A作于点E，． （1）求证：； （2）若点D恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，过点A作于点E， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识． （1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据垂直平分线上得，由勾股定理得到，则，解方程即可求出线段的长． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， 设，则， ∵点D恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 即， 解得， 即线段的长为． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江西赣州·阶段检测）某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 【答案】调整前后顶部边缘移动的水平距离的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，在中求得，根据题意得，在中求得，利用求解即可． 解：∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∵，， 在中，， ∴， 解得： ， ∴． 答：调整前后顶部边缘移动的水平距离为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·阶段检测）十一世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺．两棵棕榈树的树干间的距离是40肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时抓到了这条鱼．按题意画出如下示意图，这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部有多远？ 【答案】这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部肘尺 【分析】设肘尺，则肘尺，利用勾股定理建立方程，求出的值即可． 解：由题意，得肘尺，肘尺，40肘尺，． 设肘尺，则肘尺． 在和中， ，． ， ， 解得． 故这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部肘尺． 【点拨】本题考查勾股定理的应用；解决本题的关键是善于挖掘题目的隐含信息． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米；（2）米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． （1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 勾股定理的简单应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理基本内容与解题步骤 2 【知识点二】三大经典实际应用模型 2 【知识点三】直角三角形斜边上的高重要结论 3 【知识点四】利用勾股定理在数轴上表示无理数 3 【知识点五】通用勾股数公式 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】古代折竹问题应用 3 【题型 2】梯子滑动模型计算 4 【题型 3】数轴构造无理数 6 【题型 4】勾股数公式应用 6 四.题型精析（综合提升） 7 【题型 5】斜边上高综合计算 7 【题型 6】垂直平分线综合题型 8 【题型 7】航海方位综合应用 9 五.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：熟练掌握勾股定理公式，理解勾股定理的常见应用场景；掌握将实际问题转化为直角三角形模型的方法；掌握直角三角形斜边上高的相关结论；会利用勾股定理在数轴上构造无理数，了解勾股数通用构造方法。 2. 能力目标：能运用勾股定理及方程思想求解线段长度、图形面积；能独立完成实际应用题建模、几何图形计算与证明；提升数形结合、建模运算与逻辑推理能力。 3. 素养目标：建立“数形结合、转化建模、方程求解”的数学思维，体会勾股定理的实用价值与数学文化，培养几何直观、数学建模与运算求解核心素养。 （二）重难点 1. 重点：勾股定理的实际应用建模；利用勾股定理结合方程思想求线段长与面积；直角三角形斜边上高的计算；数轴上无理数的构造。 2. 难点：复杂实际情境抽象为直角三角形模型；斜边上高结论的推导与综合运用；垂直平分线、动点结合勾股定理的综合计算。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理基本内容与解题步骤 在 中，，直角边长为 ，斜边长为 ，则： 勾股定理应用通用五步法 1. 建模：将实际问题、几何问题转化为直角三角形模型； 2. 构造：无直角时，作垂线、连线构造直角三角形； 3. 设元：设未知边长为 ，用代数式表示其余边长； 4. 列方程：根据勾股定理建立等量关系； 5. 求解作答：舍去负根，结合实际题意作答。 【知识点二】三大经典实际应用模型 （1）折竹模型（古代数学问题） 物体竖直折断，上段倒伏触地，剩余竖直段、地面水平距离为直角边，倒伏段为斜边，利用三边平方关系列方程求解高度。 （2）梯子滑动模型 梯子长度固定（斜边不变），底部滑动、顶端升降，形成动态直角三角形，利用斜边不变列方程求解变化高度与距离。 （3）航海方位模型 两物体沿垂直方位行驶，行驶路程为两条直角边，两点直线距离为斜边，利用方位角判定直角，直接用勾股定理计算距离。 【知识点三】直角三角形斜边上的高重要结论 在 中，， 于 。 结论1（面积法求高）： 结论2（射影公式）： 可快速求解直角三角形的高、分段边长，是考试高频结论。 【知识点四】利用勾股定理在数轴上表示无理数 原理：利用两条整数长的线段作直角边，构造直角三角形，斜边即为形如 的无理数。 操作：以原点为圆心、斜边长为半径画弧，与数轴交点即为对应无理数的对应点。 【知识点五】通用勾股数公式 若 ，且均为正整数，则：， 为一组勾股数。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】古代折竹问题应用 【例题1】（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【题型 2】梯子滑动模型计算 【例题2】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端也沿墙下滑吗？ 【变式1】（25-26八年级上·河南焦作·阶段检测）如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·天津·阶段检测）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【变式3】（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． （1）求这架云梯顶端A处的高度； （2）当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【题型 3】数轴构造无理数 【例题3】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）在数轴上画出表示的点，记作点．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（     ） A．2.2 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·新疆伊犁·期末）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的数为________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形为正方形． （1）图中的点表示的数是________． （2）在图中画出表示的点． 【题型 4】勾股数的应用 【例题4】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则 ， ； （2）当时，求的值；（ 用字母 n 表示） （3）用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）手工课上，同学们制作直角三角形书签，需要选择三条整数长度的纸条作为三边．下列四组纸条长度中，能构成直角三角形三边的勾股数是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，，，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法．你发现了吗？请你写出以下几组勾股数：①5，______，______；②7，______，______；③9，_______，_______． （2）写出勾股数一般规律的表达式（用字母n表示，n为奇数，且）． 四.题型精析（综合提升） 侧重几何综合、方程思想、模型拓展，适配考试中档及压轴题型。 【题型 5】斜边上高综合计算 【例题5】（24-25八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图，在中，，是边上的高，，，则______． 【方法探究】 （2）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【问题解决】 （3）为了落实国家关于劳动实践教育的政策，使同学们掌握劳动技能和科学知识，体验劳动的快乐，某学校计划利用学校内一块三角形空地规划建立劳动教育综合实践基地．如图3是其缩略示意图，是的中点，沿建一条步行通道，步行通道把三角形分成了两部分，其中内种植油葵，内种植豌豆．已知，，，请求出步行通道的长． 【变式1】（25-26八年级下·重庆丰都·期中）一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______． 【变式3】（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 【题型 6】垂直平分线综合题型 【例题6】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为（    ） A． B． C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，，，D、E分别在、上，且垂直平分． （1）求证：； （2）求的长． 【题型 7】航海方位综合应用 【例题7】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． （1）求港口到港口的直线距离； （2）为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【变式2】（2026·浙江杭州·二模）绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（1丈尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地（如图），抵地处点离竹子底部点3尺远，求折断后竹子的长．设的长为尺，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山西大同·期中）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 8．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·四川广安·期末）如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D在格点上，点E在网格线上．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·四川德阳·期中）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 12．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 13．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 14．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 15．（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 16．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 17．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝___． 18．（25-26八年级上·四川成都·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）在数轴上作出表示对应的点，记作点A．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南平顶山·期末）为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． （1）请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； （2）小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知，如图，在四边形中，，过点A作于点E，． （1）求证：； （2）若点D恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江西赣州·阶段检测）某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔记本电脑的宽为，当顶部边缘离桌面的高时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高时，用眼舒适度比较理想．已知点，，，在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·阶段检测）十一世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺．两棵棕榈树的树干间的距离是40肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时抓到了这条鱼．按题意画出如下示意图，这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部有多远？ 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）． （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $