期末复习(4)勾股定理教学设计2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学单元复习资料聚焦勾股定理单元，采用“知识点梳理-例题精讲-分层练习”的设计方式，系统整合勾股定理的概念、逆定理及应用三大核心内容，通过定义解析、公式推导与实例应用的逻辑链条，帮助学生构建“定理理解-运算应用-实际建模”的完整知识网络。 其亮点在于以核心素养为导向设计复习活动，如通过“拼图证明勾股定理”培养几何直观与空间观念，结合“四边形中直角判断”“中转站选址”等实际问题发展模型意识与应用能力。练习设计分层，从基础运算到综合证明再到实际建模，适配不同学生需求。配套答案含详细解析，助力教师精准评价学情，有效提升学生运用数学思维解决问题的能力。

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学·上册· 期末复习 八年级数学上学期期末复习(4)： 勾股定理 【学习目标】 1、理解并掌握勾股定理，会运用勾股定理进行相关的运算； 2、会利用“拼图”及面积相等的方法来证明勾股定理； 3、掌握勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形； 4、会利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题. 【学习重点】理解并掌握勾股定理，会运用勾股定理进行相关的运算. 【学习难点】利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题. 【学习过程】 一、本章知识点： 知识点01 勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2） 2、勾股定理的应用 (1)已知直角三角形的两边，求第三边；(2)利用勾股定理证明有关线段平方的关系；(3)勾股定理在实际问题中的应用. 知识点02 勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2、勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2，则称a，b，c为勾股数.常见的勾股数有： (1)3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）8，15，17；（5）9，40，41 知识点03 利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题 二、例题讲解 1、讲解例题1：（2025秋•东洲区月考）在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝6cm，点E、F分别在边BC、DC上，且EA平分∠BEF． （1）求证：FA平分∠DFE； （2）若EF＝10cm，求△AEF的面积． 2、尝试练习： (1)（2025秋•富锦市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD＝3，BD＝5，则点D到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 第（5）题图 (2)（2024秋•泰山区期末）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD (3)（2024秋•惠山区期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　　） A． B． C． D． (4)（2025秋•黄浦区校级月考）已知Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，则AB＝　 　 ． (5)（2025秋•虹口区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是　 　 ． (6)（2025秋•龙湾区）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D点，CE平分∠ACB交AD于点F． （1）求证：AE＝AF． （2）取CE的中点G，连结AG，BG．若AB＝3，BC＝5，求△ABG的面积． 3、讲解例题2：（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线 DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． 4、尝试练习： (1)（2025秋•青羊区校级月考）下列各组数是勾股数的是（　　） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， (2)（2024秋•兴庆区校级期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，，2 C．，4，7 D．4，5，6 (3)（2025春•开鲁县期中）如图，在正方形网格中有线段AC、BC，点A，B，C在网格 的格点上，则∠1+∠2＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° (4)（2025秋•文登区校级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 　 　 三角形． (5)（2025春•鹿邑县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． 5、讲解例题3：（2025秋•荥阳市月考）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 6、尝试练习：（2024秋•衡东县期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 八年级数学上学期期末复习(4)：勾股定理(答案) 【学习目标】 1、理解并掌握勾股定理，会运用勾股定理进行相关的运算； 2、会利用“拼图”及面积相等的方法来证明勾股定理； 3、掌握勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形. 4、会利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题； 【学习重点】理解并掌握勾股定理，会运用勾股定理进行相关的运算. 【学习难点】利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题. 【学习过程】 一、本章知识点： 知识点01 勾股定理 1、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.（Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2） 2、勾股定理的应用 (1)已知直角三角形的两边，求第三边；(2)利用勾股定理证明有关线段平方的关系；(3)勾股定理在实际问题中的应用. 知识点02 勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 2、勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2，则称a，b，c为勾股数.常见的勾股数有： (1)3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）8，15，17；（5）9，40，41 知识点03 利用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形有关的实际问题 二、例题讲解 1、讲解例题1：（2025秋•东洲区月考）在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD＝6cm，点E、F分别在边BC、DC上，且EA平分∠BEF． （1）求证：FA平分∠DFE； （2）若EF＝10cm，求△AEF的面积． （1）证明：如图，过点A作AH⊥EF于H， 由题意得：AB⊥EB， ∵EA平分∠BEF，AH⊥EF，∴AH＝AB， ∵AB＝AD，∴AH＝AD， 在Rt△ADF与Rt△AHF中，，∴Rt△ADF≌Rt△AHF（HL）， ∴∠AFD＝∠AFH，∴FA平分∠DFE； （2）解：由（1）可得AH＝AD＝6cm，∵EF＝10cm，∴． 2、尝试练习： (1)（2025秋•富锦市月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD＝3，BD＝5，则点D到AB的距离是（　A　） A．3 B．4 C．5 D．8 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 第（5）题图 (2)（2024秋•泰山区期末）如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　D　） A．PA B．PB C．PC D．PD (3)（2024秋•惠山区期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（　A　） A． B． C． D． (4)（2025秋•黄浦区校级月考）已知Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，则AB＝　5或 　 ． (5)（2025秋•虹口区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，CD＝1，，则四边形ABCD的面积是　 　 ． (6)（2025秋•龙湾区）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D点，CE平分∠ACB交AD于点F． （1）求证：AE＝AF． （2）取CE的中点G，连结AG，BG．若AB＝3，BC＝5，求△ABG的面积． （1）证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠AEF+∠ACE＝90°，∠BCE+∠CFD＝90°， ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠AEF＝∠CFD， ∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF； （2）解：∵点G是CE的中点，∴， ∴， 在直角三角形ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：，∴， ∴，即△ABG的面积为3． 3、讲解例题2：（2025春•雨花区校级期末）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线 DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠C＝90°； （2）若AC＝8，BC＝6，求CE的长． （1）证明：连接BE，如图：∵AB边上的垂直平分线为DE，∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴∠C＝90°； （2）设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，∴在Rt△BCE中，EC2+BC2＝BE2， 即x2+62＝（8﹣x）2,解得：，则． 4、尝试练习： (1)（2025秋•青羊区校级月考）下列各组数是勾股数的是（　C　） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， (2)（2024秋•兴庆区校级期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　B　） A．1，2，3 B．1，，2 C．，4，7 D．4，5，6 (3)（2025春•开鲁县期中）如图，在正方形网格中有线段AC、BC，点A，B，C在网格 的格点上，则∠1+∠2＝（　B　） A．35° B．45° C．55° D．65° (4)（2025秋•文登区校级期中）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC是 　 直角　 三角形． (5)（2025春•鹿邑县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°． （1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积． （1）解：∠D是直角．理由：连接AC， ∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625， ∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角； （2）解：∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC， ∴S四边形ABCDAB•BCAD•CD＝234． 5．讲解例题3：（2025秋•荥阳市月考）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A、B，城镇A到轨道的垂直距离AM为5千米，城镇B到轨道的垂直距离BN为10千米，MN的长度为12千米．现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离点M多远处？ 解：如图，AM为5千米，BN为10千米，MN的长度为12千米， 设PM＝x千米，则PN＝（12﹣x）千米，∵PA＝PB， 由勾股定理得：AM2+PM2＝PA2＝PB2＝PN2+BN2， ∴52+x2＝（12﹣x）2+102，解得， ∴中转站P应修建在离点M相距千米处． 6、尝试练习：（2024秋•衡东县期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 解：（1）由题意可知，AC＝300米，BC＝400米，AB＝500米， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∴S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD240（米）， 答：山地C距离公路的垂直距离为240米； （2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，260米为半径画弧，交AB于点E、F，连接CE，CF， 则EC＝FC＝260米，DE＝DF， 由（1）可知，CD＝240米， ∵240米＜260米，∴有危险需要暂时封锁， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE100（米）， ∴EF＝2DE＝200（米）， 即需要封锁的公路长为200米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $