第04讲 3.2.2奇偶性（知识清单+7类热点题型+分层强化训练）【精讲精练】2026-2027学年高一上学期数学同步学与练（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性核心知识点，系统梳理定义（偶函数、奇函数）、判断方法（定义法、图象法、性质法）、奇偶函数性质（图象特征、单调性关系、最值关系）及对称性，构建从概念到应用的学习支架，衔接函数性质整体认知。 资料以思维导图搭建知识框架，题型精讲分7类（定义判断、求解析式等）并配“即学即练”，培养数学思维与推理能力。分层精练助力课中教学与课后巩固，提升用数学语言解决问题的应用意识。

第04讲 3.2.2奇偶性 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 【即学即练1】（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项中，，定义域为， 关于原点对称，且， 符合奇函数定义，是奇函数， B选项中，，定义域为， 但，是偶函数，不是奇函数， C选项中，，定义域为， 定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不是奇函数， D选项中，，定义域为，关于原点对称， 且，符合奇函数定义，是奇函数. 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练2】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意，,求出,再利用奇函数性质代值计算即可. 【详解】因是定义在上的奇函数，则, 即,解得, 则当时，， 故. 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 第三部分 题型精讲 题型01函数奇偶性定义与判断 【典例1】（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·云南曲靖·期中）以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 【变式3】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC 题型02由奇偶性求解析式 【典例1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 【典例2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，__________. 【答案】 【分析】当时，，求出，再利用奇偶性可求. 【详解】当时， 若，则，则， 因函数是定义在上的偶函数，则， 故当时，. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________. 【答案】 【分析】根据函数是奇函数得，解出即可. 【详解】当时，， 则当时，函数是定义在上的奇函数，所以， 可得， 故答案为：. 【变式3】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）直接描点并结合函数在单调递增可得函数在上的图象，再由奇函数图象的对称性可得的图象； （2）直接由奇函数的对称性可得当时，，进而可得函数在上的解析式. 【详解】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. 题型03由奇偶性求参数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 【典例2】（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 【答案】5 【分析】通过一元二次函数的对称性求解. 【详解】 由题意知，函数的对称轴是轴，所以，得，， 所以. 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 【变式2】若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 【答案】5 【分析】根据偶函数的定义，代入整理，即可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 则， 解得，所以. 题型04由奇偶性解不等式 【典例1】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的单调性将函数不等式转化为，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间单调递增， 所以在上单调递减， 不等式，即，即或， 解得或， 即满足的x取值范围为. 故选：B 【典例2】（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 【变式1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用奇函数性质解不等式即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，． 由奇函数的性质可得函数的图象如下： 由图象可得，不等式的解集为． 故选:B． 【变式2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 【变式3】（2026高二上·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】根据函数的定义域，奇偶性和单调性可得限制条件，求解不等式组可得答案. 【详解】对任意，且时，都有成立， 可得在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 所以,解得或. 故答案为:. 题型05抽象函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1)0 (2) 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数. 【分析】（1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. 【详解】（1）令，则. （2）略 【典例2】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． (2) 是奇函数， 证明：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以， 故是奇函数． 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【答案】偶函数 【分析】通过赋值找到与的关系，从而确定奇偶性. 【详解】令，则，即， ∵，解得． 再令，则，移项可得， ∴是偶函数． 【变式2】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数， 因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）略 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 题型06函数奇偶性的应用 【典例1】（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【详解】函数且， 所以，即, 所以【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25高二下·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，由建立关于的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 题型07奇偶函数对称性的应用 【典例1】（25-26高一上·湖北·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 【答案】C 【分析】由偶函数图象的对称性判断单调性，由偶函数定义判断最值. 【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增， 对，，因为在最小值是， 所以，又，所以， 即在单调递增，且最小值是. 故选：C. 【典例2】设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1) 如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： (2)； (3) 函数的最大值为4． 【分析】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【详解】（1）略 （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 【变式1】已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义可知区间应关于原点对称，从而可求出a的值，再根据函数图象即可得到其增区间． 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则______． 【答案】4 【分析】根据函数的对称性求出，利用奇偶性求得，再利用函数的奇偶性以及对称性即可求得的值，即得答案. 【详解】由于函数图象关于直线对称，， 故，又为偶函数，故， 则， 故答案为：4 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期中）定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是_____________.    【答案】 【分析】根据偶函数的性质，作出函数的图象，利用分类讨论，结合图象，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则其函数的图象关于轴对称，如下图所示：    当时，由，则，根据图象可得； 当时，由，则，根据图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 4．（25-26高三下·甘肃定西·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 则, 所以。 5．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】因为具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，再通过偶函数定义即可求得，代入即可求解. 【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 二、多选题 7．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图象关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图象关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 【答案】ACD 【分析】根据奇、偶函数的定义及其判定方法，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A：设为图象上的一点，其关于原点对称的点为，且， 对于，当时，， 所以点在函数图象上， 所以两个函数的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若为奇函数，其定义域可能不包含0，比如奇函数，不成立，故B错误； 对于C：函数图象向右平移1个长度单位，向上平移1个长度单位， 可得的图象， 而函数图象关于原点对称，所以图象关于对称，故C正确； 对于D：设，定义域关于原点对称，则， 所以，即为偶函数； 当时，，在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 8．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 【答案】ABC 【分析】利用奇函数可判断A，利用对称性可判断B，利用解分段函数不等式可判断C，利用分段二次函数的单调性可判断D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 当时，由奇函数得：，故B正确； 当时，由， 因为，所以解得， 当时，由， 显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确； 当时，由二次函数的递增区间可得， 当时，由的递增区间可得， 故函数的单调增区间为，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 【答案】 【分析】使用函数奇偶性判断在上的单调性，使用单调性比较函数值的大小求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 10．设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. B能力提升 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 2．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 3．（多选）（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. C综合素养 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先由是奇函数推导的中心对称点，再根据反函数的对称关系得到的中心对称点，最后利用中心对称性质求解. 【详解】由为奇函数，可得对定义域内任意，满足， 令，变形得，即，因此的图象关于点中心对称， 由于与的图象关于直线对称，点关于的对称点为， 因此的图象关于点中心对称，满足， 已知，即，代入得. 2．（第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）-1）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 【答案】 【详解】因为函数， 则， 所以关于成中心对称， 所以 ， 令， 则， 两式相加可得：，所以. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得，代入即可求出答案；根据函数的单调性可将不等式化为，根据，得到，根据对勾函数的单调性求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，当时，， 所以， 易得在上单调递增， 所以可化为， 即， 因为，所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围为. 5．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意“中心对称图形”的定义分析判断即可； （2）根据“弱对称中心图形”定义，代入解出表达式，讨论取值范围，再利用换元法即可求解． 【详解】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 3.2.2奇偶性 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 【即学即练1】（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点02：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 【即学即练2】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知奇函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C．2 D．1 知识点03：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 第三部分 题型精讲 题型01函数奇偶性定义与判断 【典例1】（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【典例2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·云南曲靖·期中）以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高一上·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 题型02由奇偶性求解析式 【典例1】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【典例2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【变式1】（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，__________. 【变式2】（25-26高一上·天津滨海新区·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________. 【变式3】已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 题型03由奇偶性求参数 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【典例2】（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】若函数是上的偶函数，则的值为______． 【变式3】（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数为偶函数，则__________. 题型04由奇偶性解不等式 【典例1】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【变式1】（2026·云南红河·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【变式3】（2026高二上·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 题型05抽象函数的奇偶性 【典例1】（25-26高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【典例2】（24-25高一上·河南·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【变式1】已知函数的定义域为，对任意都有，且，判断的奇偶性． 【变式2】定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 题型06函数奇偶性的应用 【典例1】（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数且，则的值为______． 【变式1】若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（24-25高二下·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 题型07奇偶函数对称性的应用 【典例1】（25-26高一上·湖北·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 【典例2】设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【变式1】已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则______． 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期中）定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是_____________.    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    3．（2026·陕西西安·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 4．（25-26高三下·甘肃定西·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（    ） A． B．1 C． D．3 5．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 7．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数与的图象关于原点对称 B．若函数是奇函数，则 C．函数的图象关于点对称 D．函数是偶函数，且在上单调递增 8．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 三、填空题 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 10．设 是定义在上的奇函数，则______ B能力提升 1．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 2．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 3．（多选）（25-26高一下·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. C综合素养 1．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习讲义）（全国通用）-1）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数，则______. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $