3.3 幂函数讲义【知识清单+9大题型】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理其概念（定义、系数与底数特征）、图象与性质（五个基本幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、定点及拓展规律），构建从抽象定义到具体性质的学习支架，衔接函数概念与后续性质综合应用。 该资料以九类典型例题为核心，涵盖概念辨析、图像识别、性质应用等，通过选择、填空、解答题培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）、应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

3.3 幂函数 第一部分：知识清单 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 第二部分：典型例题汇总 典例一 幂函数的概念及其求参 典例二 幂函数的图像 典例三 幂函数定义域的问题 典例四 幂函数值域的问题 典例五 幂函数单调性及其应用 典例六 幂函数奇偶性及其应用 典例七 由幂函数的单调性求参数 典例八 利用幂函数的单调性解不等式 典例九 由幂函数的单调性比较大小 第三部分：典型例题 典例一 幂函数的概念及其求参 1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 4．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数，则___________． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象过点，则_______． 6．（25-26高一上·河南·期中）若函数是幂函数，且，则______． 典例二 幂函数的图像 7．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 10．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 典例三 幂函数定义域的问题 11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 12．（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 典例四 幂函数值域的问题 15．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为__________. 16．（25-26高一上·浙江·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 18．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 典例五 幂函数单调性及其应用 19．（25-26高一上·四川资阳·期末）已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 典例六 幂函数奇偶性及其应用 23．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 25．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 26．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 典例七 由幂函数的单调性求参数 27．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 28．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 29．（25-26高一上·广东·期末）幂函数在上单调递减，则 __________ 30．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，若函数是幂函数，且在上单调递减，则__________. 典例八 利用幂函数的单调性解不等式 31．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 32．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 33．（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 34．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例九 由幂函数的单调性比较大小 35．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 36．（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高一·全国·寒假作业）若，则的大小关系为______． 第四部分：课后检测 1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 3．（25-26高一上·甘肃金昌·期中）幂函数与幂函数（    ） A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）若函数为幂函数，则（    ） A． B．函数的定义域为R C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．-1或2 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 11．（25-26高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 12．（25-26高一上·河北雄安·期末）（多选）已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 13．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 14．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为_____ 15．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 16．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 幂函数 第一部分：知识清单 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 第二部分：典型例题汇总 典例一 幂函数的概念及其求参 典例二 幂函数的图像 典例三 幂函数定义域的问题 典例四 幂函数值域的问题 典例五 幂函数单调性及其应用 典例六 幂函数奇偶性及其应用 典例七 由幂函数的单调性求参数 典例八 利用幂函数的单调性解不等式 典例九 由幂函数的单调性比较大小 第三部分：典型例题 典例一 幂函数的概念及其求参 1．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）下列函数为幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数定义求解. 【详解】根据幂函数的定义知，是幂函数，不是幂函数. 故选：BD 3．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 4．（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知幂函数，则___________． 【答案】 【分析】根据幂函数定义求解即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 所以，所以， 故答案为： 5．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数的图象过点，则_______． 【答案】16 【分析】根据幂函数定义可得，代入点运算求解即可. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得，即， 又因为幂函数的图象过点，所以. 故答案为：16. 6．（25-26高一上·河南·期中）若函数是幂函数，且，则______． 【答案】 【分析】根据条件，确定幂函数的解析式，再求函数值. 【详解】设，则，所以. 故， 所以. 故答案为： 典例二 幂函数的图像 7．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 8．（25-26高一上·河北保定·期中）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与性质分析的符号，结合幂函数的性质判定选项即可. 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 9．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 10．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__． 【答案】 【分析】令求解即可. 【详解】令，得， 故函数图象过定点， 故答案为： 典例三 幂函数定义域的问题 11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 12．（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 13．（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 典例四 幂函数值域的问题 15．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为__________. 【答案】14 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故答案为：14 16．（25-26高一上·浙江·期中）下列四个函数中，值域为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域的概念，以及基本初等函数性质，逐一求出各函数值域，判断结果即可. 【详解】由可知，对勾函数值域为，所以A错误； 由幂函数性质可知，函数的值域为，所以B错误； 由，函数值域为，所以C错误； 由，即，解得或，此时函数值域为，所以D正确； 故选：D. 17．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解； 选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域； 选项C，平方变形与A同理可求； 选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解， 关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可. 【详解】要使，都有意义，则有， 故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且 ， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减， 则的值域为， 即的值域为，故D正确. 故选：ABD. 18．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 典例五 幂函数单调性及其应用 19．（25-26高一上·四川资阳·期末）已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 20．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】判断出函数的单调性及图象形状，结合复合函数单调性的判断方法、特殊值法逐项分析即可. 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 21．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 22．（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3) 函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 则，解得， 故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）略 典例六 幂函数奇偶性及其应用 23．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 24．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 25．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 26．（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【分析】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【详解】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D 典例七 由幂函数的单调性求参数 27．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 28．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 29．（25-26高一上·广东·期末）幂函数在上单调递减，则 __________ 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义可得 ，即可求出 的可能取值，再根据函数在 上为减函数，即可确定出满足题意的 的值. 【详解】因为 所以，解得或， 当 时， 在 上是增函数，不符合题意， 当 时， 在 上是减函数，符合题意， 综上，. 故答案为： 30．（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知，若函数是幂函数，且在上单调递减，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用幂函数的定义及性质，得出关系式，即可求解. 【详解】因为函数是幂函数，且在上单调递减， 则满足，即，解得. 故答案为：. 典例八 利用幂函数的单调性解不等式 31．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 32．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】由幂函数的性质即可计算求解； 【详解】（1）因为为R上的增函数， 所以若，则， 所以满足题意的实数的取值范围为. （2）因为函数为上的增函数，且定义域为R， 且，即为偶函数， 所以函数为上的减函数， 所以若，则或. 所以满足题意的实数的取值范围为. 33．（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求出的值，然后求不等式的的范围即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 化简得，解得或. 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 所以，那么不等式为. 所以，解得. 故答案为：. 34．（25-26高一上·福建·期中）已知幂函数在上是增函数，.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据幂函数的概念和单调性求的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，所以. 又幂函数是定义在上的增函数， 所以. 故选：C 典例九 由幂函数的单调性比较大小 35．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 36．（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【详解】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 37．（25-26高一上·浙江温州·期中）（多选）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】取特值说明ABC的存在性，对于D证明其不成立. 【详解】对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确 对于D：若成立，则由且且，解得且，显然不存在实数满足，故D不正确. 故选：ABC 38．（25-26高一·全国·寒假作业）若，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】由幂函数性质即可分析求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增，， 所以即，又， 所以. 故答案为： 第四部分：课后检测 1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 2．（25-26高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 3．（25-26高一上·甘肃金昌·期中）幂函数与幂函数（    ） A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数 【答案】B 【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决. 【详解】由题知 ，定义域为，单调性递增，值域为， ，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为， 所以与值域相同， 故选：B 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）若函数为幂函数，则（    ） A． B．函数的定义域为R C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为函数为幂函数， ，解得，A错误； ，其定义域为，B错误； ，函数是偶函数，C错误 函数在区间上单调递减，D正确. 故选: D. 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集. 【详解】定义域为，且在与上均为减函数， 且当上，恒成立，当上，恒成立， 故①或②或③， 解①得：， 解②得：， 解③得：， 综上：不等式的解为. 故选：D 6．（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 7．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 【答案】D 【分析】根据函数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确； 对于选项B，函数定义域为，且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 故选：D 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 9．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．-1或2 【答案】B 【分析】由函数是幂函数解出，再由单调性判断即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故选：B. 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立， 所以该函数在上是减函数， 所以，故A错误，B正确； 因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：BD 11．（25-26高三上·贵州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（    ） A． B．的定义域为 C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D. 【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确； B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确； D：由知函数在上单调递增， 所以由可得，解得， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC 12．（25-26高一上·河北雄安·期末）（多选）已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以A错误，B正确； 由上述分析可得，则，所以为偶函数，C正确； 因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD. 13．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数的图象在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是幂函数，所以，得， 当时，，函数图象在区间上单调递增，不满足条件， 当时，，函数图象在区间上单调递减，满足条件， 所以. 14．（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为_____ 【答案】 【分析】由幂函数单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：. 故答案为： 15．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 16．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数是奇函数. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的概念及奇函数即可求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或. 当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意； 当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意. 故. （2）由（1）可知，所以不等式，即不等式， 因为为增函数， 所以，即， 所以，解得或，即的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $