3.3幂函数（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了幂函数的知识体系。从幂函数的概念（定义、特征）出发，衔接函数性质，涵盖图象与性质（定义域、值域、单调性、定点）、图象变化规律（第一象限走势、凹凸性、对称补画），最终落脚到比较大小与解不等式的应用，构建从基础到应用的学习支架。 知识链路按“概念-性质-规律-应用”逻辑清晰呈现，每个知识点配有归纳总结、特别提醒及拓展延伸，易错点分析助力规避认知误区。题型覆盖判断、求参数、定义域等，结合方法技巧培养数学思维，习题设计多样，帮助学生用数学语言表达和解决问题，形成完整认知框架。

第三章 函数的概念与性质 3.3幂函数 🔷知识点一 幂函数的概念 1．幂函数定义:一般地，形如 的函数称为幂函数， 是自变量， 为常数。 2.幂函数的特征: ① 自变量单独作为底数； ② 项的系数必须为； ③ 解析式只有单一幂项，无常数、无其他加减项。 ⚠️特别提醒 均不是幂函数。 📌归纳总结 判断幂函数先化简为标准形式，系数、底数、项数三项全部符合才成立。 💡拓展延伸 1.常数函数可写作，仅在时符合幂函数形式，处无定义，因此完整不是幂函数； 2.若解析式带有根号、分式，要先转化为分数指数幂再判定，例如是幂函数，是幂函数； 3.题目给出含参函数为幂函数时，优先令幂项系数等于 1，再结合定义域、奇偶性、单调性筛选参数。 🔷 知识点二 幂函数图象与性质 1. 常用幂函数图像 在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． 2.幂函数的性质 幂函数 定义域 值域 单调性 上为增函数 单调递增， 单调递减 上为增函数 在上为增函数 时单调递减， 时单调递减 定点 3.幂函数整体图象与性质 (1)定义域共性:所有幂函数在区间内一定有定义，在第一象限一定存在图象;所有幂函数图象必然经过定点； (2)当（指数为正数）时： 图象穿过坐标原点，在区间上整体单调递增； ① ：第一象限内函数图象向上凸起，增长速度越来越平缓； ② ：第一象限内函数图象向下凸起，增长速度越来越快； (3)当（指数为负数）时： 图象不经过坐标原点，在区间上单调递减，函数图象会无限靠近轴、轴，但永远不会与坐标轴相交； (4)分数指数奇偶判定拓展（统一将指数化为最简分数，为互质整数） ①分母为偶数：偶次根式限制被开方数非负，定义域仅为，函数非奇非偶； ②分母为奇数、分子为奇数：定义域包含全体实数，函数为奇函数，图象关于坐标原点中心对称； ③分母为奇数、分子为偶数：定义域包含全体实数，函数为偶函数，图象关于轴对称； 💡拓展延伸 幂函数定点规律: 1.定点：任意标准幂函数恒过定点，原因是 1 的任意次幂恒等于 1； 2.原点定点：时，，图象还经过；时，无意义，不经过原点； 3.平移型幂函数：令，得，恒过定点； 4.复合幂函数：令内层，解出后代入函数求，即可得到复合函数定点。 ⚠️特别提醒 1.的递减区间不能合并书写，两个区间增减性无法跨区间成立； 2.定义域不含负数，不存在关于原点或轴对称的条件，无奇偶性； 3.五个常用幂函数全部经过定点，指数大于 0 的函数还经过坐标原点。 4.化简分数指数时必须化为最简分数，若分子分母存在公因数未约分，会错误判断函数奇偶性与定义域；负分数指数要先转化为根式分式，同时注意。 5.求定点无需已知指数，只需令底数整体等于 1 即可快速求解。 📌归纳总结 画幂函数图象的步骤：优先画出第一象限图象，再根据函数奇偶性判断是否存在第二、三象限图象，奇函数补充第三象限，偶函数补充第二象限，非奇非偶函数仅保留第一象限图象。 💡拓展延伸 1.当时，同一坐标系内多个幂函数图象，指数越大，图象位置越高；当时恰好相反，指数越大图象越低； 2.幂函数图象不会出现在第四象限，因为正数任意次幂结果均为正数； 3.若题目给出幂函数图象不过原点，可直接判定指数，是快速求参数的隐藏条件。 🔷 知识点三 幂函数图象变化规律 1.第一象限图象走势区分 ① 当时，图象从坐标原点开始，呈上升趋势，函数单调递增； ② 当时，图象从左上向右下方递减延伸，曲线无限靠近坐标轴，永远不会和坐标轴相交。 2.凹凸性区分（只针对第一象限图象） ① ，函数图象向上凸起； ② ，函数图象向下凸起； ③ 不讨论凹凸性，曲线平缓向下递减。 3.图象对称补画规则 ① 奇函数：先画出第一、三象限图象； ② 偶函数：先画出第一、二象限图象； ③ 仅在上有定义的幂函数，只保留第一象限内的图象。 4.定义域快速判断技巧（指数化为最简分数形式，互质） ① 指数分母为偶数：对应偶次根式，自变量满足； ② 指数分母为奇数：不存在偶次根式限制，定义域为全体实数； ③ 指数带有负号：等价于分式形式，额外增加约束条件。 ⚠️特别提醒 不能仅凭指数正负直接判断函数在全体实数范围上的单调性，幂函数只在区间内增减规律固定。自变量小于零的区间，单调性需要结合函数奇偶性单独分析。 📌归纳总结 分析幂函数图象步骤：先依靠指数正负判断第一象限增减趋势，再将指数化为最简分数判断定义域与奇偶性，最后根据对称性分象限补全完整图象。 💡拓展延伸 考试识图题目经常考查多个幂函数在第一象限内高低对比，记住结论：当时，指数数值越大，图象位置越高，可以快速排除错误选项。遇到含参数幂函数图象题，可以优先通过图象是否经过原点锁定指数正负。 🔷 知识点四 幂函数比较大小与解幂函数不等式 幂函数比较大小、求解幂函数不等式解题思路： 1.构造统一函数：将待比较数字、不等式两侧式子整理，统一底数或统一指数，构造单一幂函数； 2.判断区间单调性：确定构造的幂函数在自变量取值区间内的增减性； 3.负数自变量转化：借助奇偶性，把负自变量转化为正数区间再比较； 4.定义域优先约束：联立幂函数自带定义域，取交集得到最终解集或大小关系。 ⚠️特别提醒 所有比较大小、解不等式题型，必须先写出定义域，只使用单调性会出现增根、解集范围偏大的错误。 📌归纳总结 解题固定顺序：定义域先行→构造幂函数→利用单调性判断→负数借助奇偶转换→取定义域与不等式解的交集。 💡拓展延伸 底数、指数均不相同的数值比较，采用搭桥法，以 0、1 为分界点分组对比；偶函数不等式可统一写成，简化正负讨论步骤。 易错点 1 误判单调区间，滥用并集符号 错例：将的单调递减区间写成 错因：函数在两个区间内各自单调递减，但跨区间选取数值时，不满足单调递减的定义，不能使用并集符号连接两个区间； 规避方法：两个单调区间分开书写，中间使用汉字 “和” 或者逗号分隔，正确写法：和； 易错点 2 混淆幂函数与指数函数定义 错例：错误认为是幂函数，是指数函数 错因：无法区分变量所在位置，幂函数变量为底数、指数固定；指数函数变量为指数、底数固定； 规避方法：记忆口诀 “幂底变，指数定；指数底定，指数变”，先看变量在底数还是指数位置快速区分； 易错点 3 忽略分数指数自带定义域限制 错例 1：定义域直接写全体实数； 错例 2：定义域包含； 错因：分数指数本质为根式，偶次根式要求被开方数大于等于 0；负指数等价于分式，分母不能等于 0； 规避方法：遇到分数指数先统一转化为根式形式，根据根式、分式限制条件列出不等式，再求解定义域； 易错点 4 判断幂函数忽略系数必须为 1 的要求 错例：直接判定为幂函数 错因：遗忘幂函数标准形式中项前面的系数严格等于 1，非 1 常数系数不符合定义； 规避方法：判断函数是否为幂函数第一步先检查幂项系数，系数不等于 1 直接排除； 易错点 5 解幂函数不等式忘记自带定义域约束 错例：解不等式，直接得出解集，未提前限定； 错因：解题只使用单调性化简不等式，忽略根式自带的自变量取值范围； 规避方法：求解幂函数不等式第一步先写出完整定义域，再利用单调性化简不等式，最终解集取两者交集； 易错点 6 定义域判断出错 错例：定义域写全体实数R 错因：零次幂数学规定底数不能取 0，0 的 0 次幂无意义； 规避方法：定义域为，函数图象为直线挖去这个点； 题型一： 判断函数是否为幂函数 📝方法技巧 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3．（25-26高一上·海南海口·期中）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 5．（25-26高一上·海南三亚·期中）（多选）下列哪些函数是幂函数（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据幂函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，为指数函数，A错误； 对于BD，与均符合（为常数）的形式，即为幂函数，BD正确； 对于C，不符合（为常数）的形式，不是幂函数，C错误. 故选：BD. 题型二：利用幂函数定义求参数 📝方法技巧 1.基础条件：若为标准幂函数，令幂项前面的系数等于 1，解方程求出参数取值； 2.二次筛选：将求出的参数代回原函数解析式，结合题目给出的奇偶性、单调性、过定点、图象不过原点等条件再次筛选，舍去不符合题意的参数； 3.图象特征转化：图象不经过坐标原点等价于幂函数指数。 1．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 2．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 3．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 4．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 5．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 题型三： 求幂函数解析式与函数值 📝方法技巧 1.待定系数法设式：统一设标准幂函数，将函数图象经过的点坐标代入解析式，解方程求出指数； 2，函数值计算：得到完整解析式后，代入自变量计算函数值；若自变量为负数，先判断定义域是否包含负数，无定义则该自变量无对应函数值； 3.指数化简运算：负分数指数统一转化为根式分式形式再计算，简化运算步骤，减少计算失误。 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 2．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 4．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 【答案】 【详解】因为函数为幂函数，所以设， 函数过点，所以， 所以. 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）幂函数过点，则__________. 【答案】 【分析】由题意可得，代入计算即可求解. 【详解】设幂函数， 由题意可得，解得， 所以，. 故答案为：. 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数过点，则______． 【答案】16 【分析】将点代入幂函数解析式求出，从而确定幂函数的解析式，然后再求函数值即可． 【详解】∵幂函数过点， ∴，故， ∴， ∴， 故答案为：16． 题型四：求幂函数定义域 📝方法技巧 1.将幂函数指数化为最简互质分数： ① 分母为偶数：偶次根式限制，自变量； ② 分母为奇数：无根式正负限制，定义域为全体实数； 2.指数带有负号，等价于分母存在自变量，必须附加； 3.复合幂函数：令内层代数式整体满足基础幂函数定义域要求，列出不等式组，取所有不等式的交集作为复合函数定义域。 1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 2．（2025-2026学年高一数学秋季讲义）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【详解】，，即的定义域为. 故选：B. 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出其定义域. 【详解】设，由的图象过点，得，解得， 因此，其定义域为， 所以该幂函数的定义域是. 故答案为： 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型五： 求幂函数值域 📝方法技巧 1.先求定义域：值域依赖自变量取值范围，第一步完整写出函数定义域； 2.结合单调性判断最值：时，若在定义域内，则值域包含数字 0；时，函数取值永远无法等于 0； 3.偶函数简化计算：偶函数图象关于轴对称，只需要分析区间内函数取值范围，再对称写出部分值域。 1．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 2．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 【答案】 【分析】由待定系数法可得，代入计算可得，由幂函数性质可得值域. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以幂函数的解析式为， 所以，值域为. 故答案为：；. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）函数在上的值域为______． 【答案】 【详解】函数，故函数的定义域为， 根据函数的性质可知，当时，， 又函数在上单调递增，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减， 又当时，；当时，， 故函数在上的值域为. 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程可求出的两个可能取值，根据图象可排除一个，得到的解析式，进而可写出其值域； （2）根据的解析式可得到的表达式，结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. （2）由（1）知， 由得. 所以. 题型六：幂函数图象判断与定点问题 📝方法技巧 1.第一象限图象快速判断：指数，图象从左下向右上上升；指数，图象从左上向右下下降；当时，指数数值越大，对应图象位置越高； 2.奇偶性补全图象：奇函数图象关于原点对称，画出第一象限后对称补全第三象限；偶函数图象关于轴对称，画出第一象限后对称补全第二象限；非奇非偶函数仅保留第一象限图象； 3.定点通用解法：标准幂函数令，，恒过；复合幂函数令内层代数式整体等于 1，解出横坐标，再代入求纵坐标，得到定点。 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 2．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 3．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 4．（25-26高一上·陕西·阶段检测）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据条件求得点的坐标，代入函数中，再根据运算公式计算判断各个选项. 【详解】，点，， ，，将两点坐标分别代入，，得，， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 5．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 6．（25-26高一上·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 题型七： 判断幂函数、复合幂函数单调性 📝方法技巧 1.基础幂函数单调性判定：在区间内，指数函数单调递增，指数函数单调递减； 2.复合幂函数单调性：遵循复合函数 “同增异减” 法则，先写出完整定义域，再分层分析内层函数、外层幂函数增减性； 区间书写规范：分段单调的区间禁止使用并集符号连接，区间之间用逗号或者汉字 “和” 分隔。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误， 对于B，易知函数是上的偶函数，所以B错误， 对于C，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递减，所以C错误， 对于D，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递增，所以D正确. 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质判断A、C，根据奇偶性的定义判断B，举反例说明D. 【详解】对于A：函数为奇函数，在，上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，且， 所以为偶函数，故B错误； 对于C：为奇函数且在定义域上单调递增，故C正确； 对于D：定义域为，且， 所以为奇函数，但是， 所以在定义域上必不单调递增，故D错误. 故选：C 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 5．（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 6．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 题型八：由幂函数单调性求参数范围 📝方法技巧 1.第一象限增减对应指数：第一象限单调递增则指数，单调递减则指数； 2.复合含参幂函数：分层讨论内层代数式、外层幂函数的增减性，联立定义域自带约束条件； 3.结果验证：解出指数不等式得到参数范围后，代回原式验证定义域、奇偶性等附加条件，剔除不符合题意的参数区间。 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 3．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 4．（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】D 【详解】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 5．（25-26高一上·河北衡水·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求解. 【详解】由幂函数在上单调递增， 得且， 所以. 故选：C 6．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据幂函数定义求出m的值，再根据单调性确定m的值即可． 【详解】对于函数，要使其为幂函数，必须满足， 解得或，当时，，满足在上单调递增； 当时，，此时函数在上单调递减，不符合题意；所以m的值为3． 故选：C． 题型九：利用幂函数单调性比较大小 📝方法技巧 1.同指数数字比较：构造对应幂函数，根据幂函数单调性，直接比较底数大小； 2.同底数数字比较：构造指数函数辅助判断数值大小； 3.底数、指数均不相同：搭桥法，将数字与 0、1 对比分组，划分正负、大于 1、小于 1 三类间接比较； 4.含负数自变量：借助函数奇偶性，将负数自变量转化为正数区间内的自变量，再利用单调性比较。 1．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为在上单调递增， 由可得，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B正确； 对于C，若，则， ，当且仅当， 即时取等，故C错误； 对于D，若， 则， 当且仅当时取等，即时取等，故D正确. 4．（25-26高一上·浙江温州·期中）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】取特值说明ABC的存在性，对于D证明其不成立. 【详解】对于A：时，，故A正确； 对于B：时，，故B正确； 对于C：时，，故C正确 对于D：若成立，则由且且，解得且，显然不存在实数满足，故D不正确. 故选：ABC 5．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 6．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 题型十： 幂函数奇偶、单调性综合 📝方法技巧 1.奇偶性等价转换：偶函数满足，可直接将不等式内自变量统一写为绝对值形式；奇函数满足，可消去自变量负号； 2.不等式标准化：将不等式统一整理为或形式，保证落在同一个单调区间内，再脱去函数符号； 3.定义域全程约束：每一步变形都不能忽略函数定义域，最终解集必须是不等式解与定义域的交集。 多条件综合题分步求解：第一步利用定义、定点求出幂函数解析式，第二步结合单调性、奇偶性、值域等条件分步求解问题。 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【详解】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高一上·上海松江·期末）已知，函数在上严格递增，其图像不过坐标原点，则______． 【答案】 【分析】利用图像不过坐标原点排除掉非负数，根据所给值结合幂函数单调性和奇偶性可得答案. 【详解】当 时，函数的图像过坐标原点，不合题意； 当 时， 在上是常函数，不满足严格递增，不合题意.故 . 当时，定义域为，不合题意； 当时，定义域为， 因为，所以在为减函数， 因为为奇函数，所以在也为减函数，不合题意； 当时，定义域为， 因为，所以在为减函数， 因为为偶函数，所以在为增函数，符合题意； 故答案为： 6．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用单调性，求解不等式. 【详解】（1）由得或． 因为幂函数为奇函数， 所以． （2）由（1）知函数，所以在上单调递增， 由得，即 当时，，解得； 当时，解得； 当时，解得． 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.3幂函数 🔷知识点一 幂函数的概念 1．幂函数定义:一般地，形如 的函数称为幂函数， 是自变量， 为常数。 2.幂函数的特征: ① 自变量单独作为底数； ② 项的系数必须为； ③ 解析式只有单一幂项，无常数、无其他加减项。 ⚠️特别提醒 均不是幂函数。 📌归纳总结 判断幂函数先化简为标准形式，系数、底数、项数三项全部符合才成立。 💡拓展延伸 1.常数函数可写作，仅在时符合幂函数形式，处无定义，因此完整不是幂函数； 2.若解析式带有根号、分式，要先转化为分数指数幂再判定，例如是幂函数，是幂函数； 3.题目给出含参函数为幂函数时，优先令幂项系数等于 1，再结合定义域、奇偶性、单调性筛选参数。 🔷 知识点二 幂函数图象与性质 1. 常用幂函数图像 在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边． 2.幂函数的性质 幂函数 定义域 值域 单调性 上为增函数 单调递增， 单调递减 上为增函数 在上为增函数 时单调递减， 时单调递减 定点 3.幂函数整体图象与性质 (1)定义域共性:所有幂函数在区间内一定有定义，在第一象限一定存在图象;所有幂函数图象必然经过定点； (2)当（指数为正数）时： 图象穿过坐标原点，在区间上整体单调递增； ① ：第一象限内函数图象向上凸起，增长速度越来越平缓； ② ：第一象限内函数图象向下凸起，增长速度越来越快； (3)当（指数为负数）时： 图象不经过坐标原点，在区间上单调递减，函数图象会无限靠近轴、轴，但永远不会与坐标轴相交； (4)分数指数奇偶判定拓展（统一将指数化为最简分数，为互质整数） ①分母为偶数：偶次根式限制被开方数非负，定义域仅为，函数非奇非偶； ②分母为奇数、分子为奇数：定义域包含全体实数，函数为奇函数，图象关于坐标原点中心对称； ③分母为奇数、分子为偶数：定义域包含全体实数，函数为偶函数，图象关于轴对称； 💡拓展延伸 幂函数定点规律: 1.定点：任意标准幂函数恒过定点，原因是 1 的任意次幂恒等于 1； 2.原点定点：时，，图象还经过；时，无意义，不经过原点； 3.平移型幂函数：令，得，恒过定点； 4.复合幂函数：令内层，解出后代入函数求，即可得到复合函数定点。 ⚠️特别提醒 1.的递减区间不能合并书写，两个区间增减性无法跨区间成立； 2.定义域不含负数，不存在关于原点或轴对称的条件，无奇偶性； 3.五个常用幂函数全部经过定点，指数大于 0 的函数还经过坐标原点。 4.化简分数指数时必须化为最简分数，若分子分母存在公因数未约分，会错误判断函数奇偶性与定义域；负分数指数要先转化为根式分式，同时注意。 5.求定点无需已知指数，只需令底数整体等于 1 即可快速求解。 📌归纳总结 画幂函数图象的步骤：优先画出第一象限图象，再根据函数奇偶性判断是否存在第二、三象限图象，奇函数补充第三象限，偶函数补充第二象限，非奇非偶函数仅保留第一象限图象。 💡拓展延伸 1.当时，同一坐标系内多个幂函数图象，指数越大，图象位置越高；当时恰好相反，指数越大图象越低； 2.幂函数图象不会出现在第四象限，因为正数任意次幂结果均为正数； 3.若题目给出幂函数图象不过原点，可直接判定指数，是快速求参数的隐藏条件。 🔷 知识点三 幂函数图象变化规律 1.第一象限图象走势区分 ① 当时，图象从坐标原点开始，呈上升趋势，函数单调递增； ② 当时，图象从左上向右下方递减延伸，曲线无限靠近坐标轴，永远不会和坐标轴相交。 2.凹凸性区分（只针对第一象限图象） ① ，函数图象向上凸起； ② ，函数图象向下凸起； ③ 不讨论凹凸性，曲线平缓向下递减。 3.图象对称补画规则 ① 奇函数：先画出第一、三象限图象； ② 偶函数：先画出第一、二象限图象； ③ 仅在上有定义的幂函数，只保留第一象限内的图象。 4.定义域快速判断技巧（指数化为最简分数形式，互质） ① 指数分母为偶数：对应偶次根式，自变量满足； ② 指数分母为奇数：不存在偶次根式限制，定义域为全体实数； ③ 指数带有负号：等价于分式形式，额外增加约束条件。 ⚠️特别提醒 不能仅凭指数正负直接判断函数在全体实数范围上的单调性，幂函数只在区间内增减规律固定。自变量小于零的区间，单调性需要结合函数奇偶性单独分析。 📌归纳总结 分析幂函数图象步骤：先依靠指数正负判断第一象限增减趋势，再将指数化为最简分数判断定义域与奇偶性，最后根据对称性分象限补全完整图象。 💡拓展延伸 考试识图题目经常考查多个幂函数在第一象限内高低对比，记住结论：当时，指数数值越大，图象位置越高，可以快速排除错误选项。遇到含参数幂函数图象题，可以优先通过图象是否经过原点锁定指数正负。 🔷 知识点四 幂函数比较大小与解幂函数不等式 幂函数比较大小、求解幂函数不等式解题思路： 1.构造统一函数：将待比较数字、不等式两侧式子整理，统一底数或统一指数，构造单一幂函数； 2.判断区间单调性：确定构造的幂函数在自变量取值区间内的增减性； 3.负数自变量转化：借助奇偶性，把负自变量转化为正数区间再比较； 4.定义域优先约束：联立幂函数自带定义域，取交集得到最终解集或大小关系。 ⚠️特别提醒 所有比较大小、解不等式题型，必须先写出定义域，只使用单调性会出现增根、解集范围偏大的错误。 📌归纳总结 解题固定顺序：定义域先行→构造幂函数→利用单调性判断→负数借助奇偶转换→取定义域与不等式解的交集。 💡拓展延伸 底数、指数均不相同的数值比较，采用搭桥法，以 0、1 为分界点分组对比；偶函数不等式可统一写成，简化正负讨论步骤。 易错点 1 误判单调区间，滥用并集符号 错例：将的单调递减区间写成 错因：函数在两个区间内各自单调递减，但跨区间选取数值时，不满足单调递减的定义，不能使用并集符号连接两个区间； 规避方法：两个单调区间分开书写，中间使用汉字 “和” 或者逗号分隔，正确写法：和； 易错点 2 混淆幂函数与指数函数定义 错例：错误认为是幂函数，是指数函数 错因：无法区分变量所在位置，幂函数变量为底数、指数固定；指数函数变量为指数、底数固定； 规避方法：记忆口诀 “幂底变，指数定；指数底定，指数变”，先看变量在底数还是指数位置快速区分； 易错点 3 忽略分数指数自带定义域限制 错例 1：定义域直接写全体实数； 错例 2：定义域包含； 错因：分数指数本质为根式，偶次根式要求被开方数大于等于 0；负指数等价于分式，分母不能等于 0； 规避方法：遇到分数指数先统一转化为根式形式，根据根式、分式限制条件列出不等式，再求解定义域； 易错点 4 判断幂函数忽略系数必须为 1 的要求 错例：直接判定为幂函数 错因：遗忘幂函数标准形式中项前面的系数严格等于 1，非 1 常数系数不符合定义； 规避方法：判断函数是否为幂函数第一步先检查幂项系数，系数不等于 1 直接排除； 易错点 5 解幂函数不等式忘记自带定义域约束 错例：解不等式，直接得出解集，未提前限定； 错因：解题只使用单调性化简不等式，忽略根式自带的自变量取值范围； 规避方法：求解幂函数不等式第一步先写出完整定义域，再利用单调性化简不等式，最终解集取两者交集； 易错点 6 定义域判断出错 错例：定义域写全体实数R 错因：零次幂数学规定底数不能取 0，0 的 0 次幂无意义； 规避方法：定义域为，函数图象为直线挖去这个点； 题型一： 判断函数是否为幂函数 📝方法技巧 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 1．（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·海南海口·期中）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·海南三亚·期中）（多选）下列哪些函数是幂函数（ ） A． B． C． D． 题型二：利用幂函数定义求参数 📝方法技巧 1.基础条件：若为标准幂函数，令幂项前面的系数等于 1，解方程求出参数取值； 2.二次筛选：将求出的参数代回原函数解析式，结合题目给出的奇偶性、单调性、过定点、图象不过原点等条件再次筛选，舍去不符合题意的参数； 3.图象特征转化：图象不经过坐标原点等价于幂函数指数。 1．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 2．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 3．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 4．（25-26高一下·云南玉溪·期末）幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 5．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 题型三： 求幂函数解析式与函数值 📝方法技巧 1.待定系数法设式：统一设标准幂函数，将函数图象经过的点坐标代入解析式，解方程求出指数； 2，函数值计算：得到完整解析式后，代入自变量计算函数值；若自变量为负数，先判断定义域是否包含负数，无定义则该自变量无对应函数值； 3.指数化简运算：负分数指数统一转化为根式分式形式再计算，简化运算步骤，减少计算失误。 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 2．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 3．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 4．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知幂函数的图象过点，则__________． 5．（25-26高一上·贵州遵义·期末）幂函数过点，则__________. 6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数过点，则______． 题型四：求幂函数定义域 📝方法技巧 1.将幂函数指数化为最简互质分数： ① 分母为偶数：偶次根式限制，自变量； ② 分母为奇数：无根式正负限制，定义域为全体实数； 2.指数带有负号，等价于分母存在自变量，必须附加； 3.复合幂函数：令内层代数式整体满足基础幂函数定义域要求，列出不等式组，取所有不等式的交集作为复合函数定义域。 1.（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2025-2026学年高一数学秋季讲义）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则该幂函数的定义域是___________. 5．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型五： 求幂函数值域 📝方法技巧 1.先求定义域：值域依赖自变量取值范围，第一步完整写出函数定义域； 2.结合单调性判断最值：时，若在定义域内，则值域包含数字 0；时，函数取值永远无法等于 0； 3.偶函数简化计算：偶函数图象关于轴对称，只需要分析区间内函数取值范围，再对称写出部分值域。 1．（25-26高三上·上海·期中）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 2．（25-26高一上·北京大兴·期中）已知幂函数的图象过点，则______；的值域是______. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）函数在上的值域为______． 4．（25-26高一上·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 题型六：幂函数图象判断与定点问题 📝方法技巧 1.第一象限图象快速判断：指数，图象从左下向右上上升；指数，图象从左上向右下下降；当时，指数数值越大，对应图象位置越高； 2.奇偶性补全图象：奇函数图象关于原点对称，画出第一象限后对称补全第三象限；偶函数图象关于轴对称，画出第一象限后对称补全第二象限；非奇非偶函数仅保留第一象限图象； 3.定点通用解法：标准幂函数令，，恒过；复合幂函数令内层代数式整体等于 1，解出横坐标，再代入求纵坐标，得到定点。 1．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西·阶段检测）幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽安庆·期中）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为_____． 题型七： 判断幂函数、复合幂函数单调性 📝方法技巧 1.基础幂函数单调性判定：在区间内，指数函数单调递增，指数函数单调递减； 2.复合幂函数单调性：遵循复合函数 “同增异减” 法则，先写出完整定义域，再分层分析内层函数、外层幂函数增减性； 区间书写规范：分段单调的区间禁止使用并集符号连接，区间之间用逗号或者汉字 “和” 分隔。 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川眉山·期末）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 6．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 题型八：由幂函数单调性求参数范围 📝方法技巧 1.第一象限增减对应指数：第一象限单调递增则指数，单调递减则指数； 2.复合含参幂函数：分层讨论内层代数式、外层幂函数的增减性，联立定义域自带约束条件； 3.结果验证：解出指数不等式得到参数范围后，代回原式验证定义域、奇偶性等附加条件，剔除不符合题意的参数区间。 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 2．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26高一下·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 4．（25-26高一上·安徽淮北·期末）幂函数在单调递减，则（    ） A． B． C．3 D．-3 5．（25-26高一上·河北衡水·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B． C．3 D． 6．（25-26高一上·安徽黄山·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 题型九：利用幂函数单调性比较大小 📝方法技巧 1.同指数数字比较：构造对应幂函数，根据幂函数单调性，直接比较底数大小； 2.同底数数字比较：构造指数函数辅助判断数值大小； 3.底数、指数均不相同：搭桥法，将数字与 0、1 对比分组，划分正负、大于 1、小于 1 三类间接比较； 4.含负数自变量：借助函数奇偶性，将负数自变量转化为正数区间内的自变量，再利用单调性比较。 1．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列判断正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．（25-26高一上·浙江温州·期中）设，则的大小关系可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 6．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 题型十： 幂函数奇偶、单调性综合 📝方法技巧 1.奇偶性等价转换：偶函数满足，可直接将不等式内自变量统一写为绝对值形式；奇函数满足，可消去自变量负号； 2.不等式标准化：将不等式统一整理为或形式，保证落在同一个单调区间内，再脱去函数符号； 3.定义域全程约束：每一步变形都不能忽略函数定义域，最终解集必须是不等式解与定义域的交集。 多条件综合题分步求解：第一步利用定义、定点求出幂函数解析式，第二步结合单调性、奇偶性、值域等条件分步求解问题。 1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 5．（25-26高一上·上海松江·期末）已知，函数在上严格递增，其图像不过坐标原点，则______． 6．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $