3.4 函数的应用讲义（一）【知识清单+6大题型】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的应用，系统梳理一次、二次、分段、幂函数等常见模型及对勾函数的概念、解析式与性质，构建从基础函数模型到实际应用问题的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料以现实情境例题（如通话套餐、电费计算）培养数学眼光，通过求函数关系、最值等多样化题型提升数学思维，课后检测巩固应用能力。课中辅助教师引导学生建模，课后帮助学生查漏补缺，强化用数学语言解决实际问题的能力。

3.4 函数的应用（一） 第一部分：知识清单 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对勾函数 1、对勾函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 第二部分：典型例题汇总 典例一 一次函数模型的应用 典例二 二次函数模型的应用 典例三 分段函数模型的应用 典例四 幂函数模型的应用 典例五 利用对勾函数求最值或值域 典例六 利用对勾函数解决恒成立（能成立）问题 第三部分：典型例题 典例一 一次函数模型的应用 1．（2026高三·广东·学业考试）某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择： 套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费； 套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，则按照0.2元/分钟计算话费. (1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系. (2)如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算？ 2．（25-26高一·全国·课后作业）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算． （1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式； （2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？ （3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表： 月份 1月 2月 3月 合计 交费金额（元） 76 63 45.6 184.6 则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时？ 3．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中一种：第一种是计时制，元/分；第二种是包月制，元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通讯费元/分. （1）若小明家一个月上网的时间为小时，用含的代数式分别表示出两种收费方式下，小明家一个月应该支付的费用； （2）若小明估计自家一个月内上网的时间为小时，你认为他家采用哪种方式较为合算？ 4．（25-26高一上·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 典例二 二次函数模型的应用 5．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 7．（25-26高一·全国·专题训练）经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 8．（25-26高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 典例三 分段函数模型的应用 9．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 10．（26-27高三·全国·一轮复习）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 12．（25-26高一上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 典例四 幂函数模型的应用 13．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 14．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 典例五 利用对勾函数求最值或值域 17．（25-26高一上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18．（25-26高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：（，a为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（注：4小时内意思是小于或等于4小时）． (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高？并求出最大值； (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数a的取值范围． 20．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为. (1)该时段内当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（以上两小题结果均四舍五入到个位） 典例六 利用对勾函数解决恒成立（能成立）问题 21．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·浙江衢州·期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________. 23．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知函数.若不等式对一切恒成立，则实数a的最小值为________；若的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是________. 24．（25-26高一·全国·专题训练）已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________． 第四部分：课后检测 1．（2026高三·全国·专题练习）某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三上·山东济南·专题练习）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 5．（25-26高一·全国·专题训练）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国·专题训练）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 7．（25-26高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 11．（25-26高一下·云南·阶段检测）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为__________. 12．（25-26高一上·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；_____ 13．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________. 14．（25-26高一下·浙江湖州·期中）已知函数f（x）＝x2-ax＋3． （1）当x∈[0，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． （2）设，若对任意的， 任意的，总使 f(成立，求a的取值范围． 15．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）根据市场调查，某种商品在过去30天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且销售量近似满足.前10天价格为，后20天价格为 (1)试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系式； (2)试确定的值，使该商品的日销售额最大，并求出最大值. 16．（25-26高一上·广东江门·期末）为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工业园区污水先排入净化池.然后加入净化剂进行净化处理．根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系如下：当时，；当时，.若多次加入净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克／立方米）时，它才能起到有效净化污水的作用. (1)若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几小时？ (2)若第一次投放2个单位的净化剂，6小时后再投放个单位的净化剂，设从第二次投放起，经小时后污水中净化剂浓度为（毫克／立方米），其中. （i）求的解析式： （ii）要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，试求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 函数的应用（一） 第一部分：知识清单 知识点一：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点二：对勾函数 1、对勾函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 第二部分：典型例题汇总 典例一 一次函数模型的应用 典例二 二次函数模型的应用 典例三 分段函数模型的应用 典例四 幂函数模型的应用 典例五 利用对勾函数求最值或值域 典例六 利用对勾函数解决恒成立（能成立）问题 第三部分：典型例题 典例一 一次函数模型的应用 1．（2026高三·广东·学业考试）某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择： 套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费； 套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，则按照0.2元/分钟计算话费. (1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系. (2)如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算？ 【答案】(1) (2)他选择套餐二会更划算 【分析】（1）根据题意直接进行求解即可； （2）运用代入法进行求解判断即可. 【详解】（1）设通话时长为（分） 设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系， 由题意可知：； 设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系， 由题意可知：； （2）如果某用户用套餐一，当用户月通话时长为200分钟， 他的话费为元； 如果某用户用套餐二，当用户月通话时长为200分钟， 他的话费为元， 显然，因此他选择套餐二会更划算. 2．（25-26高一·全国·课后作业）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费．当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算． （1）设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式； （2）若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？ （3）若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表： 月份 1月 2月 3月 合计 交费金额（元） 76 63 45.6 184.6 则这个家庭第一季度共用电多少千瓦时？ 【答案】（1）；（2）67元；（3）第一季度共用电330千瓦时. 【解析】（1）根据“阶梯电价”方法计算电价，可得分段函数； （2）由代入，可得结论； （3）分别计算3个月用电，可得结论． 【详解】解：（1）由题意得，当时，； 当时，． 所以关于的函数关系式为． （2）已知，结合（1）得，即应交电费67元． （3）1月用电：因为，所以，由得； 2月用电：因为，所以，由得； 3月用电：因为，所以，由得． 所以（千瓦时），即第一季度共用电330千瓦时 【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数，确定函数解析式是关键． 3．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中一种：第一种是计时制，元/分；第二种是包月制，元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通讯费元/分. （1）若小明家一个月上网的时间为小时，用含的代数式分别表示出两种收费方式下，小明家一个月应该支付的费用； （2）若小明估计自家一个月内上网的时间为小时，你认为他家采用哪种方式较为合算？ 【答案】（1）采用计时制应付的费用为：元，采用包月制应付的费用为：元；（2）采用包月制合算. 【解析】（1）采用计时制根据元/分和加收通讯费元/分求解； 采用包月制根据元/月和加收通讯费元/分求解. （2）由（1）建立的函数模型，将小代入求值比较即可. 【详解】（1）采用计时制应付的费用为：元， 采用包月制应付的费用为：元. （2）若一个月内上网的时间为小时， 则计时制应付的费用为（元） 包月制应付的费用为（元） ， 采用包月制合算. 【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，还考查了建模和解模的能力，属于基础题. 4．（25-26高一上·安徽·期中）刘先生购买了一部手机，欲使用某通讯网络最近推出的全年免流量费用的套餐，经调查收费标准如下表： 套餐 月租 本地话费 长途话费 套餐甲 12元 0.3元/分钟 0.6元/分钟 套餐乙 无 0.5元/分钟 0.8元/分钟 刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍（手机双向收费，接打话费相同）． (1)设刘先生每月通话时间为x分钟，求使用套餐甲所需话费的函数及使用套餐乙所需话费的函数； (2)请你根据刘先生每月通话时间为刘先生选择较为省钱的套餐． 【答案】(1)，； (2) 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 【分析】（1）由题可知他每月接打本地电话时间为，接打长途，结合条件即得； （2）利用作差法，然后分类讨论即得. 【详解】（1）因为刘先生每月接打本地电话时间是长途电话的5倍， 所以他每月接打本地电话时间为，接打长途． 若选择套餐甲，则月租12元，本地话费，长途话费， 则； 若选择套餐乙，则月租0元，本地话费，长途话费， 则． （2）∵， 当时，即时，，此时应选择套餐乙省钱； 当时，即时，，此时应选择套餐甲省钱； 当时，即时，，此时甲乙两种套餐话费一样． 典例二 二次函数模型的应用 5．（2026高三·全国·专题练习）某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为128000立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水容量与天数的关系是立方米，设水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开水闸． (1)写出第n天水库的水量与天数n之间的函数关系式； (2)在10天中，堤坝会发生危险吗？若会，计算第几天发生危险；若不会，说明理由（水库的水量超过它的最大容水量，堤坝就会发生危险）． 【答案】(1) (2)会，第9天发生危险 【分析】（1）根据“第天水库水量 = 原有水量 + 天累计注入水量 - 天累计泄出水量”的关系，代入题目已知参数整理，即可得到与的函数关系式. （2）令大于水库最大容水量128000得到不等式，解不等式后结合的限制条件，即可判断堤坝是否会发生危险并得到对应结果. 【详解】（1）前n天注入水库的总水量为立方米，并泄水立方米， 所以第n天水库的容水量将达到． （2）设第R天水库的水量超过它的最大容水量，即，即． 化简可得，， 两边平方并整理可得：，即，即第9天发生危险． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 7．（25-26高一·全国·专题训练）经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. (1)已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数的取值范围. 【答案】(1)百元 (2) 【分析】（1）比较与的大小后可确定销售量，即可计算得到该月的销售额； （2）均衡价格即为时的价格，设，因为该商品均衡价格不低于每吨6百元，并且每吨的价格为百元，结合函数单调性，故有，，解不等式即得. 【详解】（1）若时，， ，由可得， 所以该月销售额为：（百元）； （2）设， 因为，所以在区间上是增函数， 若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，即函数在区间上有零点， 所以，即，解得. 8．（25-26高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到）. 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，然后根据题意求解析式即可； （2）分别求出D在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值. 【详解】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴， 建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 当时，，令， 得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值， 因为，所以无最大值， 所以当时，S取得最大值，最大值为. 典例三 分段函数模型的应用 9．（2026高三·全国·专题练习）某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）． (1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？ 【答案】(1) (2)475台 (3)产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本 【详解】（1）当时，产品能售出x百台；当时，只能售出5百台，故利润函数为 （2）当时，， 当时，（万元）； 当时，为减函数，所以； ∴生产475台时利润最大． （3）由或得． 因为 ∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元. 【答案】1000 【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值. 【详解】由题意得，销售收入为万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润. 所以利润 因为当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，，当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 11．（25-26高一下·山东潍坊·期中）某公司生产新型电子产品，年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元），已知当年产量不超过10万台时，；当年产量超过10万台时，. (1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式 (2)求年产量为多少万台时，能使该公司年利润达到最大.（注：利润=销售收入-成本） 【答案】(1) (2)19万台 【分析】（1）根据利润=销售收入-成本写出年利润关于年产量的函数解析式. （2）分类讨论在和这两个区间上的最大值，然后比较大小，得出公司年利润的最大值. 【详解】（1）. （2）当时，，当时，. 当时， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 又，故年产量为万台时，公司年利润最大，最大利润为万元. 12．（25-26高一上·福建厦门·期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为15000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入满足函数： ，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（利润＝总收入－总成本） 【答案】(1) (2)每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30 000元． 【分析】（1）根据利润＝总收入－总成本分段代入求解即可. （2）结合二次函数及一次函数的最值求解即可. 【详解】（1）因为月产量为台，则总成本为， 所以当时，， 当时，， 综上，. （2）当时，. 所以当时，取得最大值，最大值为30000； 当时，是减函数， 所以. 综上，当时，的最大值为30000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为30000元． 典例四 幂函数模型的应用 13．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 14．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 15．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. (1)分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【详解】（1）由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． （2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 典例五 利用对勾函数求最值或值域 17．（25-26高一上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260万元（含研发､服务器部署等），每生产千个算法服务包，需另投入成本万元，且已知每个算法服务包的售价为0.6万元，假设年内生产的服务包当年能全部销售完. (1)试写出2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式； (2)当2026年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可； （2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知： . 当时， ； 当时， ， 所以2026年利润（万元）关于年产量（千个）的函数解析式： （2）当时， ， 当时，函数有最大值； 当时， ， 当且仅当时取等号，即有， 所以当时，函数有最大值， 综上所述：2026年产量为千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为万元. 18．（25-26高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 19．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：（，a为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：．现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．（注：4小时内意思是小于或等于4小时）． (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高？并求出最大值； (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时浓度最高，达到. (2) 【分析】（1）求得，进而得小白鼠血液中药物的浓度，根据二次函数的性质与基本不等式求出最大值； （2）由题意，分段讨论，根据函数的单调性及二次函数的性质求解. 【详解】（1）时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. （2）由题意可知，. 因为， 所以当时，可得恒成立，即， 在时单调递减，则， 所以； 当时，可得恒成立，即， 因为， 所以则当，即时，，所以. 又，综上可得. 20．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y（千辆/时）与汽车的平均速度v（千米/时）之间的函数关系为. (1)该时段内当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（以上两小题结果均四舍五入到个位） 【答案】(1)当汽车的平均速度为30（千米/时）时，车流量最大，最大车流量为11（千辆/时）. (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式，在和内，根据一次函数的性质和对勾函数的性质分别求出车流量的最大值，然后进行比较即可. （2）根据分段函数的解析式，求出每段函数值大于9的的范围，最后求并集即可. 【详解】（1）当时，，为单调递增函数， 此时当汽车的平均速度为25（千米/时）时，车流量最大，最大值为（千辆/时）. 当时，； 因为函数在上单调递减， 时，取得最大值，最大值为. 综上所述，该时段内当汽车的平均速度为30（千米/时）时，车流量最大，最大车流量为11（千辆/时）. （2）当时，令，解得，即， 此时汽车的平均速度的范围是； 当时，令， 因为， 所以不等式变形为，解得，即. 综上所述，若要求该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在范围. 典例六 利用对勾函数解决恒成立（能成立）问题 21．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化条件为对于任意恒成立，进而可得的最大值与最小值的差小于2，结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减， 则，解得，不合题意； 当时，在上单调递增， 则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，. 故选：D. 22．（25-26高一上·浙江衢州·期中）已知函数对一切恒成立，则实数m的取值范围___________. 【答案】 【分析】根据题意转化为不等式对一切恒成立，结合函数在单调性和最小值，即可求解. 【详解】由题意，函数对一切恒成立， 即不等式对一切恒成立， 因为函数在为单调递减函数，所以， 所以，即实数m的取值范围. 故答案为：. 23．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知函数.若不等式对一切恒成立，则实数a的最小值为________；若的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是________. 【答案】 . 【分析】采用参变分离思想求解当对一切恒成立时的最小值；若的一个根大于，另一根小于，则只需. 【详解】①若对一切恒成立， 即为对一切恒成立， 设，， 则(当且仅当时等号成立)， 所以，即， 所以a的最小值为; ②若的一个根比大，另一个根比小， 则，即; 故答案为: ，. 【点睛】本题考查二次不等式的恒成立问题，考查二次方程根的分布问题，较容易.解答时抓住二次方程、二次函数及一元二次不等式之间的联系. 24．（25-26高一·全国·专题训练）已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意，当时，恒成立，等价于当时，恒成立，进一步等价于，求出最大值即可求解． 【详解】由题意，当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 进一步等价于，等价于， 设，， 由勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，当时， ， ， 故答案为：． 第四部分：课后检测 1．（2026高三·全国·专题练习）某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】利用奖励规则，先拆分元，现金得券，依次循环消费逐步计算出每次奖励券，再对奖励券求和即可. 【详解】这位顾客花的元可得奖励券（元），只有这位顾客继续把奖励券全部消费掉，他才能得到最多优惠，但当他把（元）奖励券消费掉可得到（元）奖励券，元奖励券又可得到（元）奖励券，元再加上先前的中的元共消费元应得奖励券（元），元奖励券消费时又得元奖励券，所以他总共会得到（元）优惠． 2．（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定： （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 4．（2026高三上·山东济南·专题练习）某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是，.若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【分析】设产量为（台），则销售收入为万元，总成本为，解不等式结合即可求解. 【详解】设产量为（台），则销售收入为万元， 总成本为， 由题意可知：若生产者不亏本则，即， 整理可得：即， 解得：或（舍）， 因为，所以， 所以生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是台， 故选：C. 5．（25-26高一·全国·专题训练）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数模型的应用，分两种情况讨论， 分别代入分段函数求解t， 判断t是否在对应区间， 得出结果后分析选项. 【详解】由题意知： 当时，水温公式为， 令，解得； 当时，水温公式为， 令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为． 故选：D. 6．（25-26高一·全国·专题训练）某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（     ） A．11 B．8 C．12 D．10 【答案】C 【分析】根据实际问题建立函数关系式，再利用一元二次不等式解出范围，根据变量的取值范围即可得答案. 【详解】设该楼房每平方米的平均综合费用为元， 则，即， 则，解得． 因为，所以该楼房最多建12层． 故选：C. 7．（25-26高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 8．（25-26高二下·山西运城·期末）命题p：幂函数在上单调递减.命题q：当时，恒成立.若p，q均为真命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性及基本不等式求出命题p，q，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】命题p：幂函数在上单调递减， 则，即； 命题q：当时，恒成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立，则. 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 9．（25-26高一上·贵州遵义·期中）（多选）为了增强团队凝聚力，某公司组织员工去旅游．若参加旅游的人数不超过20，则旅游费用为每人220元；若参加旅游的人数超过20，但不超过48，则旅游费用为每人200元；若参加旅游的人数超过48，则旅游费用为每人180元．若此次旅游的总费用为9000元，则该公司参加此次旅游的员工人数可能是（   ） A．42 B．45 C．50 D．54 【答案】BC 【分析】根据题意，列出符合要求的分段函数，结合总费用，求出旅游的人数. 【详解】设此次参加旅游的人数为， 由题意可知此次旅游的总费用 当，，不符合题意； 当，令，解得，符合题意； 当时，令，解得，符合题意． 综上，此次参加旅游的人数是45或50． 故选：BC 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放（，且）个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克／升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克／升）时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（   ） A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度5克／升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得，当时代入函数解析式即可判断；对于B，分两种情况求解即可；对于C，当时，由基本不等式即可求解；对于D，因为，结合函数解析式利用不等式即可求解最小值，判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当10时，，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当时， ， 当时，，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以有最小值， 所以接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确. 故选：. 11．（25-26高一下·云南·阶段检测）某商店销售两款商品，利润（单位：元）分别为和，其中为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为__________. 【答案】170 【分析】设该商店销售商品袋，则商品袋，根据题意求得利润的函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】设该商店销售商品袋，则商品袋， 所以可获得的利润， ，当或10时，利润最大，最大利润为170元. 故答案为：170. 12．（25-26高一上·北京·期中）国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；_____ 【答案】 【分析】根据题意，函数是分段函数，分段求出关系式，再写成分段函数的形式即得. 【详解】由题意，当时，；当时，. 则机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式为：. 故答案为：. 13．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________. 【答案】 【分析】解法1：不等式配方变形为在上恒成立，讨论的取值，使不等式恒成立，即可求的取值； 解法2：采用参变分离的方法，转化为在上恒成立，转化为求函数最值问题. 【详解】要使在上恒成立，即在上恒成立，有以下两种解法： 解法1：令，． 当时，在上单调递增，所以，即， 所以，所以；当时，恒成立；当时，在上单调递减，所以，即，所以，所以. 综上所述，m的取值范围是. 解法2：因为，又因为在上恒成立，所以在上恒成立．令，因为函数在上的最小值为，所以只需即可．所以的取值范围是. 故答案为： 14．（25-26高一下·浙江湖州·期中）已知函数f（x）＝x2-ax＋3． （1）当x∈[0，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围． （2）设，若对任意的， 任意的，总使 f(成立，求a的取值范围． 【答案】（1）; （2） 【分析】（1）先分离变量，再将恒成立问题转化为求双勾函数的最小值问题. （2）先求,的最大值，再转化成，恒成立， 再分离变量，再将恒成立问题转化为求双勾函数的最小值问题. 【详解】（1）由时，恒成立，得，恒成立， 得恒成立，令 ，则， 得，恒成立， 当时，，得. （2）由题在递增，在递减，故当时，； 则由题可转化为，恒成立，即恒成立， 得,恒成立，又当时，， 故. 【点睛】本题考查了恒成立问题的处理方法，运用分离变量转化成求函数的最值问题，还考查了双 勾的性质，求双勾函数在区间上的最值. 15．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）根据市场调查，某种商品在过去30天内的销售量（单位：百件）和价格（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且销售量近似满足.前10天价格为，后20天价格为 (1)试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系式； (2)试确定的值，使该商品的日销售额最大，并求出最大值. 【答案】(1) (2)当时，该商品的日销售额最大，最大值为262.5百元 【分析】（1）利用乘法求得销售额与时间的函数即可； （2）利用二次函数和基本不等式来求给定区间内的最值即可比较出最大值. 【详解】（1）当时， 当时，， 所以. （2）当时，， 当且仅当时取等号，； 当时，， 因为在区间单调递减， 所以当时，. 因为. 所以当时，该商品的日销售额最大，最大值为262.5百元. 16．（25-26高一上·广东江门·期末）为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工业园区污水先排入净化池.然后加入净化剂进行净化处理．根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系如下：当时，；当时，.若多次加入净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克／立方米）时，它才能起到有效净化污水的作用. (1)若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几小时？ (2)若第一次投放2个单位的净化剂，6小时后再投放个单位的净化剂，设从第二次投放起，经小时后污水中净化剂浓度为（毫克／立方米），其中. （i）求的解析式： （ii）要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，试求的最小值. 【答案】(1)8； (2)（i）（ii）． 【分析】（1）解出不等式即可； （2）设从第二次投放起，经小时，净化剂浓度，然后利用函数单调性得出最大值即可求解. 【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，所以污水中释放的浓度为， 当时，令，解得，所以； 当时，令，解得，所以． 综上，可得，即一次投放4个单位的净化剂，有效净化时间可达8小时． （2）设从第二次投放起，经小时，净化剂浓度，， 因为，要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，净化剂浓度恒成立， 当时，净化剂浓度恒成立，即得， 当时，恒成立，所以， 令，， 当单调递增，单调递减， 所以当时，取最大值，所以，且，所以， 综上，， 所以的最小值为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $