2.4 圆的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“圆的方程”核心知识点，系统构建从圆的定义出发，涵盖标准方程、一般方程的形式与特征，到几何属性提取、方程互化、二元二次方程表示圆的条件，再到经过三点的圆、点与圆的位置关系及对称圆方程的完整知识支架。 该资料通过11类细分题型，结合解题知识、方法点拨与典例变式，以数学思维引导推理（如待定系数法求方程），以数学眼光强化几何直观（如点与圆位置关系判断），助力教师课中分层教学，学生课后通过题型训练查漏补缺，提升应用能力。

2.4 圆的方程 内 容 导 航 题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型3 由圆的标准方程求圆的几何属性 题型4 圆的一般方程 题型5 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 题型6 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型7 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型8 二元二次方程表示圆的条件 题型9 经过三点的圆的方程 题型10 点与圆的位置关系 题型11 关于点、直线对称的圆的方程 考 点 演 练 题型1 圆的标准方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 【典例1】方程|x|﹣1表示的曲线为（　　） A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆 【答案】A 【解答】解：两边平方整理得：（|x|﹣1）2＝2y﹣y2， 化简得（|x|﹣1）2+（y﹣1）2＝1， 由|x|﹣1≥0得|x|≥1，即x≥1或x≤﹣1， 当x≥1时，方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1， 表示圆心为（1，1）且半径为1的圆的右半圆； 当x≤﹣1时，方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1， 表示圆心为（﹣1，1）且半径为1的圆的左半圆 综上所述，得方程|x|﹣1表示的曲线为两个半圆 故选：A． 【变式1】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 【答案】B 【解答】解：已知点M（x0，1）在直线y＝1上，设圆O：x2+y2＝1与直线y＝1的交点为T，显然假设存在点N使得，只需满足， 由于T（0，1），所以只需在RtΔOMT中，tan， 解得，且x0≠0，当x0＝0时，显然满足条件， 故． 故选：B． 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 ﹣标准方程推导：考查如何从几何属性推导圆的标准方程，通常涉及基本的几何知识和代数运算． 【典例1】若圆C经过A（1，1），B（2，﹣2），圆心在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 【答案】B 【解答】解：设圆的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 所以，解得：， 所以圆C的面积为πr2＝25π． 故选：B． 【变式1】把圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1 【答案】C 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）， （0，0）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到（1，1）， 故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． 故选：C． 【变式2】已知O为坐标原点，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝2x﹣4互相垂直且交于点A，则以O为圆心，OA为半径的圆的方程为（　　） A．x2+y2 B．x2+y2 C．x2+y2 D．x2+y2 【答案】D 【解答】解：直线l1：y＝kx与直线l2：y＝2x﹣4互相垂直且交于点A， 故k， ，解得， 故A（，）， |OA|r， 故以O为圆心，OA为半径的圆的方程为x2+y2． 故选：D． 【变式3】已知某圆的圆心在直线x+y﹣8＝0上，且该圆经过原点O和点A（2，﹣4），则该圆的方程为（　　） A．（x﹣8）2+（y+1）2＝65 B．（x﹣9）2+（y﹣2）2＝85 C．（x﹣9）2+y2＝81 D．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50 【答案】D 【解答】解：根据题意，该圆的圆心在线段OA的中垂线上， 由，可得OA的中垂线的斜率k， 结合OA的中点为（1，﹣2），求得OA的中垂线为，即x﹣2y﹣5＝0， 由，解得，所以圆心坐标为C（7，1）， 圆的半径r＝|OC|，该圆的方程为（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50． 故选：D． 题型3 由圆的标准方程求圆的几何属性 解｜题｜知｜识 ﹣几何属性：从标准方程中可以直接读出圆心和半径． （x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2 ﹣圆心：（h，k） ﹣半径：r 【解题方法点拨】 ﹣提取属性： 1．圆心：标准方程中的h和k是圆心坐标． 2．半径：半径是方程右侧的平方根，即． 【命题方向】 ﹣几何属性提取：考查如何从标准方程中提取圆的几何属性，包括圆心和半径的确定． 【典例1】若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则a+b的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2＝0即是圆的直径所在的直线方程． ∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝13， ∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2＝0上， ∴2a+2b﹣2＝0即a+b＝1． 故选：D． 【变式1】圆C：（x﹣1）2+（y+3）2＝4的圆心坐标和半径分别是（　　） A．（1，﹣3），4 B．（﹣1，3），4 C．（1，﹣3），2 D．（﹣1，3），2 【答案】C 【解答】解：若圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则圆心为（a，b），半径为r， 圆C：（x﹣1）2+（y+3）2＝4的圆心坐标为（1，﹣3），半径是2． 故选：C． 【变式2】已知点A（3，0），圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，若圆C上存在点P使得PA＝2，则a的取值范围为（　　） A．[0，3] B．（0，3） C．[﹣3，0] D．（﹣3，0） 【答案】A 【解答】解：由PA＝2，则点P在圆A：（x﹣3）2+y2＝4上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点P， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以a∈[0，3]． 故选：A． 【变式3】已知实数x，y满足圆的方程，则（　　） A．圆心（﹣1，0），半径为 B．x的最大值为 C．的最大值为 D．x﹣y2的最大值为 【答案】BCD 【解答】解：根据圆的方程，可知圆心为C（1，0），半径r，故A错误； 由，根据圆的性质，可得， 所以x的最大值为，故B正确； 根据|PQ|表示圆上点P（x，y）到定点Q（0，1）的距离， 因为圆心C（1，0）到点Q（0，1）的距离为， 所以圆C上的点P到定点Q的距离的最大值为，故C正确； 由，可得， 所以， 若，则f（x）在单调递增，可得， 所以x﹣y2的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 题型4 圆的一般方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【典例1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．y﹣x的最大值为2 D．x2+y2的最小值为2 【答案】AB 【解答】解：∵实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，即（x﹣2）2+y2＝3，表示以（2，0）为圆心，半径等于的圆． 过原点作圆的切线y＝kx，由，求得k，可得的最大值为，的最小值为，故AB正确． 令y﹣x＝m，即 x﹣y+m＝0 直线与圆相切时，根据圆心到直线的距离d， 即|m+2|，求得m2，或m2， 则m的最大值为2，故C错误． ∵ 表示圆上的点到原点的距离，它的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 故x2+y2的最小值为，故D错误， 故选：AB． 【变式1】若圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣2m＝0的面积为9π，则实数m的值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：圆C的方程化成标准方程，可得圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝2m+5， 所以圆C的半径r满足r2＝2m+5， 结合圆C的面积S＝πr2＝9π，可得r2＝2m+5＝9，解得m＝2． 故答案为：2． 【变式2】已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是（　　） A．（2，﹣1），3 B．（﹣2，1），3 C．（﹣2，﹣1），3 D．（2，﹣1），9 【答案】A 【解答】解：把圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的方程化为标准方程可得 （x﹣2）2+（y+1）2＝9， 表示以（2，﹣1）为圆心、以3为半径的圆， 故选：A． 题型5 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【解题方法点拨】 ﹣推导方程： 1．从圆心和半径出发：将圆心坐标和半径代入标准方程，并展开化简得到一般式． 2．展开标准方程：将标准方程展开成一般式方程，得到D，E，F的值． 【命题方向】 ﹣一般式方程推导：考查如何根据圆的几何属性（如圆心和半径）推导一般式方程，涉及代数运算和方程展开． 【典例1】以直线l：x+（m+2）y﹣3﹣m＝0恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣2x﹣2y＝2 B．x2+y2﹣2x﹣2y＝1 C．x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 D．x2+y2﹣2x﹣2y＝0 【答案】D 【解答】解：由x+（m+2）y﹣3﹣m＝0，得x+2y﹣3+（y﹣1）m＝0， 令y﹣1＝0，则y＝1，x＝1， 所以直线l恒过定点（1，1）， 则圆的方程为，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0． 故选：D． 【变式1】已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（　　） A．x2+y2﹣6x﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0 【答案】C 【解答】解：设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，圆心坐标为， 因为圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上， 所以，解得， 所以圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0． 故选：C． 【变式2】已知圆C：x2+y2＝4，过M（m，4﹣m）作圆C的一条切线MP，切点为P，则PM的最小值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：圆C：x2+y2＝4，过M（m，4﹣m）作圆C的一条切线MP，切点为P，则CP⊥PM， 因为点M（m，4﹣m）在直线l：x+y＝4上， 所以在Rt△CPM中，， 要使|PM|最小，只需|CM|最小，因为点M在直线l上，圆心C（0，0）， 则|CM|的最小值即为点C（0，0）到直线l：x+y＝4的距离， 即，． 故答案为：2． 【变式3】已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣4，2），C（﹣2，2），△ABC外接圆的方程是x2+y2+6x+4＝0　 ． 【答案】x2+y2+6x+4＝0． 【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）， 已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣4，2），C（﹣2，2），分别代入方程， 可得， 解方程组得， 则△ABC外接圆的方程是x2+y2+6x+4＝0． 故答案为：x2+y2+6x+4＝0． 题型6 由圆的一般式方程求圆的几何属性 解｜题｜知｜识 ﹣几何属性提取：从一般式方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0 提取圆心和半径，需要完成以下步骤： 1．配方：将方程化为标准形式． 2．圆心和半径：从配方后的标准形式中提取圆心（h，k）和半径r． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．配方：将x和y的平方项配方，得到圆心坐标和半径． 2．计算圆心和半径：通过配方得到圆心坐标h和k，然后计算半径r． 【命题方向】 ﹣几何属性提取：考查如何从一般式方程中提取圆的几何属性，通常涉及方程的配方和化简． 【典例1】设a＞0，b＞0，直线ax+by﹣1＝0经过圆C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【解答】解：由圆C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0，得圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，可知圆的圆心为C（1，1）， ∵直线ax+by﹣1＝0经过圆C的圆心，∴a+b﹣1＝0，即a+b＝1， ∵a＞0，b＞0， ∴，当且仅当2a＝b时取等号， 即的最小值为． 故选：C． 【变式1】直线l的方程为，则圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解答】解：由题意圆C：x2+y2﹣6x＝0可化为（x﹣3）2+y2＝9，故圆心为C（3，0），半径为3， 则圆心C（3，0）到直线的距离为， 又3﹣2＝1，故过点C作CD垂直l与圆C交于点D，在CD上取点M，使得CM＝1， 过点M作AB⊥CD，交圆C于点A，B， 所以圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为3，分别为A，B，D三点． 故选：D． 【变式2】已知圆的一般方程为x2+y2+3x﹣2y﹣3＝0，则（　　） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【解答】解：圆的一般方程x2+y2+3x﹣2y﹣3＝0可转化为圆的标准方程， 可得圆心坐标为，半径为． 故选：BD． 【变式3】若圆x2+y2+4kx﹣6y+4k2﹣k+13＝0的半径小于，则k的取值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【解答】解：由圆x2+y2+4kx﹣6y+4k2﹣k+13＝0， 可得圆的标准方程为（x+2k）2+（y﹣3）2＝k﹣4， 由可得4＜k＜9． 故选：BC． 题型7 圆的一般式方程与标准方程的互化 解｜题｜知｜识 ﹣互化过程：从一般式方程到标准方程需要配方，将一般式方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0 转换为标准方程： （x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2 【解题方法点拨】 ﹣互化步骤： 1．配方：将方程中的x和y的项配成完全平方． 2．计算圆心和半径：从配方后的结果中提取圆心（h，k）和半径r，得到标准方程． 【命题方向】 ﹣方程互化：考查如何在一般式和标准式之间进行转换，涉及代数配方和几何解释． 【典例1】已知圆x2+y2﹣2ax+4ay+5a2﹣9＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3] C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，x2+y2﹣2ax+4ay+5a2﹣9＝0变形可得：（x﹣a）2+（y+2a）2＝9， 所以圆心坐标（a，﹣2a），半径为3， 因为圆x2+y2﹣2ax+4ay+5a2﹣9＝0上所有点都在第二象限， 所以，即a的取值范围为（﹣∞，﹣3）． 故选：A． 【变式1】圆x2+y2﹣2mx﹣m2﹣1＝0（m∈R）的面积S（　　） A．有最小值π B．有最大值π C．没有最值 D．为定值 【答案】A 【解答】解：由题可得圆的方程可化为（x﹣m）2+y2＝2m2+1≥1， 当m＝0时，圆的最小半径为1，此时最小S为π，但S无最大值． 故选：A． 【变式2】已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0． （1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径； （2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝15，圆心坐标M（1，﹣2），半径为； （2）C＝15或﹣5． 【解答】解：（1）由x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y2+4y+4＝15， 则圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝15， 圆M的圆心坐标M（1，﹣2），半径为； （2）由，得圆心M到直线x+3y+C＝0的距离为， 则圆心M到直线x+3y+C＝0的距离，得C＝15或﹣5． 题型8 二元二次方程表示圆的条件 解｜题｜知｜识 1、圆的定义： 平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径． 2、圆的标准方程： 圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2． 3、圆的一般方程： 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆； 当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），； 当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形． 因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0． 注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件： ①A＝C≠0； ②B＝0； ③D2+E2﹣4F＞0． 【典例1】“关于x，y的方程：x2+y2+mx+4y+8＝0表示圆”是“m＞4”的（　　）条件． A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解答】解：将圆x2+y2+mx+4y+8＝0整理可得（x）2+（y+2）24， 因为方程表示圆的方程，所以4＞0， 解得m＞4或m＜﹣4， 由于m＞4为m＞4或m＜﹣4的真子集， 故方程x2+y2+mx+4y+8＝0表示圆是m＞4的必要不充分条件． 故选：A． 【变式1】方程x2+y2﹣2x+2k+5＝0表示圆，则k的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 【答案】C 【解答】解：转化为标准形式为：（x﹣1）2+y2＝﹣2k﹣4， 故﹣2k﹣4＞0， 解得k＜﹣2． 故选：C． 【变式2】已知方程x2+y2﹣kx﹣3ky﹣1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【解答】解：对于A：由x2+y2﹣kx﹣3ky﹣1＝0得：，显然该方程表示半径为，圆心为的圆，所以A正确； 对于B：将点（0，0）代入圆的方程得：﹣1＝0，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线y＝3x上，所以C正确； 对于D：由x2+y2﹣kx﹣3ky﹣1＝0得：x2+y2﹣1﹣k（x+3y）＝0， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确． 故选：ACD． 【变式3】已知方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0（t∈R）的图形是圆． （1）求t的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程． 【答案】（1）t＜1； （2）方程是． 【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0，配方得 （x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2＝（t+3）2+（4t2﹣1）2﹣16t4﹣9 即（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2＝﹣7t2+6t+1 ∴r2＝﹣7t2+6t+1＞0，解得：t＜1 （2）由（1）知 ∴当t∈（，1）时，r有最大值即r； ∴，此时圆面积最大， 所对应圆的方程是． 题型9 经过三点的圆的方程 解｜题｜知｜识 ﹣三点确定圆：给定三个不共线的点，圆的方程可以通过解方程组得到． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．设圆的方程：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 2．代入点坐标：将三个点坐标代入方程得到线性方程组． 3．解方程组：解方程组得到D，E，F的值，从而得到圆的方程． 【命题方向】 ﹣三点确定圆：考查如何通过已知的三点计算圆的方程，通常涉及线性方程组的解法． 【典例1】已知△AOB的三个顶点分别为O（0，0），A（6，0），B（0，8），则△AOB的外接圆的方程为（　　） A．（x+3）2+（y+4）2＝25 B．（x+6）2+（y+8）2＝100 C．（x﹣6）2+（y﹣8）2＝100 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25 【答案】D 【解答】解：根据O（0，0），A（6，0），B（0，8）， 可得∠AOB＝90°，△AOB是以AB为斜边的直角三角形， 所以△AOB的外接圆的圆心是斜边AB的中点C（3，4）， 根据|OC|5，可得半径r＝5，故△AOB的外接圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25． 故选：D． 【变式1】“康威圆定理”的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在△ABC中，A（1，7），B（1，1），C（5，4），康威圆圆心为K，则K的坐标为（　　） A．（3，4） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，A（1，7），B（1，1），C（5，4）， 则， A（1，7），B（1，1），则直线AB的方程为x＝1，所以B1（1，﹣4）， A是线段A1C的中点，所以A1（﹣3，10）， B是线段B2C的中点，所以B2（﹣3，﹣2）， 设康威圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0， 代入B1（1，﹣4），A1（﹣3，10），B2（﹣3，﹣2）得： ，解得D＝﹣5，E＝﹣8，F＝﹣44， 则康威圆的方程为x2+y2﹣5x﹣8y﹣44＝0，故圆心． 故选：D． 【变式2】过点A（5，﹣1），B（1，1），C（2，3）的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：点A（5，﹣1），B（1，1），C（2，3）， ，kBC＝2，所以AB⊥BC， 故该圆的圆心是AC的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为． 故选：C． 【变式3】已知点A（﹣1，3），B（5，﹣5），C（2，4）． （1）求线段AC的垂直平分线的方程； （2）已知圆M过点A，B，C，求圆M的方程． 【答案】（1）3x+y﹣5＝0； （2）（x﹣2）2+（y+1）2＝25． 【解答】解：（1）根据A（﹣1，3）、C（2，4），可得线段AC的中点为， 由直线AC的斜率，可得线段AC的垂直平分线的斜率为3， 所以线段AC的垂直平分线方程为，即3x+y﹣5＝0． （2）类似于（1）的方法，求得线段AB的垂直平分线的方程为3x﹣4y﹣10＝0， 由（1）线段AC的垂直平分线方程为3x+y﹣5＝0， 由，解得，即线段AB的中垂线与线段AC的中垂线交于点（2，﹣1）． 所以△ABC的外接圆的圆心为M（2，﹣1）， 结合圆M的半径，可得圆M的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝25． 题型10 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较． ①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内； ②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上； ③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 【典例1】若点M（2﹣a，a）在圆C：（x﹣3）2+y2＝5的内部，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 【答案】A 【解答】解：点M（2﹣a，a）在圆C：（x﹣3）2+y2＝5的内部， 则（2﹣a﹣3）2+a2＜5，解得﹣2＜a＜1， 故实数a的取值范围是（﹣2，1）． 故选：A． 【变式1】已知点A（﹣1，0）在圆x2+y2+2x+3y+m＝0外，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D．∪ 【答案】B 【解答】解：圆x2+y2+2x+3y+m＝0，即，则，解得， 又点A（﹣1，0）在圆外，则，可得m＞1， 所以， 故实数m的取值范围是． 故选：B． 【变式2】设有一组圆，下列命题错误的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条线上 B．存在圆∁k经过点（3，0） C．经过点（1，﹣1）的圆有且只有一个 D．直线y＝x和所有圆相交 【答案】D 【解答】解：圆的圆心为（k，﹣k）， 则圆心始终在直线y＝﹣x上，故A正确； 将点（3，0）代入圆∁k，化简得﹣6k+9＝0， 解得，故经过点（3，0），故B正确； 将点（1，﹣1）代入圆∁k，化简得﹣4k+2＝0， 解得，故经过点（1，﹣1）的圆有且只有一个，故C正确； 圆∁k的圆心为（k，﹣k），到直线y＝x的距离， 又圆∁k的半径为，故直线y＝x和所有圆相切，故D错误． 故选：D． 【变式3】已知m，n是方程的两个不等实数根，则点P（m，n）与圆C：x2+y2＝8的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：根据题意，因为m，n是方程的两个不等实数根， 则有，变形可得：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6﹣2×（﹣2）＝10＞8． 所以点P（m，n）在圆C：x2+y2＝8外． 故选：C． 题型11 关于点、直线对称的圆的方程 解｜题｜知｜识 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 【典例1】已知圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，直线l：y＝x+2． （1）求圆C关于直线l对称的圆C′的方程； （2）若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求|OP|+|PQ|的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得圆心为C（2，1），半径r＝2． 设圆心C关于直线l的对称点为C'（m，n），则，解得， 所以圆C关于直线l对称的圆C′的方程为（x+1）2+（y﹣4）2＝4； （2）根据轴对称的性质，可得|OP|+|PC|＝|OP|+|PC′|≥|OC′|， 可得|OP|+|PQ|＝|OP|+|PC′|﹣r≥|OC′|﹣r， 当O、P、C′三点共线时，|OP|+|PQ|取得最小值， 因为|OC′|，所以|OP|+|PQ|的最小值为． 过 关 验 收 1．圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（　　） A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4 【答案】D 【解答】解：∵圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆， ∴圆半径r＝2， ∴圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4． 故选：D． 2．已知直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：2x+y﹣8＝0，设直线l1与l2的交点为P，点Q的坐标为（2，0）． （Ⅰ）求经过点Q且与直线l1垂直的直线方程； （Ⅱ）求以线段PQ为直径的圆的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）易知l1的斜率为1，故所求直线斜率是﹣1， 又直线过点Q，故直线方程为y＝（﹣1）×（x﹣2）， 故所求方程为x+y﹣2＝0； （Ⅱ）联立方程组，解得， 故P（2，4），Q（2，0），由中点坐标公式得QP中点坐标为（2，2）， 由两点间距离公式得：2， 故所求圆方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4． 3．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点（﹣12，﹣1）；乙：该圆的圆心为（2，﹣3）；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点（5，1）．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：（2，﹣3）到（﹣12，﹣1）与（5，1）距离不同，故甲、乙不可能全部正确，从而丙正确； （﹣12，﹣1）与（2，﹣3）距离不为5，故甲，乙，丙不可能全部正确，从而丁正确； （2，﹣3）到（5，1）距离为5，故乙可能正确，此时只有甲错误；（﹣12，﹣1）与（5，1）距离大于10， 故不存在半径为5的圆同时经过（﹣12，﹣1）和（5，1），即甲不可能正确． 故选：A． 4．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切，则圆C的标准方程可以为 　（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）　 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）． 【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 由题可得：|a|＝r，b＝0， 方程为（x﹣a）2+y2＝a2，取a＝1． 可得圆C的标准方程可以为：（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）． 故答案为：（x﹣1）2+y2＝1（答案不唯一）． （多选）5．已知实数x，y满足方程，则（　　） A．（x﹣2）2+y2的取值范围是[1，5] B．的取值范围是 C．2x﹣y的取值范围是 D．|x+y﹣5|的取值范围是 【答案】AB 【解答】解：A选项，，两边平方得x2+y2＝1， 故方程表示的几何图形为单位圆位于y轴右侧的部分（包括y轴上两点）， 其中T（1，0），M（0，1），N（0，﹣1）， （x﹣2）2+y2几何意义为上的点到（2，0）的距离的平方， 故|TQ|2为最小值，最小值为1， |MQ|2或|NQ|2取得最大值，最大值为22+12＝5， 所以（x﹣2）2+y2的取值范围为[1，5]，A正确； B选项，几何意义为上的点与A（﹣1，﹣2）的连线的斜率， 设过点A（﹣1，﹣2）的直线为y+2＝k（x+1）， 则，解得，此时为最小斜率， 直线AM的斜率为最大值，即， 的取值范围是，B正确； C选项，设2x﹣y＝t，则y＝2x﹣t，﹣t为直线y＝2x﹣t与y轴的交点的纵坐标， 当y＝2x﹣t过点M（0，1）时，﹣t取得最大值，t取得最小值， 1＝0﹣t，解得t＝﹣1， 当y＝2x﹣t与的图形相切于H时，﹣t取得最小值，t取得最大值， 由，解得（负值舍去）， 2x﹣y的取值范围是[﹣1，]，C不正确； D选项，的几何意义为上的点到x+y﹣5＝0的距离， 过点N作NK⊥直线x+y﹣5＝0于点K， 则NK即为上的点到x+y﹣5＝0的距离最大值， 最大值为， 过点O作OJ⊥直线x+y﹣5＝0于点J，与的图形交于点S， 则SJ即为上的点到x+y﹣5＝0的距离最小值， 其中，故， 故的取值范围是， |x+y﹣5|的取值范围为，D错误． 故选：AB． 6．实数x、y满足x2+y2＝4，则（x﹣4）2+（y+3）2的最大值是 　49　 ． 【答案】49． 【解答】解：根据题意，x2+y2＝4表示以O（0，0）为圆心，半径r＝2的圆， 设P（x，y）为圆O上的动点，Q（4，﹣3）， 可得|PQ|max＝|OQ|+r2＝7， 因为|PQ|2＝（x﹣4）2+（y+3）2，所以（x﹣4）2+（y+3）2的最大值是72＝49． 故答案为：49． 7．已知圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1）且圆心E在直线x+y﹣2＝0上． （1）求圆E的方程； （2）若直线l经过点Q（3，5），且与圆E相交截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4； （2）x﹣y+2＝0或7x﹣y﹣16＝0． 【解答】解：（1）设圆E的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 由题意得，解得， 所以圆E的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4； （2）由（1）得圆E的圆心为E（1，1），半径r＝2， 根据直线l被圆E截得的弦长为，可知E到直线l的距离． ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3， 圆心E到直线的距离为2，不符合题意． ②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x﹣3），即kx﹣y+5﹣3k＝0． 由，解得k＝1或k＝7，可得l的方程为x﹣y+2＝0或7x﹣y﹣16＝0． 8．已知△ABC的三个顶点A（3，4），B（1，0），C（﹣1，0），其外接圆为圆E． （1）求圆E的方程； （2）若直线l过点B，且被圆E截得的弦长为6，求直线l的方程； （3）对于线段BE上的任意一点P，若在以A为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆A的半径r的取值范围． 【答案】（1）x2+（y﹣3）2＝10； （2）x＝1或； （3）．． 【解答】解：（1）由题意，A（3，4），B（1，0），C（﹣1，0），所以BC的垂直平分线是x＝0， 又，AB的中点是（2，2），所以AB的垂直平分线斜率为， 即AB的垂直平分线方程是， 所以由，解得，所以圆心是（0，3）， 所以， 即圆E的方程是x2+（y﹣3）2＝10； （2）过点E作直线l的垂线，垂足为F，由圆E截得的弦长为6，可得|BF|＝3， 再由圆的半径，可得， 当斜率存在时，可设过点B的直线l方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0， 所以，则直线l方程为； 当斜率不存在时，此时过点B的直线l方程为x＝1，此时|EF|＝1，满足题意． 综上可得，直线l的方程为x＝1或． （3）因为B（1，0），E（0，3），所以直线BE的方程为，即3x+y﹣3＝0， 设P（m，n），因为点P在线段BE上，所以3m+n﹣3＝0且m∈[0，1]，所以n＝3﹣3m． 设N（x，y），因为M为PN的中点，所以． 设圆A：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，由M，N在圆C上得， 整理得．若M，N存在，则方程组有解， 即圆心为A（3，4），半径为r的圆与圆心为A′（6﹣m，3m+5），半径为2r的圆有公共点． 根据两圆位置关系可知2r﹣r≤|AA′|≤2r+r， 即在m∈[0，1]时恒成立， 所以r2≤（m﹣3）2+（3m+1）2≤9r2， 整理得在m∈[0，1]时恒成立， 所以， 设（m）＝10m2+10，m∈[0，1]，所以f（m）∈[10，20]， 所以，即，解得． 若M为PN的中点，则点P在圆C外，所以（m﹣3）2+（n﹣4）＞r2， 即（m﹣3）2+（﹣1﹣3m）2＞r2在m∈[0，1]上恒成立， 所以． 综上所述，． （多选）9．已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　） A．点（4，0）在圆M内 B．圆M关于x+3y﹣2＝0对称 C．半径为 D．直线与圆M相切 【答案】BD 【解答】解：x2+y2﹣4x+3＝0整理得：（x﹣2）2+y2＝1， ∵x＝4，y＝0时x2+y2﹣4x+3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M外，A错； ∵圆心M（2，0）在直线x+3y﹣2＝0上，∴圆M关于x+3y﹣2＝0对称，B对； ∵圆M半径为1，故C错； ∵圆心M（2，0）到直线的距离为，与半径相等，∴直线与圆M相切，D对． 故选：BD． 10．已知圆x2+y2+4x﹣2ay+3a2﹣a+1＝0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由x2+y2+4x﹣2ay+3a2﹣a+1＝0， 可得圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣a）2＝﹣2a2+a+3，圆的圆心（﹣2，a）， 圆心在第二象限，则， ∴，解得， ∴实数a的范围． 故答案为：． 11．设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝4；（2）（）． 【解答】解：（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x＝﹣1上，不合题意； 根据题意得圆Q只能过点A，B，D三点， 线段AB的垂直平分线的方程为， 线段AD的垂直平分线的方程为y＝0， 联立方程组， 解得， 所以圆心为（2，0），半径为2，圆Q的方程为（x﹣2）2+y2＝4． （2）设P（x，y），因为PA2+PC2＝2λ， 所以， 化简得，所以λ＞4， 根据题意有， 解得； 故实数λ的取值范围为（）． 12．一个圆M切直线l1：x﹣6y﹣10＝0于点P（4，﹣1），且圆心在直线l2：5x﹣3y＝0上． （1）求该圆的方程； （2）过点Q（﹣3，﹣1）作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线AB的方程． 【答案】（1）（x﹣3）2+（y﹣5）2＝37； （2）6x+6y﹣11＝0． 【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，b），则过P点的半径所在的直线为6a+b+c＝0， 代入P（4，﹣1），可得c＝﹣23， 由6a+b﹣23＝0，5a﹣3b＝0，解得：a＝3，b＝5， 所以M（3，5），所以r2＝（4﹣3）2+（﹣1﹣5）2＝37， 所以圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2＝37； （2）已知Q（﹣3，﹣1），圆心M（3，5），根据两点间距离公式可得， 因为， 所以以Q为圆心，|QA|为半径的圆的方程为（x+3）2+（y+1）2＝35， 展开化简得x2+y2+6x+2y﹣25＝0． 圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣5）2＝37，展开化简得x2+y2﹣6x﹣10y﹣3＝0． 两式相减得（x2+y2+6x+2y﹣25）﹣（x2+y2﹣6x﹣10y﹣3）＝0，化简得6x+6y﹣11＝0． 所以直线AB的方程为：6x+6y﹣11＝0． 13．已知点P（x，y）为圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0上一点，则x2+y2的最大值为　　 ，取值范围为　　 ． 【答案】；． 【解答】解：①圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0化为标准方程，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，圆心为C（2，2），半径r＝1， 点P（x，y）为圆C上的点，则x2+y2＝|OP|2，表示点P（x，y）到原点距离的平方， 根据，结合圆的性质，可知， 所以x2+y2的最大值为； ②令，则y+2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2＝0， 根据直线kx﹣y﹣k﹣2＝0与圆C有公共点， 可知圆心C（2，2）到直线kx﹣y﹣k﹣2＝0的距离， 解得，可得取值范围为． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 圆的方程 内 容 导 航 题型1 圆的标准方程 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 题型3 由圆的标准方程求圆的几何属性 题型4 圆的一般方程 题型5 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 题型6 由圆的一般式方程求圆的几何属性 题型7 圆的一般式方程与标准方程的互化 题型8 二元二次方程表示圆的条件 题型9 经过三点的圆的方程 题型10 点与圆的位置关系 题型11 关于点、直线对称的圆的方程 考 点 演 练 题型1 圆的标准方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化． 【典例1】方程|x|﹣1表示的曲线为（　　） A．两个半圆 B．一个圆 C．半个圆 D．两个圆 【变式1】设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使，则x0的取值范围为（　　） A．[﹣1，1] B． C． D． 题型2 根据圆的几何属性求圆的标准方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）， 其中圆心C（a，b），半径为r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2＝r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件． 【解题方法点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2； （2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组； （3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 ﹣标准方程推导：考查如何从几何属性推导圆的标准方程，通常涉及基本的几何知识和代数运算． 【典例1】若圆C经过A（1，1），B（2，﹣2），圆心在直线x﹣y+1＝0上，则圆C的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 【变式1】把圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝1 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1 【变式2】已知O为坐标原点，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝2x﹣4互相垂直且交于点A，则以O为圆心，OA为半径的圆的方程为（　　） A．x2+y2 B．x2+y2 C．x2+y2 D．x2+y2 【变式3】已知某圆的圆心在直线x+y﹣8＝0上，且该圆经过原点O和点A（2，﹣4），则该圆的方程为（　　） A．（x﹣8）2+（y+1）2＝65 B．（x﹣9）2+（y﹣2）2＝85 C．（x﹣9）2+y2＝81 D．（x﹣7）2+（y﹣1）2＝50 题型3 由圆的标准方程求圆的几何属性 解｜题｜知｜识 ﹣几何属性：从标准方程中可以直接读出圆心和半径． （x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2 ﹣圆心：（h，k） ﹣半径：r 【解题方法点拨】 ﹣提取属性： 1．圆心：标准方程中的h和k是圆心坐标． 2．半径：半径是方程右侧的平方根，即． 【命题方向】 ﹣几何属性提取：考查如何从标准方程中提取圆的几何属性，包括圆心和半径的确定． 【典例1】若直线ax+2by﹣2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0的周长，则a+b的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】圆C：（x﹣1）2+（y+3）2＝4的圆心坐标和半径分别是（　　） A．（1，﹣3），4 B．（﹣1，3），4 C．（1，﹣3），2 D．（﹣1，3），2 【变式2】已知点A（3，0），圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1，若圆C上存在点P使得PA＝2，则a的取值范围为（　　） A．[0，3] B．（0，3） C．[﹣3，0] D．（﹣3，0） 【变式3】已知实数x，y满足圆的方程，则（　　） A．圆心（﹣1，0），半径为 B．x的最大值为 C．的最大值为 D．x﹣y2的最大值为 题型4 圆的一般方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【典例1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，则（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．y﹣x的最大值为2 D．x2+y2的最小值为2 【变式1】若圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣2m＝0的面积为9π，则实数m的值为　 　 ． 【变式2】已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是（　　） A．（2，﹣1），3 B．（﹣2，1），3 C．（﹣2，﹣1），3 D．（2，﹣1），9 题型5 根据圆的几何属性求圆的一般式方程 解｜题｜知｜识 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心坐标为（，），半径r． 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件． 【解题方法点拨】 ﹣推导方程： 1．从圆心和半径出发：将圆心坐标和半径代入标准方程，并展开化简得到一般式． 2．展开标准方程：将标准方程展开成一般式方程，得到D，E，F的值． 【命题方向】 ﹣一般式方程推导：考查如何根据圆的几何属性（如圆心和半径）推导一般式方程，涉及代数运算和方程展开． 【典例1】以直线l：x+（m+2）y﹣3﹣m＝0恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（　　） A．x2+y2﹣2x﹣2y＝2 B．x2+y2﹣2x﹣2y＝1 C．x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 D．x2+y2﹣2x﹣2y＝0 【变式1】已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（　　） A．x2+y2﹣6x﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0 【变式2】已知圆C：x2+y2＝4，过M（m，4﹣m）作圆C的一条切线MP，切点为P，则PM的最小值为　 　 ． 【变式3】已知点A（﹣4，﹣2），B（﹣4，2），C（﹣2，2），△ABC外接圆的方程是 　 ． 题型6 由圆的一般式方程求圆的几何属性 解｜题｜知｜识 ﹣几何属性提取：从一般式方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0 提取圆心和半径，需要完成以下步骤： 1．配方：将方程化为标准形式． 2．圆心和半径：从配方后的标准形式中提取圆心（h，k）和半径r． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．配方：将x和y的平方项配方，得到圆心坐标和半径． 2．计算圆心和半径：通过配方得到圆心坐标h和k，然后计算半径r． 【命题方向】 ﹣几何属性提取：考查如何从一般式方程中提取圆的几何属性，通常涉及方程的配方和化简． 【典例1】设a＞0，b＞0，直线ax+by﹣1＝0经过圆C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D．6 【变式1】直线l的方程为，则圆C：x2+y2﹣6x＝0上到直线l距离为1的点的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【变式2】已知圆的一般方程为x2+y2+3x﹣2y﹣3＝0，则（　　） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【变式3】若圆x2+y2+4kx﹣6y+4k2﹣k+13＝0的半径小于，则k的取值可能是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 题型7 圆的一般式方程与标准方程的互化 解｜题｜知｜识 ﹣互化过程：从一般式方程到标准方程需要配方，将一般式方程： x2+y2+Dx+Ey+F＝0 转换为标准方程： （x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2 【解题方法点拨】 ﹣互化步骤： 1．配方：将方程中的x和y的项配成完全平方． 2．计算圆心和半径：从配方后的结果中提取圆心（h，k）和半径r，得到标准方程． 【命题方向】 ﹣方程互化：考查如何在一般式和标准式之间进行转换，涉及代数配方和几何解释． 【典例1】已知圆x2+y2﹣2ax+4ay+5a2﹣9＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，﹣3] C． D． 【变式1】圆x2+y2﹣2mx﹣m2﹣1＝0（m∈R）的面积S（　　） A．有最小值π B．有最大值π C．没有最值 D．为定值 【变式2】已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0． （1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径； （2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值． 题型8 二元二次方程表示圆的条件 解｜题｜知｜识 1、圆的定义： 平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆．定点就是圆心，定长就是半径． 2、圆的标准方程： 圆的标准方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圆心为（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为x2+y2＝r2． 3、圆的一般方程： 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 当D2+E2﹣4F＞0时，表示圆心（，），半径为的圆； 当D2+E2﹣4F＝0时，表示点（，），； 当D2+E2﹣4F＜0时，不表示任何图形． 因此二元二次方程表示圆的条件是D2+E2﹣4F＞0． 注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圆的条件： ①A＝C≠0； ②B＝0； ③D2+E2﹣4F＞0． 【典例1】“关于x，y的方程：x2+y2+mx+4y+8＝0表示圆”是“m＞4”的（　　）条件． A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式1】方程x2+y2﹣2x+2k+5＝0表示圆，则k的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2] 【变式2】已知方程x2+y2﹣kx﹣3ky﹣1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【变式3】已知方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0（t∈R）的图形是圆． （1）求t的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程． 题型9 经过三点的圆的方程 解｜题｜知｜识 ﹣三点确定圆：给定三个不共线的点，圆的方程可以通过解方程组得到． 【解题方法点拨】 ﹣步骤： 1．设圆的方程：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0． 2．代入点坐标：将三个点坐标代入方程得到线性方程组． 3．解方程组：解方程组得到D，E，F的值，从而得到圆的方程． 【命题方向】 ﹣三点确定圆：考查如何通过已知的三点计算圆的方程，通常涉及线性方程组的解法． 【典例1】已知△AOB的三个顶点分别为O（0，0），A（6，0），B（0，8），则△AOB的外接圆的方程为（　　） A．（x+3）2+（y+4）2＝25 B．（x+6）2+（y+8）2＝100 C．（x﹣6）2+（y﹣8）2＝100 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25 【变式1】“康威圆定理”的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．若在△ABC中，A（1，7），B（1，1），C（5，4），康威圆圆心为K，则K的坐标为（　　） A．（3，4） B． C． D． 【变式2】过点A（5，﹣1），B（1，1），C（2，3）的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知点A（﹣1，3），B（5，﹣5），C（2，4）． （1）求线段AC的垂直平分线的方程； （2）已知圆M过点A，B，C，求圆M的方程． 题型10 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 点与圆的位置关系分为在园内，在圆上和在圆外，判断的方法就是该点到圆心的距离和圆半径的大小之间的比较． ①当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内； ②当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上； ③当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 【典例1】若点M（2﹣a，a）在圆C：（x﹣3）2+y2＝5的内部，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 【变式1】已知点A（﹣1，0）在圆x2+y2+2x+3y+m＝0外，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B． C． D．∪ 【变式2】设有一组圆，下列命题错误的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条线上 B．存在圆∁k经过点（3，0） C．经过点（1，﹣1）的圆有且只有一个 D．直线y＝x和所有圆相交 【变式3】已知m，n是方程的两个不等实数根，则点P（m，n）与圆C：x2+y2＝8的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 题型11 关于点、直线对称的圆的方程 解｜题｜知｜识 （1）已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可． （2）若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标． 【典例1】已知圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，直线l：y＝x+2． （1）求圆C关于直线l对称的圆C′的方程； （2）若P为直线l上的动点，Q为圆C上的动点，O为坐标原点，求|OP|+|PQ|的最小值． 过 关 验 收 1．圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（　　） A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4 2．已知直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：2x+y﹣8＝0，设直线l1与l2的交点为P，点Q的坐标为（2，0）． （Ⅰ）求经过点Q且与直线l1垂直的直线方程； （Ⅱ）求以线段PQ为直径的圆的方程． 3．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点（﹣12，﹣1）；乙：该圆的圆心为（2，﹣3）；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点（5，1）．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．在平面直角坐标系xOy中，若圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切，则圆C的标准方程可以为 　 　 ．（写出满足条件的一个答案即可） （多选）5．已知实数x，y满足方程，则（　　） A．（x﹣2）2+y2的取值范围是[1，5] B．的取值范围是 C．2x﹣y的取值范围是 D．|x+y﹣5|的取值范围是 6．实数x、y满足x2+y2＝4，则（x﹣4）2+（y+3）2的最大值是 　 ． 7．已知圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1）且圆心E在直线x+y﹣2＝0上． （1）求圆E的方程； （2）若直线l经过点Q（3，5），且与圆E相交截得的弦长为，求直线l的方程． 8．已知△ABC的三个顶点A（3，4），B（1，0），C（﹣1，0），其外接圆为圆E． （1）求圆E的方程； （2）若直线l过点B，且被圆E截得的弦长为6，求直线l的方程； （3）对于线段BE上的任意一点P，若在以A为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆A的半径r的取值范围． （多选）9．已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　） A．点（4，0）在圆M内 B．圆M关于x+3y﹣2＝0对称 C．半径为 D．直线与圆M相切 10．已知圆x2+y2+4x﹣2ay+3a2﹣a+1＝0的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为 ． 11．设，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+PC2＝2λ成立，求实数λ的取值范围． 12．一个圆M切直线l1：x﹣6y﹣10＝0于点P（4，﹣1），且圆心在直线l2：5x﹣3y＝0上． （1）求该圆的方程； （2）过点Q（﹣3，﹣1）作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线AB的方程． 13．已知点P（x，y）为圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0上一点，则x2+y2的最大值为　 　 ，取值范围为　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $