专题 2.6 直线与圆的位置关系（12类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离的判定方法（d与r关系、方程组解情况），切线方程（过圆上/外点），弦长计算（几何法、代数法），最值及定点定值问题，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料特色在于知识体系结构化，12个考点分类细致，例题涵盖选择、填空、解答题，结合几何直观与代数运算，培养数学思维（如参数求解、最值转化）和数学语言表达，课中助力教师系统授课，课后帮助学生针对性练习查漏补缺。

专题2.6 直线与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 3 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 5 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 7 【考点4：中点弦】 6 【考点5：已知弦长求方程或参数】 14 【考点6：过圆上一点的切线方程】 17 【考点7：过圆外一点的切线方程】 19 【考点8：切线长】 22 【考点9：切点弦及其方程】 25 【考点10：已知切线求参】 28 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 31 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 33 【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4. 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 5．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 6．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 7．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 3．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式求得的范围，进而可得结论. 【详解】由圆，得圆心，半径为， 所以圆心到的距离为， 又因为，所以， 所以直线与圆相交. 故选：A. 4．（25-26高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【分析】根据圆心在直线上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【答案】C 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 1．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】利用若直线与圆有交点则圆心到直线的距离不大于半径的性质建立不等式求解即可. 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此。解得，所以的值为. 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据题设为等腰直角三角形，进而有圆心到直线距离为2，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由题设，若为直角三角形，即，显然为等腰直角三角形， 由圆的圆心，半径为， 所以到直线的距离，可得. 故选：B 5．（25-26高二上·湖北·期末）已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（   ） A．1 B．7 C．1或7 D．1或 【答案】D 【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为2，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值． 【详解】解：由题意得，圆的圆心为，半径为2， 由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形， 可知，， 所以， ∴圆心到直线的距离等于， 再利用点到直线的距离公式可得： 圆心到直线的距离， 解得：或，所以实数的值为1或. 故选：D． 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 直线 可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据用N的坐标表示M的坐标，再根据M、N满足圆的方程，联立方程组消去y即可求出x． 【详解】 设， ∵点在圆上，∴． 已知，则， ∵，∴． 设，则， 则， 则． ∵点在圆上，∴． 将代入上式可得：， 解得， 故选：A． 3．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式计算，结合几何法求弦长即可求解. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 4．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】由圆与直线相交可求解，，再由中点坐标公式求解，令，求解，再由两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线与圆联立，，，解得，所以，， 则中点横坐标为，纵坐标为，所以，当时， ，所以， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心坐标，由圆过的两点建立方程求出圆心半径即得. （2）求出直线方程及线段长，由三角形面积求得点到直线距离，由点到直线距离可得，再求出直线并与圆的方程联立求出点的坐标. 【详解】（1）由圆心在直线上，设点，由圆过点， 得，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由点，得， 由的面积为2，得点到直线的距离为， 直线方程为，即，则点到直线的距离为， 而，即直线不可能过的中点，因此，直线方程为， 由，解得或， 所以或. 【考点4：中点弦】 1．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为_______________ ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程求得圆心坐标，然后根据求得直线的斜率，进而根据点斜式求解直线方程即可. 【详解】由题意可知圆心坐标，由于点为弦的中点，则， 又，所以， 所以弦所在直线的方程为，整理得：. 故答案为： 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意可得P点轨迹是一个圆的一部分,再结合圆的几何性质及弧长公式可得. 【详解】由圆的性质知，故点的轨迹是以为直径的圆位于圆内部的－段圆弧，如图： 因为，所以的中点，且点D在圆C上， 故以为直径的圆的方程为， 设此圆与圆的两个交点为、，所以四边形是边长为1的菱形， 所以，所以为正三角形，且边长为1. 所以，，则弧的长度为． 3．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出弦心距，再结合两点间距离公式求解即可. 【详解】圆，圆心，半径. 设弦的中点为，连接. 在中，，， 所以. 是点到圆心的距离， 所以，即. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． (1)求m的取值范围； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把圆化为标准形式，利用半径大于0及点与圆的位置关系构造不等式求的取值范围； （2）利用弦的中点的几何性质得出垂直关系求出直线斜率，进而求出直线方程． 【详解】（1）圆的标准方程为， ，解得， 又点在圆内，即，解得， 的取值范围为． （2） 圆心为与点为中点， ， 设直线的斜率为，则，解得， 直线的方程为，即． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程； （2）由点为圆的弦的中点，所以先求，根据弦长计算即可. 【详解】（1）由题意知圆心的坐标为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，方程为， 由圆心到直线的距离为：， 此时，直线与圆相切，满足题意， 当过点的直线的斜率存在时， 设方程为，即， 由题意知直线与圆相切可得：， 解得：， 所以切线方程为， 故过点的圆的切线方程为或． （2）由点为圆的弦的中点，且， 所以. 【考点5：已知弦长求方程或参数】 1．（2026·广西·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为2，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于的等式，则可解得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心C到直线l的距离为， 由题意可知，， 解之得，即. 故选：B. 2．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）若直线 被圆C：（aR）截得的弦长为定值，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，可得圆心到直线的距离为定值，利用点到直线的距离公式列式求解. 【详解】由题意，圆心，半径， 因为直线被圆截得的弦长为定值，所以圆心到直线的距离为定值， 圆心到直线的距离为， 则的取值与无关，所以，即. 故选：A. 3．（25-26高二下·广西河池·期末）已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】因为圆的半径为，且直线l被圆截得的弦长为，即可以通过垂径定理求得圆心到直线l的距离，还可以通过圆心到直线l的距离公式，列出方程，从而求出直线方程. 【详解】圆：，故半径为，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为 设直线l的方程为， 则，则或 所以或. 故选：D 4．（3月第二次在线大联考（山东卷））设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为 A．或11 B．或11 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A． 5．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 【考点6：过圆上一点的切线方程】 1．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即. 2．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 5．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 【考点7：过圆外一点的切线方程】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 【答案】或 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以的方程为或. 2．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，解之可得出切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 3．（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【分析】先设出过点的切线斜率为k，结合圆心到切线的距离等于半径得到关于k的方程，再利用两直线夹角公式计算夹角的正切值. 【详解】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 4．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 【答案】或 【详解】由圆，圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时圆心到切线的距离为1，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则，解得，则切线的方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【考点8：切线长】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 3．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 【答案】7 【分析】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【详解】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 4．（2026·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题. 【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得， 结合已知点，可得： 所以， 故答案为：. 5．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 【考点9：切点弦及其方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    2．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 3．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 4．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）设圆心的坐标为，则，再结合，得到，联立求出，得到圆心，再求半径即可； （2）由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可． 【详解】（1）解：设圆心的坐标为，则， 因为，是圆上的两点，所以， 所以，即， 由得即， 则圆的半径， 故圆的标准方程为； （2）因为，，所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以， 所以四边形的面积，解得. 【考点10：已知切线求参】 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 【答案】1（的任何一个值都行） 【分析】首先分析直线所过的定点，再作出曲线的图象，由题意结合临界情况即可求解. 【详解】直线变形为，所以直线恒过点， 曲线两边平方化简得， 如图，作出曲线的图象， 过点的直线与半圆交于端点时，这时直线与曲线有2个交点，斜率， 直线绕点逆时针旋转到与半圆相切时（不包括相切），都有2个交点， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得：或（舍去）， 所以满足直线与曲线有2个不同交点的的取值范围是. 5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】0（或者） 【分析】根据直线过圆心及直线与圆相切的位置关系即可求解． 【详解】圆的圆心，半径为， 因为在直线上， 所以圆关于直线对称的圆为圆本身， 所以直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得或， 故答案为：0（或者）． 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 3．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 4．（数学终极押题猜想02（天津专用））已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 5．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【答案】 【分析】求出圆的圆心、半径及直线所过定点，再利用圆的性质求解. 【详解】直线方程为，直线过定点， 圆的圆心，半径，由，得点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，则最短弦长； 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，由，得， 直线的方程为，即. 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值. 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 3．（专题6.3圆锥曲线的六大弦长（一般弦、焦点弦、中点弦、直角弦、定点弦、分点弦）问题全攻略（8大考向）（重难专练）（全国通用））如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【答案】 ， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 【详解】略 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 5．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 直线与圆的位置关系 【知识梳理】 1 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 3 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 4 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 5 【考点4：中点弦】 6 【考点5：已知弦长求方程或参数】 7 【考点6：过圆上一点的切线方程】 8 【考点7：过圆外一点的切线方程】 9 【考点8：切线长】 10 【考点9：切点弦及其方程】 10 【考点10：已知切线求参】 11 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 12 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 12 【知识梳理】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4. 求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 5．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝ ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 6．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 7．直线与圆的方程的应用 (1)解决实际问题的步骤： ①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据； ②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程； ③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解； ④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释. (2)建系原则 建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则： ①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可 以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴. ②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上. 【考点1：判断直线与圆的位置关系】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 4．（25-26高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与的取值有关 【考点2：由直线与圆的位置关系求参】 1．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 2．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 5．（25-26高二上·湖北·期末）已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（   ） A．1 B．7 C．1或7 D．1或 【考点3：求直线与圆的交点坐标或弦长】 1．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）直线被圆所截得的线段的长为______． 4．（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)直线过点且与交于两点，的面积为2，求点的坐标． 【考点4：中点弦】 1．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的一般式方程为_______________ ． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）设为实数，若直线与圆相交于，两点，弦的中点为． (1)求m的取值范围； (2)求直线的方程． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆． (1)若点，求过点的圆的切线方程； (2)若点为圆的弦的中点，求弦的长． 【考点5：已知弦长求方程或参数】 1．（2026·广西·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为2，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）若直线 被圆C：（aR）截得的弦长为定值，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高二下·广西河池·期末）已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（3月第二次在线大联考（山东卷））设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为 A．或11 B．或11 C． D． 5．（25-26高一下·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【考点6：过圆上一点的切线方程】 1．（25-26高二下·上海·期中）经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 2．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二·全国·专题练习）已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【考点7：过圆外一点的切线方程】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为________. 2．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 3．（2026·广西·模拟预测）直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 4．（25-26高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点且与圆相切的直线方程为__________． 5．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【考点8：切线长】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则_____． 4．（2026·河北石家庄·一模）若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为__________. 5．（2026·天津河西·三模）若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【考点9：切点弦及其方程】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 2．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 3．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 4．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 5．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，，求的值. 【考点10：已知切线求参】 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 2．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·北京·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的一个取值为________（答案不唯一）． 5．（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆关于直线对称的圆与直线相切，则实数的取值可以是___________．（写出一个即可） 【考点11：直线与圆位置关系中的最值问题】 1．（2026·湖南长沙·三模）已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 2．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 3．（25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 4．（数学终极押题猜想02（天津专用））已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 5．（25-26高一下·北京·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为___________，当弦长最大时，直线方程为_____________. 【考点12：直线与圆位置关系中的定点定值问题】 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 2．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 3．（专题6.3圆锥曲线的六大弦长（一般弦、焦点弦、中点弦、直角弦、定点弦、分点弦）问题全攻略（8大考向）（重难专练）（全国通用））如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 5．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $