浙江省杭州学军中学2026-2027学年上学期开学考试高二数学模拟卷2

**基本信息** 杭州学军中学高二开学数学模拟卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查集合、立体几何、函数等模块，融入统计数据分析、立体几何翻折等情境，聚焦基础知识与核心素养，助力开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、立体几何（异面直线）、概率（独立事件）|结合充要条件判断，考查逻辑推理（数学思维）| |填空题|3/15|三角函数求值、正四棱台体积、外心向量运算|注重空间观念与运算能力（数学眼光）| |解答题|5/77|统计（频率分布直方图）、三角函数图像、立体几何翻折、函数不动点|融入数据分析（15题）、创新应用（19题），体现数学语言表达|

《高二数学模拟卷2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C B D C BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．D 【详解】， 故， 又，故， ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 2．B 【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论. 【详解】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面 而两条直线为异面直线时，它们必没有交点， 所以选项B正确，选项ACD错误. 故选：B. 3．A 【详解】，， 因为事件，相互独立，所以事件，相互独立， 所以. 4．B 【详解】在上的投影向量为. 5．C 【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可知轴截面内切圆的半径为，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面如图， 由题意知内切圆和外接圆同圆心， 即的内心与外心重合，则为正三角形， 由题意内切圆的半径为， 的边长为， 圆锥的底面半径为，高为3， 故圆锥体积， 故选： 6．B 【分析】问题先转化为方程在时只有一个实数根，然后得到，通过构造新函数，判断新函数的奇偶性，利用新函数的奇偶性的性质进行求解即可. 【详解】因为函数与的图象在时有且只有一个交点， 所以方程在时只有一个实数根， ， 于是问题转化为直线与函数在时只有一个交点， 因为， 所以函数在时是偶函数， 根据偶函数的对称性可知：当直线与函数在时只有一个交点时，只需. 7．D 【分析】通过分析函数的特征，结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】当时，时，， 此时存在使得成立； 当时，当时，开口向上，对称轴为， 若，即时，函数在上单调递增， 若，此时函数在上单调递增， 要使存在使得成立， 则，解得，则； 若，此时函数在上单调递减， 要使存在使得成立， 则，解得，则； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时存在使得成立. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D 8．C 【分析】将其转化为函数，结合图像即可求解 【详解】考虑为到的斜率， 因为， 因为函数在与上均递增，得大致图象，如图所示， 若，则，而 同号，由图及单调性可得； 若，则必定成立，故为充要条件． 9．BCD 【详解】 选项A：取特殊值，满足，此时，故A错误； 选项B：根据复数模的运算性质，，故B正确； 选项C：的几何意义是复平面上单位圆（圆心为，半径为1）上的点到点的距离， 圆心到的距离为2，因此最大距离为（当时取得最大值），故C正确； 选项D：解方程，由求根公式得根为， 计算根的模：，满足，因此可能是该方程的根，故D正确. 10．ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B、D，利用乘“1”法及基本不等式判断C. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，即，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C： ， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故C错误； 对于D：由， 可得，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为4，故D正确. 故选：ABD 11．BC 【分析】根据线面平行的定义判断A；求出点P关于平面和的对称点的距离判断B；计算截面面积判断C；找出与过点A且与直线和BC所成的角都为的直线条数判断D. 【详解】直三棱柱的所有棱长均为3， 对于A，由，得， 显然构成一个平面，连接DF，EG，和， 正方形中，，设，显然≌， 则，即为的中点，于是，即为DF的中点， 同理设，则为EG的中点，因此是中位线， 由为中线，得P为中点，因为平面FGED， 因此平面FGED，即平面PFG与平面FGED为同一个平面，则DE在平面PFG内，A错误； 对于B，显然平面与平面所成锐二面角大小为， 计算可得点H到平面和的距离，由选项A知，是的中点， 则点P到平面和的距离，令点P关于平面和的对称点分别为，， 则当M，N分别取直线与平面和的交点时，的周长最短， 由，得， 所以周长的最小值为，B正确； 对于C，由选项A知，D，E在过P，F，G三点的平面内，截面为四边形FGED， ，则截面面积为，C正确； 对于D，显然，过点A作BC的平行线，则， 与成的所有直线构成以A为顶点的两个对顶圆锥（为轴）， 同理与成的所有直线构成以A为顶点两个对顶圆锥（为轴）， 而与所成角，因此圆锥面上公共直线共有两条， 所以过点A且与直线和BC所成的角都为的直线有2条，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 12．/ 【分析】根据诱导公式计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故答案为：. 13． 【详解】已知在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为10，侧棱长为5， 则，， 设该正四棱台的高为h， 则. 则， 即该正四棱台体积为. 14． 【分析】设，由题可得在外，该三角形为钝角三角形，再将已知条件整理并两边平方可得，然后由外心性质结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】设，因，则， 据此可得在外，该三角形为钝角三角形. . 设， 则. 如下图，设， 因为，则， 结合四边形内角和为，可得， 则， 由题可得，则. 15．(1) (2) (3)7 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积为1计算可得； （2）利用百分位数定义计算可得结果； （3）求出红灯等待时间低于85秒的频率即可估计出所求次数. 【详解】（1）易知组距为10，依题意可得， 解得； （2）易知和两区间的频率之和为； 前三组，，的频率之和为； 因此第60百分位数位于区间内， 设第60百分位数为，所以， 解得 （3）由频率分布直方图可知红灯等待时间低于85秒的频率为， 所以估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为次. 16．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）根据三角函数图象性质利用周期性和点坐标计算即可求出解析式； （2）结合平移规则利用整体代换法可求出单调区间. 【详解】（1）函数图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为， ，，得； ，，解得； 由可得； 因此；又，； 可得. （2）将的图象向左平移个单位后得到； 令，解得； 令，解得； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； ，在上单调递增，在上单调递减. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在线段上取一点，使得，利用面面平行的判定定理证明所以面面，然后再由面面平行的性质即可证明； （2）首先证明面面，然后作，即可得面，利用体积转化法求出点到平面的距离，最后由线面角的定义求解. 【详解】（1）由题意，在线段上取一点，使得，则 ， 又 ，于是四边形为平行四边形，所以， 面 面，所以面， ，故 面， 面，所以面， 又，面，所以面面 ， 因为面，所以面． （2）， 由余弦定理，即， 故，，由折叠知， 又因为面，，所以面， 面，故面面， 又为正三角形，作 ， 因为面，面面，则面， ，即， 代入，， 解得， ， 设直线与平面所成的角为，则． 19．(1) (2)的最小值为1. (3)或. 【分析】（1）求出方程的解后可得不动点； （2）原不等式即为，根据的范围可求的最小值； （3）先求出的值域，再利用特征法得到或，再证明在该条件下不等式恒成立. 【详解】（1）令，则（负值舍去）， 故的不动点为. （2）即为， 整理得到，故即，而， 则恒成立，故，而，故， 故，故的最小值为1. （3）因为，故的值域为， 由双勾函数的性质可得在上为增函数， 故的值域为，依次有的值域为， 设，则在上恒成立， 若，取，则，即即，矛盾； 所以，而，故在上恒成立， 取，则，故或， 若，则在上恒成立①， 符合题意； 若，下证：在上恒成立， 即证：， 即证： ②， 由①可得，因，故， 且当时，，故②成立， 综上，或. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可通过特值探路得到不等式成立的必要条件，再证明在此条件为充分条件即可. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2026学年第一学期开学考试 高二数学模拟卷2 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则下列说法正确的是（        ） A． B． C． D． 2．“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知事件，相互独立，且，，则（     ） A．0.76 B．0.86 C．0.9 D．0.94 4．已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A． B． C． D． 6．已知函数与的图象在时有且只有一个交点，则（    ） A．-1 B． C．1 D．2 7．已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角为三个内角，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．的最大值为3 D．可能是方程的根 10．已知，，且，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最大值为4 11．如图，已知直三棱柱的所有棱长均为3，分别在棱，上，且分别为的中点，则（    ） A．平面 B．若分别是平面和内的动点，则周长的最小值为 C．若，过三点的平面截三棱柱所得截面的面积为 D．过点且与直线和所成的角都为的直线有且仅有1条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则___________． 13．已知在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为10，侧棱长为5，则该正四棱台体积为______. 14．已知O为的外心，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．小明利用地图软件统计出他近期100次早上从家到公司的导航过程中的红灯等待时间，他将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. (1)求图中的值； (2)估计小明红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计小明在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数. 16．已知函数图象上相邻的一个最低点与一个最高点分别为. (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求在上的单调区间. 17．已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 18．如图，已知平行四边形，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得． (1)若点在线段上，且，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知函数的定义域为，若使得，则称实数为函数的不动点．设函数． (1)求函数的不动点； (2)，，都有成立，求实数的最小值； (3)记，．试问是否存在常数，使得对任意，，都有．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $