第四章 一次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第四章一次函数单元卷，以闪送工资、租车方案等真实情境设计问题，覆盖函数概念、图像性质及应用，梯度合理，适配单元复习，发展抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|自变量取值范围、函数表达式、图像象限判断|结合购物优惠情境，考查数形结合思想| |填空题|5题|函数概念、一次函数增减性、分段计费|以声速与气温关系实例，强化数据意识| |解答题|5题|列解析式、图像信息提取、最优方案探究|设计动点问题与梯度计价综合题，提升推理能力与应用意识|

第四章 一次函数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 3．我们研究一次函数的图象和性质，可以利用数形结合的思想直观感知一些函数性质，当自变量从开始逐渐增大时，下列函数中函数值先到达的应该是（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数经过两点，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，已知一次函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 7．如图1所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿梯形的边由运动．设点运动的路程为，的面积为．把看作的函数，函数的图象如图2所示，则面积为(    )    A．10 B．16 C．18 D．20 8．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 9．已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 10．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准： （1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算； （2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）． 现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．向平静的水面投入一枚石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从________cm2变成________cm2．这一变化过程中________是自变量，________是关于自变量的函数． 12．已知，是直线（m为常数）上的两个点．则____（填入“”、“”或“”）． 13．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 14．声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 15．五一节期间，某商场进行打折促销活动，购物不超过200元按原价购买，购买超过200元的部分打八折，小明购买了原价为元的商品，则小明实付金额（元）与商品原价（元）之间的关系式为____________． 三、解答题 16．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 17．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 18．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 19．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 20．为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程： 第一步：的自变量的取值范围是全体实数； 第二步：与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象； 第四步：借助函数图象研究该函数的性质． (1)补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象： (2)观察的函数图象，完成以下问题： ①当___________时，函数有最小值为___________；当___________时，随的增大而增大． ②写出自变量的取值范围和因变量的取值范围． ③若直线与的图象有且只有一个交点，求的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C D C A C A C 1．【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 【详解】解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 2．【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据图表，观察发现w的值是r的值的2倍可得w与r之间的表达式． 【详解】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛． 3．【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数自变量的值，分别求出各函数中函数值为时对应的自变量的值，再进行比较，的值越小则函数值先到达，据此即可判断求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； ∵， ∴ 选项对应的最小，即函数值先到达， 故选：． 4．【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了根据一次函数的关系式判断其图象不经过某一个象限， 先将已知两点代入一次函数解析式，求出k和b的值得到函数解析式，再根据一次函数的图象性质判断其不经过的象限． 【详解】解：∵一次函数经过、两点， ∴将代入得， 将和代入得， 解得， ∴该一次函数解析式为， ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 5．【答案】D 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 【详解】解：由图象可知，，， ∴． 6．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 7．【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合 【分析】由题意知：，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：根据图可知当点在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在，之间； 所以在直角梯形中，，． 连接， ∴面积为 故选：A． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，得到相应的直角梯形中各边之间的关系．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力． 8．【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 9．【答案】A 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 10．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键． 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可． 【详解】解：当时，； 当时，， 故与的函数关系式为， 观察各选项，选项中的图象符合， 故选：． 11．【答案】 9π 36π 半径 面积 【知识点】函数的概念 【分析】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解． 【详解】解：当r=3时，圆的面积为9π； 当r=6时，圆的面积为36π； 这一变化过程中半径是自变量，面积是半径的函数． 故答案是：9π，36π，半径，面积． 【点睛】考查了函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）；变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量．常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的． 12．【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数（，为常数，），当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 14．【答案】1640 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【详解】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x的函数关系式是解题的关键． 根据商场所购买超过200元的部分打八折，可得出y与x的函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 即， 故答案为：． 16．【答案】y=10-x； 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围． 【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x， ∵x＞0且10﹣x＞0， ∴0＜x＜10． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列一次函数解析式的能力，熟知长方形周长公式是解题根本，由长宽为正可得自变量取值范围． 17．【答案】(1)60，90 (2) 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息． （1）用路程除以时间可得甲骑摩托车的速度，由图象求出两人速度和，即得到乙开车的速度； （2）用乙到达目的地所需的时间乘以甲的速度列式即可得求解． 【详解】（1）解：甲骑摩托车的速度为， 由图象可知，两人出发后相遇，故两人速度和为， ∴乙开车的速度为； 故答案为：60，90； （2）解：， ∴乙到达目的地时两人相距． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 19．【答案】(1)全体实数， (2)①；②；③ (3)函数向下平移个单位长度得，函数向左平移个单位长度得； (4) 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、一次函数图象与对称问题 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）先推导出函数，当时，随的增大而减小，得到当时，，进而推导出函数当时，，需满足对称轴，解得，即可解答． 【详解】（1）解：由图象，可知，函数的自变量的取值范围全体实数； 对于函数，当时，． （2）解：由图像，可知 ①图象与图象的交点坐标为； ②图象关于对称 ③对于函数，当时，的取值范围． （3）解：由图象，可知 函数向下平移个单位长度得， 函数向左平移个单位长度得； （4）解：如图， 函数， 当时，随的增大而减小， 即当时，， 函数的对称轴为， 且当时，， ∴函数需满足对称轴， 解得． 20．【答案】(1)解：补全表格如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 3 2 1 0 0 2 … 描点画图如下： (2)①；；；②自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为.③或． 【知识点】用描点法画函数图象、一次函数与几何综合、判断一次函数的增减性、求自变量的取值范围 【分析】（1）先补全表格，再描点画图即可； （2）①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③由过定点，再结合图象求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，； 画图略 （2）解：①当时，函数有最小值为；当时，随的增大而增大． ②由图象可得自变量的取值范围为任意实数，因变量的取值范围为. ③如图，当过时， ∴， 解得：， 当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 如图，当过时， ∴， 解得：， ∵当时，，此时两函数图象平行， ∴时，直线与的图象有且只有一个交点； 综上：直线与的图象有且只有一个交点，的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $