第七章 证明 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第七章“证明”单元测试，聚焦命题真假判断、平行线与全等三角形证明，通过盘山公路情境、纸带折叠操作等真实问题，提升推理意识与几何直观，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|命题真假判断（1-3题）、平行线判定（4题）、全等三角形（9题）|结合雨刮器（4题）、演讲排序（6题）等情境，考查逻辑推理| |填空题|5|举反例（11题）、命题识别（12题）、平行线条件（13题）|设置水晶球折射（14题）、直线位置关系（15题），体现数学眼光| |解答题|5|命题改写（17题）、几何探究（19-20题）|盘山公路（19题）分层设问，动点角关系（20题）培养创新意识|

第七章 证明 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．对于命题“若，则”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列选项，能说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（    ） A．（为常数） B．15 C．26 D．28 3．下列命题是真命题的是（   ） A．如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角 B．只有正数有平方根 C．正比例函数图象一定经过第一象限 D．勾股数一定是一组正整数 4．汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，某时刻雨刮器的位置如图①所示，其示意图如图②所示，，此时的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 5．如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 6．甲、乙、丙、丁四位同学将在学校举办的“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只演讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者．已知有两位演讲者在午餐前演讲，另两位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，丁在第一位或在第四位演讲，在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者，则第三位演讲者是（   ） A．甲 B．丙 C．甲或乙 D．乙或丁 7．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 8．判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） 方案Ⅰ 方案Ⅱ 沿图中虚线折叠并展开，若测得，则 先沿折叠，展开后再沿CD折叠，若测得，则 A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 9．如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，再添加哪个条件不能证明和全等的是 ①；    ②；    ③；    ④ A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 12．有下列语句：①画线段；②两个负数的差一定是负数；③同角的余角相等；④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有__________，是真命题的有__________．（填序号） 13．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 14．有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为______． 15．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 三、解答题 16．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 17．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补； (3)等角的余角相等． 18．指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 19．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 20．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D A C B D D B 1．【答案】A 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 2．【答案】C 【知识点】举反例 【分析】本题主要考查了举反例说明命题是假命题，要找出能说明命题为假的反例，需满足是偶数且不是4的整数倍这两个条件，据此分析各选项即可． 【详解】解：反例需同时满足：①是偶数；②不是4的整数倍． A选项（为整数），表示一个偶数，但它是一个代数式，不是一个具体的数值，不能直接作为反例； B选项15是奇数，不满足“偶数”的条件，排除； C选项26是偶数，且，不是整数，即不是4的整数倍，符合反例要求； D选项28是偶数，且，是4的整数倍，不符合要求． 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】平方根概念理解、正比例函数的性质、勾股树（数）问题、判断命题真假 【分析】本题主要考查了判断命题的真假．根据对顶角定义、平方根的性质、正比例函数图象性质、勾股数的定义，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、只有非负数有平方根，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、当正比例函数（）中时，图像经过第二、四象限，不经过第一象限，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、勾股数一定是一组正整数，原命题为真命题，故本选项符合题意； 故选：D 4．【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，理解平行线的判定定理是解答关键． 根据同旁内角互补，两直线平行来求解． 【详解】解：， ， 依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 6．【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查推理，解题的关键是根据题意进行推理即可． 分三种情况：若丙在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲；若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲，即可求解． 【详解】解：若丙在第一位演讲，则丁在第四位演讲， ∴此时第二位和第三位为甲和乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若丙在第二位演讲，丁在第一位演讲， 此时第三位，第四位为甲，乙， ∵在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者， ∴此时矛盾，不符合题意； 若若丙在第二位演讲，丁在第四位演讲， 则甲、乙在第一位和第三位演讲。 此时甲、乙之间恰为第二位的丙，符合在甲和乙之间演讲的仅有一位演讲者的条件， 故此种情况成立，第三位演讲者是甲或乙． 故选：C 7．【答案】B 【知识点】判断是否是命题、定理与证明 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 8．【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查平行线的判定，全等三角形的判定与性质．方案Ⅰ，利用内错角相等，两直线平行即可判定；方案Ⅱ，先判定，得出，即可判定． 【详解】解：对于方案Ⅰ， ∵， ∴, ∴方案Ⅰ可行； 对于方案Ⅱ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：， 故方案Ⅱ可行， 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法对四个条件分别证明即可． 【详解】解：①添加， 在和中， ， ；故①不符合题意； ②添加， ， ， 在和中， ， ；故②不符合题意； ③添加， 在和中， ， ；故③不符合题意； ④添加， ， ， ，， 不能判定和全等，故④符合题意； 故选：D． 10．【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】 ②③ ③ 【知识点】判断命题真假、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 13．【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 14．【答案】/106度 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质等知识，首先根据对顶角的性质可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．【答案】平行 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 16．【答案】一样大，理由如下： 设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】略 17．【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； (2) 如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补； (3)如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 【知识点】两直线平行同旁内角互补、举例说明假（真）命题、写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 18．【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 19．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 20．【答案】(1) 证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $