第五章 二元一次方程组 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元测试，通过10道单选、5道填空、5道解答题，全面考查方程组解法、应用及与几何、函数结合，注重数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|几何图形列方程组、古代问题应用、一次函数与方程组结合|融入《九章算术》文化素材，地砖拼接几何情境，考查抽象能力| |填空题|5题|实际问题列方程组、平方差公式与方程组、旅游住宿分配|旅游住宿现实情境，培养模型意识，代数变形考查推理能力| |解答题|5题|错解复原、流量套餐函数应用、无盖长方体制作|流量套餐、河道整治综合应用，几何展开图考查空间观念与创新意识|

第五章 二元一次方程组 单元测试2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为，宽为，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 3．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 4．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 6．如图，将直线向下平移8个单位长度后，与直线及x轴围成的的面积是（    ） A．25 B．28 C．30 D．35 7．解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 8．童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 9．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 10．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 二、填空题 11．学校组织名同学参加挖渠植树劳动，其中负责挖渠人数是植树人数的倍少人，问挖渠和植树各多少人？设挖渠为人，植树人，根据题意列出方程组____________． 12．若实数x，y满足方程组，则的值为_____． 13．某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共___________间． 14．表1和表2分别给出了两条直线：与上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值： 表1： x 0 1 2 y 1 3 5 表2： x 0 1 2 y 5 4 3 2 则方程组：的解为______． 15．在等式中，当，时，；当，时，；当，时，，则______，______，______． 三、解答题 16．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值． (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． (3)在（2）的条件下，是否存在k的值，使得关于x的方程有无数个解？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 17．某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 18．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 19．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 20．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A A C C C D C 1．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 由图示可得等量关系：①2个长个长个宽，②一个长一个宽，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据题意，得： ，即． 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题．甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选A． 5．【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由共买得2斗酒，可得，由总钱数为30钱，醇酒1斗值50钱，行酒1斗值10钱， 可得，即可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 6．【答案】C 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线向下平移8个单位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线得出B点坐标，联立两解析式得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵直线向下平移8个单位长度后的解析式为， 令，则， 解得：， ， ∵直线中，当时，， ， 联立方程， 解得， ， ． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】由题意知，得，， ，即，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，得，， ， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵将个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， 依题意得：， 解得：， ∴与的和为， 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查列代数式和一次函数在实际问题中的应用，关键在于根据促销活动分情况讨论总费用的表达式，同时结合玻璃罐数量为正整数的条件确定变量的取值范围． 【详解】解：对于选项A：根据总容量为千克，得购买乙罐的数量为，且为正整数，A选项成立，不符合题意； 对于选项B：当时，，B选项成立，不符合题意； 对于选项C：分两种情况讨论总费用： ①当时，甲罐无优惠，总费用； ②当时，甲罐享受立减元优惠，总费用； 因此C选项错误，符合题意； 对于选项D：由且为正整数，为非负整数，可得的可能取值为0、4、8： 当时，元； 当时，元； 当时，元； 故购买玻璃罐的最少费用为元，D选项成立，不符合题意； 故选：C． 11．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键以人数和挖渠和植树的人的数量关系列方程组求解． 设x人挖渠，y人植树，根据41名同学参加挖渠植树劳动，其中负责挖渠人数比植树人数的2倍少1人，可列出方程组． 【详解】解：设x人挖渠，y人植树， 根据题意得． 故答案为：． 12．【答案】5 【知识点】运用平方差公式进行运算、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出，再利用平方差公式代入求解． 【详解】解：， 由②得：， 由得：， 所以． 故答案为：5 13．【答案】19 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数和总费用列得方程，求解即可． 【详解】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间， 由题意得，， 解得， ∴x+y=19， ∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共19间， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图表，找出函数值相等时的点即为交点坐标，也是方程组的解． 【详解】解：由图表可知，两直线经过点， 所以，方程组：的解为：． 故答案为：． 15．【答案】 1 5 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出三元一次方程组，求解即可，正确得出三元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：1，，5． 16．【答案】(1)；； (2)； (3)． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的错解复原问题、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解求参数，熟练二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把代入，把代入，分别解方程即可求解； （2）把；代入，求得方程组的解，再将解代入，利用加减消元法求得的值，即可求解； （3）将的值代入，整理得，当时，方程有无数个解，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为， ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为， ∴， 解得； （2）解：由（1）得方程组为，解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在， 由（2）得关于x的方程为， 整理得， ∵关于x的方程有无数个解， ∴，解得． 17．【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 18．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 19．【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 20．【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据几何图形列二元一次方程组、几何体展开图的认识 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $