3.3 轴对称与坐标变化课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 这份同步练习以“轴对称与坐标变化”为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一对称点计算到复杂情境应用的知识进阶，适配新授课知识内化与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一对称点坐标计算（关于x轴、y轴对称）|单选1-4、填空8直接考查坐标变换规律，强化抽象能力| |提升层|对称性质应用（对称点关系判断、距离计算）|单选5-7、填空9-12结合图形与动点，发展几何直观| |综合层|综合情境应用（作图、动点、新定义“镜面点”）|解答15-16融入新定义与最值问题，培养推理意识与创新意识|

3.3 轴对称与坐标变化 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 4．已知点与关于轴对称，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 5．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知、两点的坐标分别是和，则下面四个结论正确的是（   ） A．、关于轴对称 B．、关于轴对称 C．、关于原点对称 D．、之间的距离为6 7．如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 10．如图是一幅老北京城示意图，其中西直门和东直门关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为轴和轴建立平面直角坐标系，若东直门坐标为，则西直门坐标为_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上存在一点C，使得的周长最小，则的周长的最小值是________． 三、解答题 13．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于y轴对称的，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)点E的坐标为 ． 14．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”． 例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”． 若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为． 如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为． 实验与探究： （1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′　 　、C′　 　； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　 　；（不必证明） 拓展与应用： （3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值． 16．如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． (1)求证：； (2)如图1，若，过点O作于点D，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C A A B B B 1．【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点关于对称轴对称的特点，当平面直角坐标系中两个点关于轴对称时，它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 即． 故选：A． 2．【答案】C 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查点关于坐标轴对称的坐标变换规律，特别是关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变． 依据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变进行分析即可． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，掌握轴对称与坐标变化的关系是解题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此判定． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点的坐标为， ∴点A与点关于x轴对称， 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质，牢记“横相反，纵相同”即可快速求解．根据关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，直接计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，即，纵坐标相等，即， ∴， 故选：A． 5．【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 6．【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点的坐标特征逐一判断各选项即可． 【详解】解：、两点的坐标分别是和，横坐标互为相反数，纵坐标相同， 则、关于轴对称， 、之间的距离为：， 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．设点的坐标为，由题意得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， 点和点关于水面所在直线对称，将水面看作平行于轴且过点的直线， ， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 8．【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 9．【答案】或 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 10．【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点的对称，根据题意，数形结合，掌握平面直角坐标系中点关于轴对称的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，西直门和东直门关于轴对称，若东直门坐标为，则西直门坐标为， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 12．【答案】 【知识点】两点之间线段最短、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴的周长为， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，点即为所求，此时的值最小，最小值为， ∴的周长的最小值是， 故答案为：． 13．【答案】(1)作图见解析 (2)点 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，平面直角坐标系内点的坐标， 对于（1），作点A关于y轴对称的点D，点B关于y轴对称的点E，点C关于y轴对称的点F，再依次连接可得答案； 对于（2），在平面直角坐标系内可知点E在第一象限，且到两个坐标轴的距离都是3，可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：如上图，点． 故答案为：． 14．【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 15．【答案】（1）（3，5）、（5，﹣2）；（2）（b，a）；（3）图见解析， 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点； （2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论； （3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求． 【详解】解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx， ∵A（0，2），A′（2，0）， ∴线段AA′的中点为（1，1）， ∵镜面直线经过原点和（1，1）， ∴镜面直线为y＝x， ∵B（5，3）、C（﹣2，5）， ∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2）， 故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； 故答案为：（b，a）； 拓展与应用： （3）∵E（﹣1，﹣4），平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； ∴E点关于直线l的镜面点E'的坐标为（﹣4，﹣1）， ∵D（1，﹣3）， ∴DE′＝＝， ∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 16．【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ； (2) (3)不变，其值为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识， （1）结合题意得，，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由三角形面积公式可得，代入数值即可获得答案； （3）连接，由三角形面积公式可得 ，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：若， ， ∴， ； （3）解：不变，其值为， 如下图，连接， ，，， ， ∵ ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $