1.2 一定是直角三角形吗 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股定理逆定理为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识进阶，适配新授课后分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数定义与直角三角形判定|单选1-3/填空9等直接考查概念，培养抽象能力| |能力提升|实际情境应用与网格问题|单选4-6/解答14结合图形与实际，发展几何直观| |综合应用|规律探索与综合证明|填空12/解答17探究勾股数规律，提升推理意识|

1.2 一定是直角三角形吗 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列各组数中，能围成直角三角形的是（    ） A．1， 1， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．6， 8， 9 3．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 4．如图，是公园一块四边形草坪．已知，，，，，这块草坪的面积是（ ） A．24 B．36 C．48 D．72 5．下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么，其中正确的是（    ） A．④ B．①③ C．①② D．②④ 6．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（　　） A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km 7．在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 8．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 二、填空题 9．将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数________． 10．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 11．如图，已知，，，．则_______度．    12．探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 13．已知是的三边长，若，则的形状是________． 三、解答题 14．如图，在正方形中，F为的中点，E为上一点，且，求证：． 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． (1)画出ABC关于直线MN对称的A1B1C1； (2)求AB1C的面积； (3)试判断ABC的形状并说明理由． 16．李爷爷家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：，，，，且．请你帮李爷爷计算一下这块草坪的面积． 17．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A A B B 1．【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．根据该定义即可得解． 【详解】解：选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，是勾股数，符合题意，选项正确； 选项，、不是正整数，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 4．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， 在中，，， 由勾股定理得， 因为， 所以， 所以． 这块草坪的面积． 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、不一定是正整数，所以不一定是勾股数，故①不正确，不符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故④正确，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 6．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、垂线段最短 【分析】首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，确定BD为最短距离，然后利用面积相等求得BD的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC，垂足为D， ∵62＋82＝102， ∴BC2＋AB2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， S△ACB＝AB•CB＝AC•BD， ×6×8＝×10×DB， 解得：BD＝4.8， ∴学校B到公路的最短距离为4.8km， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 7．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 8．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 9．【答案】5，12，13（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 10．【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 11．【答案】45 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：45． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出BC的长． 12．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 13．【答案】直角三角形 【知识点】绝对值非负性、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 14．【答案】 证明：设正方形的边长为， 即， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 在中，，，， ∵， ∴， ∴． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理解三角形以及勾股定理逆定理，设出边长根据勾股定理求解边长是解决本题的关键． 设出正方形的边长，根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理证明即可． 【详解】略 15．【答案】(1)见解析 (2)7 (3)直角三角形，见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、画轴对称图形 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的面积等于三角形所在的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）利用勾股定理列式求出AB、BC、AC，再根据勾股定理逆定理解答． 【详解】（1）解：△A1B1C1如图所示； ， （2）解：△AB1C的面积=4×4-×1×4-×2×3-×2×4 =16-2-3-4 =16-9 =7； ， （3）解：由勾股定理得，AB=， BC==5，AC==， ∵AB2+AC2=（）2+（）2=25=52， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． 16．【答案】这块草坪的面积是 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， ∵， ， ∵，，， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积． 17．【答案】(1)， (2) 10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得， ∴； （2）略 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $