1.2 一定是直角三角形吗 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦“一定是直角三角形吗”，通过基础巩固、能力提升、拓展应用三层设计，实现从勾股数概念到直角三角形判定及综合应用的知识进阶，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股数概念及简单判定|单选1-3直接考查勾股数定义与三边关系，填空9强化基本勾股数认知| |能力提升|直角三角形判定及性质综合|单选7-8结合网格与中线，填空12动态问题需分类讨论，培养几何直观| |拓展应用|规律探究与实际应用|解答17勾股数规律探究，16方向角问题，体现数学建模与应用意识|

1.2 一定是直角三角形吗 课前预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列是勾股数的一组是（   ） A．4，5，6 B．5，7，12 C．3，4，5 D．12，13，15 2．下列各组数中，能围成直角三角形的是（    ） A．1， 1， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．6， 8， 9 3．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 4．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为，则三角形零件的面积是（    ） A． B．0.9 C．0.75 D．0.54 5．下列说法中正确的是（   ） A．已知，，是三角形的三边，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．，，是一组勾股数 D．在中，，所以 6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互补 B．三角形内角和等于180° C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 7．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 二、填空题 9．将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数________． 10．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 11．下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是___________（填序号）． 12．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，，当长为________时，为直角三角形． 13．若的三边满足为奇数，且能被3整除，则__________，是__________． 三、解答题 14．如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 15．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 16．甲、乙、丙三人分别在操场上的点，，处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的西偏北方向，则丙在甲的什么方向？    17．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数： 组别 第1组 第2组 第3组 (1)根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数． (2)请你猜想出第组（为正整数），并证明这是一组勾股数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D D D C A 1．【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，若三个正整数满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴5，7，12不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； D、∵， ∴12，13，15不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 4．【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理逆定理可得此三角形为直角三角形，两直角边分别为，即可求解面积． 【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为， ∴， ∴该三角形零件为直角三角形， ∴面积为：， 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、勾股数，根据勾股定理和勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当，是直角三角形的两直角边，是直角三角形的斜边时，，故A选项说法错误； B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故B选项说法错误； C、勾股数指满足的三个正整数，，，，且，故C说法错误； D、在中，，所以，故D选项说法正确． 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理逆定理解题． 【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵ ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 8．【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．【答案】5，12，13（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 10．【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 11．【答案】②④/④② 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数． 12．【答案】或或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，   ， ， 当为直角三角形时，， 即， 解得，； 同理可得：当时， 由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时， 由得：， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 13．【答案】 13 直角三角形 【知识点】三角形三边关系的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据三角形的三边关系，先求出c得取值范围，再根据c为奇数且能被3整除可得c得值，从而确定的形状． 【详解】解：∵是的三边，， ∴， 又∵c为奇数， ∴， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 设 ∴， ∴c除以3的余数是1， ∵，这四个数中只有13除以3的余数是1， ∴． ∵， ∴ ∴是直角三角形． 故答案为：13，直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，根据三角形的三边关系结合c为奇数且能被3整除得出c的值是解题的关键． 14．【答案】 证明：∵， ∴， ∵，，． ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，得到，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】略 15．【答案】 证明：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】略 16．【答案】丙在甲的西偏南（或南偏西）方向 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查方位角，涉及勾股定理的逆定理，由题中所给的线段长，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，且，再结合题中所给方位角即可得到答案，熟记方位角定义及勾股定理的逆定理的运用是解决问题的关键． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 丙在甲的西偏南（或南偏西）方向． 17．【答案】(1)16；63；65 (2)第n组勾股数为：，，； 证明： ， ， ∴， ∴，，是勾股数． 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数的判断，数字规律探索，解题的关键是根据给出的数据得出一般规律． （1）根据给出的数据，得出一般规律，求出第7组勾股数即可； （2）根据一般规律写出第组，根据勾股数定义和整式混合运算法则进行证明即可． 【详解】（1）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 即第7组勾股数为16；63；65； （2）解：第1组，，，， 第2组，，，， 第3组，，，， ……， 第7组，，，； 第n组，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $