1.3 勾股定理的应用 课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，分层设计梯度清晰，从基础计算到综合实践，培养几何直观与空间观念，提升应用意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接应用|单选网格问题、填空折断旗杆题，巩固基本计算与几何直观| |中档|情境化问题解决|圆柱最短路径、噪音影响时间题，体现模型意识与空间观念| |提高|综合实践与探究|航海问题、网格面积综合题，发展推理能力与创新意识|

1.3 勾股定理的应用 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 2．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（    ） A．24 B．25 C．15 D．20 4．如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 5．如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为（　　） A．13 B． C．15 D．10 6．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长和，已知长的边线为南北向，则长的边线方向为（    ） A．东西向 B．东北向 C．东南向 D．西北向 7．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（   ） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 8．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 9．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 10．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 二、填空题 11．如图，在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，则______． 12．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有_____m高． 13．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 14．运用几何变换探索图形之间的关系是解决几何问题的一种常用方法．如图，是长方形的对角线，四边形是正方形，且位于长方形内，连接，将沿折叠得到，将沿折叠得到，点恰好落在上，若，则长方形的面积为_________． 15．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm 三、解答题 16．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)求海港到直线的距离； (2)台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？ 18．两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    19．如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 20． 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了 的面积． (1)在图中，所画的的三边长分别是 ， ，= ，的面积为 ， 点到的距离为 ； (2)在图所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使 ，，，并求出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B A A A C D C 1．【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求出的长度． 【详解】解：设，依题意，得，， 在中，根据勾股定理 在中，根据勾股定理 ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找到为梯子长等量关系是解题的关键． 4．【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点，的最短距离为线段的长， 由图可知：，， 为最短路径为：， 则蚂蚁爬的最短路线长为13， 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、方向角的表示 【分析】本题考查方向角，勾股定理逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解∶如图，，， ∴，， ∴， ∴， ∵长的边线为南北向， ∴长的边线方向为东西方向， 故选∶A． 7．【答案】A 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】两个笔筒粗细相同，底面直径相等，再根据勾股定理，构造方程即可求解． 【详解】解：设铅笔的长度为， 则， 解得：， 则铅笔的长度为． 8．【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 11．【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b，分别求出，，和，根据，再由正方形，的面积相等，得出． 【详解】解：设甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b， 则，，，， ∴，S正方形EFGH＝， ∵正方形，的面积相等， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解题关键在于设出甲正方形网格中每一小格长度为a，乙正方形网格中每一小格长度为b． 12．【答案】16 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出，则即为旗杆的高． 【详解】解：根据题意，在中，，， ， ， 即旗杆原来有高． 故答案为：16． 13．【答案】 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 14．【答案】4 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质可知，设正方形的边长，则，在中，根据勾股定理，可求出x的值，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：将沿折叠得到，将沿折叠得到， ， 点恰好落在上， ． 设正方形的边长，则． 在中，， ， 整理得． ， 长方形的面积为． 故答案为：4． 15．【答案】16 【知识点】最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 16．【答案】3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 17．【答案】(1)海港到直线的距离为 (2) 解：由（1）可知，海港到直线的距离为， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆，    ∵， ∴海港受台风影响． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理先求出的长度，再运用等面积法即可求解； （2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是直角三角形， ∴（）， 如图所示，过点作于点，    ∴， ∴（）， ∴海港到直线的距离为． （2）略 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 18．【答案】E点应该选在距B点的地方． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】首先设，则，根据勾股定理构建方程，从而得出的值． 【详解】解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 19．【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：根据题意得：， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 20．【答案】(1)，，，，； (2) ，， 画图如下，其中． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． 借助网格图形与勾股定理分别计算出、、的长度，利用割补法求出的面积，再利用三角形的面积公式求出边上的高，即为点到的距离； 首先根据和的长度可知，，，借助勾股定理和网格图形画出和，连接，即可得到． 【详解】（1）解：如下图所示，借助网格， 可得：，，， 在的正方形中， ， 又， ， 解得：； 故答案为：，，，，； （2）解：略． 学科网（北京）股份有限公司 $