1.1 探索勾股定理 课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，构建勾股定理从概念理解到实际应用再到创新迁移的完整巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理基本计算、面积关系|单选题1-6直接考查定理应用，填空题11-13巩固平方关系| |综合应用|实际情境、弦图综合|单选题7-10结合荷花倾斜、蚂蚁爬行等情境，解答题16-17解决实际问题| |拓展探究|定理证明与迁移|解答题18-20通过垂美四边形、赵爽弦图证明及代数式最值探究，发展推理与创新意识|

1.1 探索勾股定理 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，在中，，则的长为（   ） A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2 2．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 3．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．三角形内角和定理 C．三角形全等 D．中心对称图形 4．如图，中，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；…，按照这个规律，在中，（    ） A．1 B． C．3 D． 5．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 7．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（   ） A． B． C． D． 8．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程 取是（ ） A．12cm B．10cm C．20cm D．无法确定 10．如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 12．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简） 13．三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 14．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 15．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    三、解答题 16．如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，B两点间的距离． 17．如图，四边形和四边形都是正方形，请在图中再画出一个正方形，使它的面积等于已知的两个正方形的面积之和． 18．【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； (2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长． 19．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 20．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A D B A B D 1．【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的面积， 先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等得出答案即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】数字类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据等股定理分别求出、、……、，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， …… ∴ ∴， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 7．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 8．【答案】A 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 9．【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识、两点之间线段最短、用勾股定理构造图形解决问题、 圆柱的展开图 【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开， 底面半径为2cm， ， 在中， ，， ． 故答案为：B． 【点睛】本题考查的是平面展开，最短路径问题，立方体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理的应用的有关知识．解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 10．【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断④，利用①④可判断③． 【详解】解：∵大正方形面积为49， ∴大正方形边长为7， 在直角三角形中，， 故说法①正确； ∵小正方形面积为4， ∴小正方形边长为2， ∴， 故说法②正确； ∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ∴， ∴， 故说法④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故说法③正确， 故选D． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股弦图，解题的关键是利用大正方形面积和小正方形面积得出大正方形和小正方形的边长． 11．【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 13．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、以弦图为背景的计算题 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 15．【答案】21 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 16．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 答：A，B两点间的距离是． 17．【答案】 如图所示，连接，以为边长作正方形，则四边形即为所求作的正方形． 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理可得，以为边长作正方形，此时，四边形即为所求作的正方形． 【详解】略 18．【答案】(1)， 证明：设与相交于点E． ， ， 由勾股定理得，， ， ． (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可； （2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可． 【详解】（1）略 （2）连接，相交于点N，交于点M． ， ，即， 又，， ≌， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（1）得，， ，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键． 19．【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【详解】略 20．【答案】(1) 验证：在图中，， 在图中， ∴， ∴． (2)； (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $