函数的应用专项训练A卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦单元知识系统性检测，通过标准化题型结构强化基础应用与规范表达，培养运算推理能力与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选）|8题|考查基础概念与辨析能力|概念生成到简单应用的逻辑链条| |选择（多选）|3题|综合考查知识关联与推理意识|原理推导与多维度辨析的结合| |填空|3题|聚焦关键能力与简洁表达|核心知识的直接应用与转化| |解答|5题|强调系统论证与过程规范|知识网络构建与综合应用拓展|

2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 函数的应用 A卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D A A C A C D CD ABD ABD 1．B 【解析】令，得：，即，两边取自然对数，得：. 2．D 【解析】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 3．A 【解析】因为， 所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）. 4．A 【解析】由题意得，原迁移率， 现迁移率，可得. 5．C 【解析】由题意，当时，，所以A不正确； 当，时，，所以B不正确； 令，由，可得，解得， 所以当时，图象总在图象下方，所以C正确； 当时，总有，不存在使得，所以D不正确． 6．A 【解析】令得． 由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 7．C 【解析】由函数， 因为在定义域上单调增且零点为， 在定义域上单调减且零点为， 故与在定义域内函数值正负相反且零点重合， 如图所示，则，所以． 8．D 【解析】易知函数关于点成中心对称，且其最小正周期为，值域为， 又函数满足； 则函数也关于点成中心对称， 因为函数在上单调递减，且当时，；当时，， 则的值域为， 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且由对称性可知这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知． 9．CD 【解析】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点， 所以若函数不单调，则至少有一个实数根， 若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根， 故选：CD． 10．ABD 【解析】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或. 故选：ABD． 11．ABD 【解析】，所以，，则在处的切线为， 令，得，即，故A正确； 在处的斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，得，即，所以，故B正确； 方程在的正根为， 用“二分法”求方程在上的近似解： 第一步：中点，，新区间； 第二步：中点，，新区间； 第三步：中点. 又用“牛顿切线法”求近似解：，，， 第三步. 故，故C错误，D正确． 故选：ABD． 12．2 【解析】在单调递增，为增函数， 在单调递增， 又， 函数有唯一的零点，，则大于的最小整数是． 故答案为：． 13． 【解析】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得. 故答案为： 14． 【解析】由题意可得则即 因为，所以． 故答案为：． 15．【解析】（1）由题意知，即为函数的一个零点， 则； （2）假设存在实数，使，， 则，解得， 即存在实数，使，，此时. 16．【解析】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令，则， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，则， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 17．【解析】（1）当时，，此时函数图象过点，则，解得； 当时，设函数解析式为，依题意，，解得， 所以所求函数关系式为. （2）由，即，解得，而，则， 由，解得，, 所以服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 18．【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为，所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，，则， 所以； （3）因为，所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令，则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 19．【解析】（1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. （2）证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 函数的应用 A卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的零点为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（     ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．向右平移1个单位（纵坐标不变） D．向上平移2个单位（横坐标不变） 4．当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（    ） A． B． C． D．2 5．已知，，则下列说法正确的是　　 A．时，恒有 B．与函数图象仅有唯一交点 C．时，图象在图象下方 D．存在使得 6．已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 8．函数与的图象在上有n个不同的交点，则（   ） A．2026 B．2027 C．4052 D．4053 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间上（    ） A．方程没有实数根 B．方程至多有一个实数根 C．若函数单调，则必有唯一的实数根 D．若函数不单调，则至少有一个实数根 10．已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 11．令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点处作抛物线的切线交x轴于；在点处作抛物线的切线交x轴于；在点处作抛物线的切线交x轴于…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记.若用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的零点为，则大于的最小整数是_____． 13．若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 14．放射性核素锶89的质量会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则，，之间的关系为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知为实数，函数，,是函数的零点. (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 16．（15分）已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 17．（15分）某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． (1)写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 18．（17分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 A卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $