第15讲函数模型及其应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过多情境题型构建从抽象建模到求解验证的逻辑链条，强化数学应用与建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象识别|1题|动态过程的函数图象表征|从实际情境抽象函数变化趋势| |分段函数应用|2、5题|阶梯式价格/优惠方案计算|分段函数在经济问题中的精准应用| |优化问题|3、13题|利润/成本的最值求解|函数建模与导数/二次函数性质结合| |指数对数模型|4、8、11、12题|衰减/增长规律的定量计算|指数对数函数性质在科学问题中的迁移| |跨学科情境|7、10、14题|物理/环境等领域的数学表达|多学科问题转化为函数模型的能力培养|

第15讲　函数模型及其应用 (时间:45分钟) 1.游泳池原有一定量的水,打开进水阀进水,过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,直到水排完.已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变.用h表示游泳池的水深,t表示时间,则下列函数图象中能反映所述情况的是 (　 ) 2.[2024·云南昆明模拟] 下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格: 一次购买件数 1~10 11~50 51~100 101~300 大于300 每件价格/元 37 32 30 27 25 张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具,则张师傅最多可购买这种玩具 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.116件 B.110件 C.107件 D.106件 3.某大型家电商场在一周内计划销售A,B两种电器,已知这两种电器每台的进价都是1万元,若厂家规定一家商场在一周内进货B种电器的台数不高于A种电器台数的2倍,且进货B种电器至少2台,A,B两种电器每台的售价分别为1.2万元和1.25万元.若该家电商场每周用来进货A,B两种电器的总资金为6万元,所进电器都能销售出去,则该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润的最大值为(利润=售价-进价) (　 ) A.1.2万元 B.2.8万元 C.1.6万元 D.1.4万元 4.有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物,氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,使臭氧含量Q随时间t(单位:年)呈指数型函数变化,当氟化物的排放量维持在某种水平时,满足关系式Q=Q0e-0.002 5t,其中Q0是臭氧的初始量,则臭氧含量减少初始量的大约需要(取ln 2≈0.69) (　 ) A.276年 B.552年 C.414年 D.483年 5.某超市在“五一”活动期间推出如下线上购物优惠方案:一次性购物在99元以内(含99元),不享受优惠;一次性购物在99元以上(不含99元),299元以内(含299元),一律享受九折优惠;一次性购物在299元以上(不含299元),一律享受八折优惠.小敏和小昭在该超市购物,分别挑选了原价为70元和280元的商品,如果两人把商品合并由小昭一次性付款,并把合并支付比他们分别支付节省的钱按照两人购买商品原价的比例分配,则小敏需要给小昭　　　　元.  6.[2024·浙江金华模拟] 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为a kW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后的新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为μ).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h).已知μ=0.2a,为保证电力部门的收益比上年至少增长20%,则最低的电价可定为　　　　元/(kW·h).  7.[2022·北京卷] 在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　 ) A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 8.[2024·江苏苏州三模] 点声源在空中传播时,衰减量ΔL(单位:dB)与传播距离d(单位:米)之间的关系式为ΔL=10lg.若传播距离从20米变化到40米,则衰减量的增加值约为(参考数据:lg 5≈0.7) (　 ) A.3 dB B.6 dB C.9 dB D.12 dB 9.(多选题)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车距离x(单位:千米)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是 (　 ) A.当打车距离为8千米时,乘客选择乙方案省钱 B.当打车距离为10千米时,乘客选择甲、乙方案均可 C.当打车距离为3千米以上时,甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D.甲方案中,当打车距离在3千米内(含3千米)时,付费5元,当打车距离大于3千米时,每增加1千米费用增加0.7元 10.(多选题)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注,已知放射性物质数量随时间t的衰变公式为N(t)=N0,N0表示物质的初始数量,τ是一个具有时间量纲的数,研究放射性物质常用到半衰期,半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间.已知ln 2≈0.7,下表给出了铀的三种同位素τ的取值:若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1,T2,T3,则 (　 ) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T=τln 0.5 B.T与τ成正比例关系 C.T1>T2 D.T3>10 000T1 11.用指数模型y=e0.44t描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t(单位:天)的变化规律,则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为　　　　天.(ln 3≈1.10,结果精确到0.1)  12.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301 0)  13.某企业生产一种生活物资,单笔订单最少预定生产物资10吨,已知生产一批物资所需要的固定成本为5千元,每生产x吨物资另需流动成本f(x)千元,当生产量小于20吨时,f(x)=-x2+49x-205,当生产量不小于20吨时,f(x)=-30ln x+24x+5.该企业为了提高企业的诚信度,赢得良好的社会效益,自愿将自身利润降到最低(仅够企业生产物资期间的开销),将每吨物资的售价降为25千元,已知生产的物资能全部售出. (1)写出总利润g(x)(单位:千元)关于生产量x(单位:吨)的函数解析式(注:总利润=总收入-流动成本-固定成本). (2)当生产量为多少时,总利润最小?最小总利润是多少(参考数据:ln 20≈3.0)? 14.我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为“声压”,用P表示(单位:Pa),声压级SPL(单位:dB)表示声压的相对大小,已知SPL=klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时,声压P会变为原来的1000倍. (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式. (2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,一般当声压级SPL<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习?请说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3) 参考答案 第15讲　函数模型及其应用 1.D　[解析] 游泳池原有一定量的水,故函数图象不过原点,排除A,C;过了一段时间关闭进水阀,再过一段时间打开排水阀排水,故函数值有一段时间不变,排除B.故选D. 2.C　[解析] 设购买的件数为x,花费为y元,则y=当x=107时,y=27×107=2889<2900,当x=108时,y=27×108=2916>2900,所以张师傅最多可购买这种玩具107件,故选C. 3.D　[解析] 设该商场在一周内进货B种电器的台数为x,则x≥2,一周内进货A种电器的台数为6-x.设该商场在一周内销售A,B两种电器的总利润为y万元,由题意可得可得2≤x≤4,且x∈N,则y=0.2(6-x)+0.25x=0.05x+1.2,故ymax=0.05×4+1.2=1.4.故选D. 4.B　[解析] 由题意可得,Q0e-0.002 5t=Q0,则e-0.002 5t=,则e0.002 5t=4,所以0.002 5t=2ln 2≈1.38,可得t≈552,故臭氧含量减少初始量的大约需要552年.故选B. 5.61.6　[解析] 由题可得,两人把商品合并由小昭一次性付款,实际付款为(70+280)×0.8=280(元),他们分别支付共付款70+280×0.9=322(元),故节省了322-280=42(元),故小敏需要给小昭70-42×=61.6(元). 6.0.6　[解析] 设电价定为x元/(kW·h),x∈[0.55,0.75],则由题意可得(0.8-0.3)a×1.2≤(x-0.3),整理可得(x-0.5)(x-0.6)≥0,又x∈[0.55,0.75],故x∈[0.6,0.75],故最低的电价可定为0.6元/(kW·h). 7.D　[解析] 结合图象逐一验证:当T=220,lg P=lg 1026>3时,由图象可知二氧化碳处于固态,故A错误;当T=270,lg P=lg 128∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于液态,故B错误;当T=300,lg P=lg 9987≈4时,由图象可知二氧化碳处于固态,故C错误;当T=360,lg P=lg 729∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D. 8.B　[解析] 当d=20时,ΔL1=10lg(100π),当d=40时,ΔL2=10lg(400π),则ΔL2-ΔL1=10lg(400π)-10lg(100π)=20lg 2=20(lg 10-lg 5)≈20×(1-0.7)=6.故选B. 9.BC　[解析] 对于A,当打车距离x满足3<x<10时,甲方案对应的函数图象在乙方案对应的函数图象的下方,故当打车距离为8千米时,乘客选择甲方案省钱,故A错误;对于B,当打车距离为10千米时,支付费用均为12元,因此乘客选择甲、乙方案均可,故B正确;对于C,当打车距离为3千米以上时,甲方案每千米增加的费用为=1(元),乙方案每千米增加的费用为=(元),故甲方案每千米增加的费用比乙方案多,故C正确;对于D,由题图可知,甲方案中,当打车距离在3千米内(含3千米)时,付费5元,当打车距离大于3千米时,每增加1千米费用增加1元,故D错误.故选BC. 10.BD　[解析] 对于A,由题意得N(t)=N0,又N(t)=N0,故N0=N0,两边取对数得ln 0.5=-,则T=τln 2,故A错误;对于B,由A可知,T与τ成正比例关系,故B正确;对于C,由B可知,T与τ成正比例关系,因为铀234的τ值小于铀235的τ值,所以T1<T2,故C错误;对于D,T3=6.475×109ln 2,T1=3.558×105ln 2,故=>1,故D正确.故选BD. 11.2.5　[解析] 设从t1开始观察,在t2时,该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍,则=3,所以=3,则有0.44(t2-t1)=ln 3,所以t2-t1=≈2.5,故需要的时间约为2.5天. 12.74　[解析] 由题知L=0.5×,依题意得0.4=0.5×,则D=,则L=0.5×.由L=0.5×<0.2,得G>18lo==≈73.9,所以所需的训练迭代轮数至少为74. 13.解:(1)由已知可得f(x)= 又g(x)=25x-f(x)-5,所以当x∈[10,20)时,g(x)=25x-(-x2+49x-205)-5=x2-24x+200,当x∈[20,+∞)时,g(x)=25x-(-30ln x+24x+5)-5=30ln x+x-10, 故g(x)= (2)当x∈[10,20)时,g(x)=x2-24x+200=(x-12)2+56,g(x)min=g(12)=56.当x∈[20,+∞)时,g(x)=30ln x+x-10,所以g'(x)=+1>0,所以当x∈[20,+∞)时,g(x)单调递增,故g(x)min=g(20)=30ln 20+20-10=30ln 20+10≈100. 因为56<100,所以当生产量为12吨时,总利润最小,最小总利润为56千元. 14.解:(1)由题意可得,klg+60=klg,即klg+60=k,所以3k=60,解得k=20,故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL=20lg. (2)不会干扰我们正常的学习,理由如下:当SPL=40时,由20lg=40,得lg=2,可得P1=P2=2×10-3,所以P==P1=2×10-3, 将其代入SPL=20lg可得SPL=20lg=20lg(×102)=40+10lg 2≈43<45, 故不会干扰我们正常的学习. 1 学科网（北京）股份有限公司 $