函数的应用专项训练B卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦高考数学一轮单元复习，通过标准化答题卡设计实现规范作答训练，强化数学思维的严谨性与运算能力的精准性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8题/多选3题|基础概念辨析与综合应用结合，部分选对给分机制|从单一知识点辨析到多概念交叉，构建知识网络| |填空题|3题|聚焦核心概念理解与简洁表达|强化数学语言的精准性，衔接概念与运算| |解答题|5题|分步给分，强调逻辑推理与过程表达|从基础运算到综合应用，体现数学思维的条理性|

2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 函数的应用 B卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A D D B B B B BCD BCD ACD 1．A 【解析】两个集合均为点集，交集即是函数与的图象交点构成的集合， 则中的元素个数即是方程的解的个数， 即函数的零点个数，而函数在上都递增， 则函数在上递增，而， 所以函数有一个零点，即中元素个数为1. 故选：A 2．A 【解析】函数，定义域为， 当时，，当时，， 根据零点存在定理，知此时函数必有零点，所以充分性成立； 当，时，，易知，所以函数有零点， 此时，所以必要性不成立. 故“”是“函数有零点”的充分不必要条件. 故选：. 3．D 【解析】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 4．D 【解析】因为在上单调递增，且， 所以，当时，当时， 又因为是定义域为R的奇函数，所以在上单调递增， 所以，当时，当时， 再根据是定义域为R的奇函数，可以得到， 综上所述，当时，，当时，； 因为，所以，或，解得. 故选：D 5．B 【解析】，将代入，得， 整理得：，两边取自然对数：，解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 6．B 【解析】函数的定义域为非零的实数集. 选项A：设， 因为， 所以函数是偶函数，故本选项不正确； 选项B：设， 因为， 所以函数是偶函数，故本选项正确； 选项C：由上可知：函数是偶函数， 当时，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确； 选项D：由上可知：函数是偶函数， 当时，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确； 故选：B 7．B 【解析】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以，则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 8．B 【解析】因为是定义在上的单调函数， 所以方程中，只存在一个常数满足题意， 令，即， 所以， 当时，解得， 所以，即，所以， 因为是方程的解， 所以，即， 所以，即， 所以，因为， 所以. 9．BCD 【解析】由已知， 则， ， 则，即函数在区间内不一定有零点，A选项错误； ， 则，即函数在区间内一定有零点，B选项正确； 又 ， 则，即函数在区间内一定有零点， 即函数在内一定有零点，C选项正确； ， ， 则，即函数在区间内一定有零点，D选项正确； 故选：BCD. 10．BCD 【解析】因为，，为某一个三角形的三条边长， 所以，对任意，，，恒成立， 函数， 当时，，满足，符合题意； 当时，在上递减， 所以函数的值域为， 所以且， 所以，又，所以， 当时，在上递增， 函数的值域为， 所以且， 所以，解得，所以， 综上的取值范围是． 故选：BCD． 11．ACD 【解析】设，作单位圆，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接. 由三角函数的定义可知，，设扇形的面积为. 则，即，故，当时，有不等式； 已知函数，，令得. 由与图象与性质得零点：，. 满足，，且；. 对于选项A，画出与的函数图象，如图： 可以看出，故，故A正确； 对于选项B，的最小正周期为，由图象可知，所以，故B错误； 选项C：因为. 所以 因为，所以 而，但，且在为增函数. 故，故，故C正确. 选项D：因为，， 所以. 因为，， 所以，，，，则. 由的零点性质，且， 又在上单调递减， 故，即，得. 因此，即，D正确 12． 【解析】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数的图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 13．9 【解析】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以，所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 14． 【解析】显然不为方程的实数根， 设， 则方程有三个不同的实数根等价于有三个不同的实数根， 当时，，则， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 且当时，，当时，，， 从而作出的大致图象如图， 由图可知当时，直线与函数的图象有3个交点，即方程有三个不同的实数根． 由得；由，得，则， 又，，则得， 所以. 15．【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 16．【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 17．【解析】（1）， 因为在R上单调递增，所以在R上恒成立， 则， 要使，则，即，解得：， 所以，的取值范围是. （2）（i）若在处取得极大值，所以， 将代入，即，解得. ，因式分解得， 令，得或 1 3 + 0 - 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 在区间上的极值点为和，区间端点为和． 计算函数值：，， ，， 比较得：最大值为，最小值为； （ii）由前面分析可知，函数在处取得极大值，在处取得极小值1， 方程有三个不同的实数根直线与曲线有三个不同交点， 所以的取值范围为． 18．【解析】（1）由题意可得，一次喷洒4个单位的净化剂， 空气中释放的浓度， 当时，由，得， 当时，由，得，得，所以， ∴ 因为，所以， 所以一次喷洒4个单位的净化剂，有效净化时长不能达到4小时． （2）（i）当时， 第一次喷洒的4个单位的净化剂，小时后空气中净化剂的浓度为， 第二次喷洒的1个单位的净化剂，小时后空气中净化剂浓度为， 两次喷洒后空气中净化剂浓度为， 当时， 两次喷洒后空气中净化剂浓度为 ， 所以， （ii）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 当时，，此时在上单调递减， 所以的最小值为， 综上所述，第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值为22毫克／立方米 19． 【解析】（1）由得，当时，，显然不成立， 则， 令，则， 令，解得；令，解得； 的递减区间为，递增区间为， 则， 且， ∴函数与 的图象如图， 故当 仅有一个零点时， 的取值范围为． （2）（i），， ①当时，当时， ，则 在上单调递减； 当时， ，则 在上单调递增． ②当时，当 时， ，则在上单调递减； 当时， ，则在上单调递增． ③当时，当时， ，则在上单调递减； 当时， ，则在上单调递增． 综上所述：当时， 在上单调递减,在上单调递增; 当时，在上单调递减，上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （ii）由（i）知，设， 其中， 则 ， 在单调递增， ，即， ， 在单调递增且， ，即. 再设，其中， 则． 且， ， 在单调递增， ，即， 在单调递增， 且，即 由（ ）、（）得：， . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 B卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元5 函数的应用 B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数，则“”是“函数有零点”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要 3．定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 4．已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 6．已知函数则下列结论中正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的最小值为 D．的最小值为 7．已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设是定义在上的单调函数，且满足，若是方程的解，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则的零点所在区间可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 11．已知函数有两个零点，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，m为正的常数，则的零点之和为________． 13．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 14．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 16．（15分）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 17．（15分）已知函数 (1)若在R上单调递增，求的取值范围； (2)若在处取得极大值， （i）求在区间上的最值； （ii）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 18．（17分）某科研单位研制出一种空气净化剂，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于40毫克／立方米时，它才能起到有效净化空气的作用． (1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时长能否达到4小时？并说明理由； (2)若第一次喷洒4个单位的净化剂，2小时后再喷洒1个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克／立方米，其中． （i）求的表达式； （ii）求第二次喷洒后的4小时内空气中净化剂浓度的最小值． 19．（17分）已知函数，. (1)若仅有一个零点时，求a的取值范围； (2)函数，且. （i）讨论的单调性； （ii）若存在，使得，证明：. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $