宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷以科技前沿（如“词元”数据分位数）和实际应用（景区观光道路设计）为情境，覆盖函数、几何、概率等核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、椭圆、导数|第6题结合“词元”数据考分位数，体现科技前沿| |多选题|3/18|排列组合、圆方程|第10题多圆位置关系，考查逻辑推理| |填空题|3/15|直线方程、函数性质|第14题纸牌游戏考概率，贴近生活| |解答题|5/77|数列、立体几何、解析几何|16题景区道路设计考三角函数应用，19题椭圆切线问题综合逻辑推理与创新意识|

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B C A B BC BCD 题号 11 答案 ACD 12．2 【分析】讨论所求直线的斜率存在与否，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当所求直线的斜率不存在时，直线方程为， 显然与原点的距离为1. 当所求直线的斜率存在时，设方程为, 由. 所以满足条件的直线有两条. 故答案为:2. 13． 2； （答案不唯一） 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质及已知条件求解. 【详解】由题意， ， 由 ，且在上恰好有一个最小值和一个最大值，得，则； 而的最大值为 ，最小值为 ， 由 ，得和中一个是最大值，另一个是最小值， 所以，， 当时，（答案不唯一）. 14． 【分析】先求出离散型随机变量的分布列，由离散型随机变量的数学期望与方差公式计算即可. 【详解】的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 的分布列为： 1 4 9 16 25 同理：，故：， 当时，的分布列为： 1 2 3 4 5 所以， 当时，的分布列为： 15 所以， 当时：的分布列为： 3 4 5 6 7 8 9 ， 当时：的分布列为： 6 7 8 9 10 11 12 ， 当时：的分布列为： 10 11 12 13 14 ， 所以：. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：方差可以用数学期望来计算，将离散型随机变量取值进行分类求数学期望，最后求加权平均即可. 15．(1)证明见详解；， (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义可证数列为等差数列，并求得数列的通项公式，再根据题设条件中和的关系式求得数列的通项公式. （2）利用裂项相消法、基本不等式分析运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴，又由， ∴， 数列为等差数列，，. ∴， ∴，. （2）解：由（1）知，所以有 ， 所以存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， ∴. ∵， 当且仅当，即时等号成立；所以有，. ∴实数的取值范围是. 16．(1) (2)， 【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解； （2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解. 【详解】（1）连结，则 四边形的面积为 （2）由题意，在中，，由正弦定理 同理在中，，由正弦定理 令 时，即，的最大值为5 17．（1）或；（2）. 【分析】（1）当截距都为0时，得到，当截距不为0时，可设直线l的方程为：，代入点坐标即可得出结果；（2）由（1）知，直线l的一般方程为：，利用点关于线对称的结论代入求解即可. 【详解】（1）当直线l在轴上的截距都为0时， 易得直线l的一般方程为：； 当直线l在轴上的截距不为0时， 设直线l在轴上的截距为，由题意知直线l在轴上的截距为， 可设直线l的方程为：， 把代入直线方程得：， 所以直线l的一般方程为：， 综上所述：直线l的一般方程为：或； （2）由（1）知，直线l的一般方程为：， 设，又与关于直线对称， 则， 整理得：， 所以点的坐标为. 【点睛】本题主要考查直线的截距式和一般式以及点关于线对称的知识点.属于中档题. 18．(1)连接，在矩形中得， 由于为的中位线， 故． 又平面，平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）连接，由中位线得到线线平行，从而证明线面平行； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系．根据题意设出点的坐标，并得到未知数的关系.借助空间向量求得平面和平面的法向量，结合二面角得到向量的数量积，从而得到未知数的关系，然后结合两个关系式解得未知数，即可求得的长； （3）由棱锥的等体积转换得，由中点得到，再等体积转换为，然后由三棱柱和三棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】（1）略 （2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．    设，，，，，且， 则，． 设平面的一个法向量， 则取得． 同理可取平面的一个法向量． 因此，得． 解得． 所以． （3）由题可知， ． 19．(1)； (2)①设，，，过，的椭圆切线方程为，则，，直线方程为，即，显然过定点. ②最大值为. 【分析】（1）由为，中点，得，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，这样可得点轨迹是椭圆，根据求得椭圆方程； （2）①设，，，写出切线方程代入点坐标，得直线方程，由方程可得定点坐标； ②直线方程为与椭圆方程联立消元后得，变形得，然后计算三角形面积，利用换元、基本不等式可得最大值． 【详解】（1）依题意有为，中点，，两点到直线的距离之和为点到直线的距离的2倍，又与圆相切，，即动点到与两点距离之和等于为，动点的轨迹方程为. （2）①.略 ②.直线方程为，联立椭圆方程得 显然，，， 面积. 令，， 则.当且仅当，时等号成立. 故面积的最大值为. 【点睛】本题考查求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题及三角形面积最大问题．解题方法是根据椭圆的定义求得椭圆标准方程；设动点的坐标，写出直线方程，由直线方程得定点；设而不求的思想方法结合韦达定理求得三角形面积，用基本不等式得最大值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知，则“”是“”的 A．充分非必条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A．B． C． D． 3．在中，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最大值为8. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 5．若复数满足，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（    ） A．2875 B．5692 C．8509 D．16771 7．已知函数f（x）＝（x2+1）e2x，则（    ） A．f（1）是f（x）的极大值也是最大值 B．f（1）是f（x）的极大值但不是最大值 C．f（﹣2）是f（x）的极小值也是最小值 D．f（x）没有最大值也没有最小值 8．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和．若该棱台的体积为，则该棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．以下说法正确的是（    ） A．将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法 B．将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，则 10．以下四个命题表述正确的是（    ） A．圆：的圆心到直线的距离为2 B．圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．是两圆与的公共弦所在的直线方程 11．已知数列的通项公式是， （）设为数列的前项和，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．若存在，使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点且与原点的距离为1的直线共有__________条. 13．已知函数满足，且在上恰好有一个最小值和一个最大值．则________；若，则的值可以为________．（写出一个即可） 14．小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为，然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取张牌，记这张纸牌的点数和为，则__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．已知数列满足，，令，设数列前项和为. (1)求证：数列为等差数列；并求数列的通项公式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 16．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．    (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值． 17．已知直线l过点，且在轴上的截距互为相反数， （1）求直线的一般方程； （2）若直线在轴上的截距不为0，求点关于直线的对称点的坐标． 18．在直三棱柱中，，，，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角是直二面角，求的长； (3)在（2）的条件下，求三棱锥的体积． 19．已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和. (1)设动点的轨迹为，求轨迹的方程； (2)对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点. ①求证直线过定点； ②求面积的最大值. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $