4.5函数的应用（二）同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点及应用，通过基础选择、综合填空与情境解答题的三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|函数零点概念、零点与方程根关系、零点存在性定理|单项选择（如二次函数零点个数判断）强化概念辨析，培养抽象能力| |提升层|二分法应用、数据模型选择、零点区间判断|多项选择（如二分法结果分析）与填空（如药物有效时长计算）深化推理，发展运算能力| |应用层|函数建模与实际问题解决|解答题（药熏消毒函数关系）整合知识，体现模型观念与应用意识|

函数的应用（二）同步练习 1. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 2. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 3. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 巩固练习 1、 单项选择题 1．二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 2. 函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　) A．(3,4)　　　　　　 B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1) 3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　 　 B　　　 　 C　　　　 D 4．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 5．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 6．已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．必有唯一的实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．至少有一实数解 7．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．下列函数不存在零点的是（　　） A． B． C． D． 10．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（    ） A．的零点在区间内 B．的零点在区间内 C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5 11．如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（    ） A． 炮的最大射程为10千米 B．炮的最大射程为20千米 C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物 D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物 3、 填空题 12．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为 . 13．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是______.（填写所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤. 14．函数的零点为 ． 4、 解答题 15. 某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的应用（二）同步练习含答案解析 1. 函数的零点 对于函数，我们把的实数叫做函数的零点 2. 函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标 方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴有交点 3. 零点存在性定理 如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解 巩固练习 1、 单项选择题 1．二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可得，即可由判别式求解. 【详解】由于的图象开口向下，与y轴正半轴相交，所以， 故，因此函数有两个零点，故选：B 2. 函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　) A．(3,4)　　　　　　 B．(2，e) C．(1,2) D．(0,1) 【答案】C　 【解析】因为f(1)＝ln 2－<0，f(2)＝ln 3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C. 3．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　 　 B　　　 　 C　　　　 D 【答案】B　 【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．故选B. 4．下列函数中，不能用二分法求零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解. 【详解】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号； 对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点， 但恒成立，故不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 5．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AB选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，C选项函数增长的速度越来越快，所以C正确. 故选：C. 6．已知函数在区间上单调，且图象是连续不断的，若，则方程在区间上（    ） A．必有唯一的实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．至少有一实数解 【答案】A 【分析】利用零点存在性定理及函数的单调性判定即可. 【详解】因为函数在区间上单调且连续，则或， 由零点存在性定理知必有唯一的实数解使得，故A正确.故选：A 7．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根，代入可得， 解得，所以，故选：B 8．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设铁丝的一段长度为，则另一段铁丝长为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设铁丝的一段长度为，（其中），则另一段铁丝长为， 两个正方形的面积之和为， 根据题意，可得， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 2、 多项选择题 9．下列函数不存在零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据零点的定义，令解方程即可. 【详解】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点； B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点； C选项中，令，解得，故-1和1是函数的零点； D选项中，令，方程无解，故函数无零点．故选：BD． 10．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（    ） A．的零点在区间内 B．的零点在区间内 C．精确到0.1的近似值为1.4 D．精确到0.1的近似值为1.5 【答案】BC 【分析】根据二分法基本原理判断即可. 【详解】解：易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确， 又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选：BC. 11．如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（    ） A．炮的最大射程为10千米 B．炮的最大射程为20千米 C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物 D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物 【答案】AD 【分析】由，用k表示x并求出最大值判断A，B；由直线与炮弹轨迹有无公共点判断C，D作答. 【详解】在中，令，可得，显然， 因此，当且仅当，即时等号成立， 即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误； 依题意，炮弹击中飞行物，即直线与炮弹轨迹有公共点，而，， 于是得关于的方程，即有正根， 当，即时，方程两根之和为正，两根之积为正， 因此当时，关于的方程有正根， 即当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.故选：AD 3、 填空题 12．某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为 . 【答案】4小时 【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【详解】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以，所以， 要使，则或，解得或，综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时．答案为4小时． 13．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是______.（填写所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤. 【答案】①②④ 【分析】利用二分法，通过不断取中点可判断各选项符号情况 【详解】由二分法的步骤可知， 因为零点在内，则有，则与符号不同，不妨设，，故①正确 取中点2，因为零点在内，则有，则，，故②正确 取中点1，因为零点在内，则有，则由知，故③错误 取中点，因为零点在内，则有，则由知，故④正确 取中点，因为零点在内，则有，则由知，故⑤错误。 所以与符号不同的是，，. 故答案：①②④ 14．函数的零点为 ． 【答案】或4 【分析】直接令解方程即可. 【详解】令，得，解得或4 故答案为：或4. 4、 解答题 15. 某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比；当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为(a为常数).已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示.    (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室? 【答案】(1) (2)至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室 【分析】（1）时，设，根据图象列式求解，从而得函数解析式； （2）解不等式，，可得结论． 【详解】（1）由图象可知：当时，图象为正比例函数图象，设为， 可得，解得 所以y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为. （2）当，令，则， 整理得，则，解得， 所以至少需要经过0.8个小时后，学生才能回到教室. 学科网（北京）股份有限公司 $