4.5 函数的应用(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习围绕函数应用，分层设计基础巩固、综合应用、创新提升三层次，覆盖零点定理、二分法、实际建模等，梯度衔接紧密，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（零点区间、二分法基础）|选择/填空题，直接应用概念，强化运算能力| |综合应用|跨知识点综合（方程解个数、函数性质）|多选题+中档填空，辨析概念与方法结合，发展推理意识| |创新提升|复杂情境应用（实际建模、存在性问题）|解答题+探究题，渗透数学建模与创新思维，培养应用意识|

4.5 函数的应用(二)限时训练 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 2．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 3．（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得恒成立，则函数与有相同的零点，即得，求出的值即可判断. 【详解】由，可得恒成立， 则函数与有相同的零点． 又因在定义域上单调递增，且， 故，解得，故． 故选：C. 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 5．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，结合对数的运算性质、二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 二次函数，对称轴为， 设， 因为，由图， 显然， ， 所以， 故选：C 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围. 【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根. 当时，，为单调递增函数，值域为. 若有解，则，此时该区间有且仅有1个解； 若或，则该区间无解. 当时，，令，两边同乘整理得. 当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为， 故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解； 当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解. 综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是. 7．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】B 【详解】由可知， 依题意，， 解得，，则时，， 则（焦耳）， 即5.8级地震所释放的能量约为焦耳. 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【详解】选项A，令函数与，如图所示， 因为函数与为单调递增函数， 且图象只有两个不同的交点， 所以方程有两个解，故A选项正确； 由函数， 当时，在单调递增， 当时，， 若，则函数在单调递减，故B选项不正确； 由与y=互为反函数，故两个函数图象关于对称， 故C选项正确； 令， 由函数与在上单调递增， 所以函数在上单调递增且图象连续， 又， 所以函数零点在区间上， 即方程的根落在区间上，故D选项正确； 故选：ACD. 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 10．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 【答案】 【详解】由参考数据知， 且，所以方程的一个近似解可取为. 12．（26-27高三·全国·一轮复习）在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． 【答案】/1000 【分析】根据题意及对数运算即可求解． 【详解】由题可得，且， 所以． 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 【答案】． 【分析】画出函数图象，根据图象得出的取值范围和之间的关系，进而求解. 【详解】画出函数图象： 由图象可知当函数与有四个不同的交点时， 不妨设，则， 所以，即， 所以，所以， 令，即， 所以， 所以. 14．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2); (3). 【分析】(1)利用对数函数单调性脱去对数，转化为一元二次不等式，通过换元法结合指数函数性质，求解出x的取值范围; (2)根据函数零点定义转化为方程有解问题，换元后分离参数，利用函数的最值与区间端点值，确定参数取值范围; (3), 转化为  ，再利用函数的单调性求解. 【详解】（1），，得， 所以，即， 令 ，，解得 ，即 ， 所以，所以的解集是； （2） 在 上存在零点，令，得 ，即，所以， 因为，所以 令 ，，记 ， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， 所以，在 时取得最大值， 又，， 所以的值域是，所以,所以， 所以a的取值范围是; （3）, 得， 即， 在上的最大值是，最小值是， 由题意  ，即， 所以，所以， 即，所以， 令，， 在上单调递减，所以当时，取得最小值3， 所以在上取得最大值， 在上单调递减，所以当时，取得最小值1， 所以，所以 所以a的取值范围是. 15．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数，． (1)求； (2)设函数，对，，求的取值范围； (3)设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在，． 理由如下： ． 中，显然，时，且单调递减； 时，且单调递减， ， 故关于中心对称， 令，方程可化为①， 方程有且仅有4个解，则方程①有两个不等正根，，且两根均大于2， 所以，解得， 四个解从小到大排列为，根据的对称性， 不妨设，， 由，可得， 因为，所以，即， 联立，化简得， ，解得： 综上，存在，． 【分析】（1）结合指数的运算化简即可求解； （2）令，可将问题转化为．恒成立，结合二次函数的图像与性质研究即可求解； （3）令，将问题等价于方程有两个不等正根，，且均大于2，利用根与系数关系求解即可. 【详解】（1） ，， ； （2），由（1）得， ． 令，则，． 即，令，对称轴， ①即时，最小值为，故只需或， 得或； ②即时，最小值为，故只需， 综上：或． （3）略 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 函数的应用(二)限时训练 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数若，且，则（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．方程有两个解 B．若函数，则函数在上单调递增 C．与y=的图象关于对称 D．二分法求解方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 10．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 11．（25-26高三·全国·一轮复习）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（精确到0.04）为______. 12．（26-27高三·全国·一轮复习）在声学中，人们用分贝（）来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则等于_______． 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知函数的图像与直线，有四个不同的交点，若这四个交点的横坐标分别为，则的取值范围是______． 14．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知. (1)若，求的解集； (2)令，若在区间上存在零点，求a的取值范围； (3)令，对于任意的，，都有成立，求a的取值范围. 15．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知函数，． (1)求； (2)设函数，对，，求的取值范围； (3)设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $