4.3对数同步练习(基础)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数概念与运算，以单选-多选-填空-简答梯度设置，覆盖从定义辨析到实际应用的知识进阶，强化抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|对数定义、指数对数互化|单选直接考查概念辨析（如指数式与对数式互化判断）| |性质辨析|对数性质、运算法则|多选综合检验性质应用（如对数恒等式与运算法则组合判断）| |综合应用|公式综合、实际问题|填空与简答结合生活情境（如银行存款复利计算）及多公式联用（如换底公式与幂的对数综合计算）|

同步练习含答案解析（基础） 1. 对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 2. 两种特殊的对数 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为； 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为 3. 指数和对数的互化公式 4. 对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数：①，② （2） 对数恒等式：①，② （3） 幂的对数：①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 5. 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2： 巩固练习 1、 单项选择题 1．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据对数的定义运算求解. 【详解】∵，则. 故选：D. 2．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得. 【详解】因为，所以，所以.故选：A 3．下列指数式与对数式互化错误的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化. 【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确； 对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误； 对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确； 对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确. 故选：B. 4． 设，且，则m的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】将指数式化成对数式，对已知等式进行分类讨论，利用换底公式计算即得. 【详解】由可得，． 因，①当时，易得，此时等式成立，； ②当时，由可得.则有，解得． 综上所述：或．故选C 5． 已知，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再化简代入即得解. 【详解】因为，所以， 所以.故答案为：A 6． 在银行存元，假设年利率为，每年结算自动转存.（ ）年达到万元？ A．225 B．114 C．223 D．117 【答案】D 【分析】后本息和为万元，分别解不等式，可得出结论. 【详解】解：在银行存元，后本息和为万元， 由可得，即年达到万元，故选D 7．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由换底公式对原式变型即可求解. 【详解】∵, ∴，∴．故选：A． 8．已知，试用表示为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案. 【详解】因为，所以，可得， .故答案为：B. 2、 多项选择题 9．已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据可推出，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由，得，且， 即，而此时不总是成立，则C错误； 由于，即，结合以上分析可知A错误； 由于，即为，故B正确； 又，D正确，故选：BD 10．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数和对数的运算性质可求出，可得结果； 【详解】因为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，即，解得，（舍去）， 故. 故选AC 11．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，由，得， 所以，且， 即，．故选：AB 3、 填空题 12．已知实数满足，求的值 ． 【答案】； 【分析】利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值； 【详解】解：，，， 又，，所以. 13．已知正数a和b满足，用a及b表示 . 【答案】 【分析】令，由，可得，进而可得以现由即可得答案. 【详解】解：因为均为正数， 令，则有，， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以 所以.故答案为： 14．若，则的最小值为________． 【答案】16 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以.所以 所以.当且仅当时取等.故答案为：16 4、 简答题 15．将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2)-5 (3)81 (4)128 【分析】根据指数与对数互化的公式即可得到答案. 【详解】（1）由，得； （2）由，得； （3）由，得； （4）由，得. 16．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）利用换底公式后计算；（3）指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解． 【详解】（1）； （2） ； （3），又，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 同步练习（基础） 1. 对数的定义 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。 2. 两种特殊的对数 一般对数：底数为，，记为 常用对数：底数为10，记为； 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为 3. 指数和对数的互化公式 4. 对数的性质与运算法则 （1） 两个基本对数：①，② （2） 对数恒等式：①，② （3） 幂的对数：①： ②： ③： （4） 积的对数： （5） 商的对数： 5. 换底公式：； 推广1：对数的倒数式 推广2： 巩固练习 1、 单项选择题 1．已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 3．下列指数式与对数式互化错误的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4． 设，且，则m的值为（ ）． A． B． C．或 D．或 5． 已知，则的值为（ ）． A． B． C． D． 6． 在银行存元，假设年利率为，每年结算自动转存.（ ）年达到万元？ A．225 B．114 C．223 D．117 7．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 8．已知，试用表示为（ ）. A． B． C． D． 2、 多项选择题 9．已知，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（ ） A． B． C． D． 11．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12．已知实数满足，求的值 ． 13．已知正数a和b满足，用a及b表示 . 14．若，则的最小值为________． 4、 简答题 15．将下列指数式、对数式互化. (1)； (2)； (3)； (4). 16．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)若，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $