4.3～4.4对数与对数函数综合课后同步练习（提升版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数与对数函数，分层设计从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学眼光观察现实、思维推理及语言表达的核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|对数概念与运算|单选1-5辨析对数式正误，夯实概念理解| |性质应用|函数性质与图像|多选9-11结合单调性、奇偶性，深化性质应用| |综合拓展|实际应用与参数求解|题7以AI训练情境考查指数衰减，解答题16参数范围问题，体现数学建模与逻辑推理|

4.3~4.4对数与对数函数综合课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过代入化简各选项的函数表达式，结合奇函数定义域关于原点对称、满足的性质逐一验证即可. 【详解】首先确定的定义域：由且，得或， 对于A选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故A选项错误； 对于B选项，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：， 不满足，故不满足奇函数性质，故B选项错误； 对选项C，令，其定义域满足或，即，关于原点对称， 将代入的表达式：， 故， 验证奇函数定义：满足奇函数性质，故C选项正确； 对于D选项，令，其定义域满足或，即，不关于原点对称，故D选项错误； 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】采用换元法由外向内逐层求解，先计算出外层函数的值，再结合分段函数的定义域分别解出内层变量并验证即可. 【详解】令，则原方程转化为， 若， 则，，即，矛盾，因此该情况舍去， 若， 则， 则有，即，解得， 或，即，解得， 因此或， 当时， 若，则有，即，解得，因此该情况舍去， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 当时， 若，则有，即，解得， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 综上，可能的取值为共个 4．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 5．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数、对数的运算性质及函数单调性确定的取值范围，再逐一判断选项正误. 【详解】根据指数幂的运算性质，得. 又因为，显然，故A错误； 再由对数函数在定义域上单调递增，由于， 因此，即，因此，故C错误. 所以，故B错误，D正确； 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用、在上的单调性，且求不等式的解集. 【详解】由，即且， 、在上分别单调递减、单调递增，且， 当时，，当时，， 由在上能成立，则，故原不等式的解集为. 7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 【答案】B 【分析】先由损失函数确定初始值为1,再分别代入验证A、C的函数值正误,对B通过给不等式两边取常用对数,代入估算迭代轮次,依据指数函数非线性变化特点判断D错误,最终得出只有B选项正确. 【详解】由题意得损失函数，初始损失值时，. 对选项A，当时，，不等于，故A错误. 对选项B，令，两边取常用对数得. ，代入得， 化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确. 对选项C，当时，，不等于，故C错误. 对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误. 8．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简函数解析式为，设，根据对数型复合函数的单调性分析判断推得在区间上单调递减且恒为正数，列出不等式组，求解即得. 【详解】因， 设，因在定义域上单调递增， 依题意，需使在区间上单调递减且恒为正数， 则需使，解得. 故选：B. 9．（25-26高一上·山西·阶段检测）（多选）已知函数下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定的分段函数，结合对数运算依次计算作答. 【详解】对于A，故错误； 对于B，当时，，即，解得； 当时，，解得，则或，故B错误； 对于C，故C正确； 对于D，故D正确． 故选：CD． 10．（25-26高一下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 【答案】BD 【详解】A选项，令，则，其中， 因为外层函数为，而在定义域上单调递增， 且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值， 因此也没有最大值，A选项错误； B选项，的定义域为R，， 则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数， 则的值域为，B选项正确； C选项，对称轴为：，且开口向上， 所以在上单调递减， 若，则在该区间上的最小值为， 则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确； D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上， 的最小值为：且， 所以最小值为：，D选项正确. 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】记，则，根据指对互化可得，，，根据的取值情况逐项验证即可得结论. 【详解】记，则，所以，，， 对于A：当，得，，，则有，即选项A正确； 对于B：令，得，， ，则有，即选项B正确； 对于C：令，得，，， ， 则有，即选项C正确； 对于D：若，则， ，且， ，， 整理得，即， 注意到，且， 不可能成立，选项D错误， 综上所述，，，的大小关系可以为或或. 故选：ABC． 12．（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用对数换底公式及对数的运算性质化简得，再利用乘“1”法结合基本不等式计算即得. 【详解】由可得，即，整理得， 由， 当且仅当，即时取等，即的最小值为. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】分两种情况和讨论，进而得到，解出不等式可得出实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 当时，在上单调递增，则的值域为， 所以，即， 因此，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若，则的取值________． 【答案】 【分析】构造函数并判断单调性及奇偶性，进而求解不等式. 【详解】令，则原不等式可化为. 函数的定义域为， ， 所以为奇函数. ，令，则， 因为在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增. 所以可化为， 所以，解得. 故的取值范围为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； （2）因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)判断奇偶性以及在上的单调性（直接写结果，无需证明）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)偶函数，在上单调递增； (2)或； (3). 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；通过换元，将解析式变为判断单调性； （2）由是偶函数且在上单调递增，将转化为在上恒成立求解； （3）将不等式，转化为，再通过换元求解. 【详解】（1）由，当且仅当时取等号， 所以时，故的定义域为， 由，故为偶函数， 所以，设，则当时， 设，可知在单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增. （2）因为是偶函数且在上单调递增， 又时，恒成立， 所以时，有恒成立， 即在时恒成立 设，则， 解得或. （3）当时，，即， 因为对数函数单调递增，所以， 令，则， 所以， 令，则，， 因为在上单调递增，所以， 所以，则， 所以，所以. 又在上恒成立，即恒成立， 因为，所以. 综上，. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3~4.4对数与对数函数综合课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津南开·期末）已知，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州毕节·期中）大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（    ） A．迭代12轮时，损失值为 B．损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C．迭代36轮后，损失值为初始的 D．该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 8．（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·山西·阶段检测）（多选）已知函数下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C． D． 10．（25-26高一下·河南·阶段检测）（多选）已知函数，其中，则（    ） A．可能有最大值 B．当时，若有定义，则其值域为 C．在定义域内的区间上一定单调递减 D．当时，一定存在最小值 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知（且），如果对于任意的都有成立，则a的取值范围为______． 14．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若，则的取值________． 15．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)判断奇偶性以及在上的单调性（直接写结果，无需证明）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $