四川省渠县中学2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

**基本信息** 以围棋文化、头盔销售等真实情境为载体，分层设计基础题与综合题，全面检测一元二次方程、四边形性质及图形变换等八年级核心知识，衔接九年级学习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称与中心对称、方程系数、因式分解|围棋图形考对称（文化传承），估算方程根（推理意识）| |填空题|10题40分|分式意义、平移面积、菱形面积|阴影面积计算（几何直观），新运算解不等式（抽象能力）| |解答题|8题78分|方程求解、四边形证明、旋转全等、利润问题|头盔销售列方程（应用意识），动态几何证全等（推理能力）|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期入学自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 5．在估算一元二次方程的根时，小明列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2+4x﹣8 ﹣2 ﹣1.18 ﹣0.32 0.58 1.52 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　　 ． 10．若a是x2﹣2x+1＝0的一个根，则a2﹣2a+7的值是 　　 ． 11．如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，此时AB＝14cm，DO＝6cm，阴影部分的面积为44cm2，则平移的距离为　 ． 12．使代数式有意义的x的取值范围是_______． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）（x+1）2＝49； （2）3x2＝6x﹣2． 15．（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 16．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝2，求△DCF的面积． 17．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，连接CD，以CD为边，在CD左侧构造等腰直角△CDE，其中DC＝DE，∠CDE＝90°，CE，AD交于点F，连接AE，BD． （1）求证：△BCD≌△ADE； （2）如图2，若点B，点D，点E在一条直线上，求BD的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　　 ． 20．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为________. 21．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为　　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 25．如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△AEF≌△BEG； （2）已知 　　 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．条件①：EFCD； 条件②：EF⊥CD． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 26．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，请直接写出CM的长度． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4 【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常数项﹣5， 故选：C． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16 B．x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5 C．x2+1＝（x+1）2 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【解答】解：A、（a﹣4）（a+4）＝a2﹣16是多项式乘法运算，不符合题意； B、x2+x﹣5＝x（x+1）﹣5，不是因式分解，不符合题意； C、x2+1≠（x+1）2，不是因式分解，不符合题意； D、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，是因式分解，符合题意． 故选：D． 4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．50° B．42° C．40° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF+∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC＝180°， ∴∠EAF＝∠B＝40°， 故选：C． 5．在估算一元二次方程的根时，小明列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2x2+4x﹣8 ﹣2 ﹣1.18 ﹣0.32 0.58 1.52 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（　　） A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【解答】解：∵当x＝1.2时，2x2+4x﹣8＝﹣0.32＜0， 当x＝1.3时，2x2+4x﹣8＝0.58＞0， 所以当x在1.2～1.3之间取一个值时可以使2x2+4x﹣8＝0， 所以一元二次方程2x2+4x﹣8＝0一个根x的大致范围为1.2＜x＜1.3． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则旋转角∠ACD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴AC＝CD，∠BAC＝∠CDE＝130°， ∴∠CDA＝∠CAD＝∠E+EDC＝∠B+∠ACB＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CDA﹣∠CAD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：D． 7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　） A．0 B．0或﹣1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0， ∴a2+a＝0，且a+1≠0， 则a的值为：a＝0． 故选：A． 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（　　） A．6 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，∠BAD＝90°，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD，BE＝EO，即AE垂直平分OB， ∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO＝6， ∴BD＝12， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为0，则x的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣1． 故答案为﹣1． 10．若a是x2﹣2x+1＝0的一个根，则a2﹣2a+7的值是 　6　 ． 【解答】解：由条件可知a2﹣2a+1＝0， ∴a2﹣2a＝﹣1， ∴a2﹣2a+7＝﹣1+7＝6， 故答案为：6． 11．如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，此时AB＝14cm，DO＝6cm，阴影部分的面积为44cm2，则平移的距离为　4cm ． 【解答】解：∵直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，AB＝14cm，DO＝6cm， ∴DE＝AB＝14cm，S△DEF＝S△ABC， ∴S△DEF﹣S△COE＝S△ABC﹣S△COE， ∴S阴影＝S梯形ABEO， ∵阴影部分的面积为44cm2， ∴， ∴， ∴BE＝4cm， ∴平移的距离为4cm， 故答案为：4cm． 12．使代数式有意义的x的取值范围是x≥0且　 ． 【解答】解：要使有意义，必须x≥0且2x﹣3≠0， 解得：x≥0且x， 故答案为：x≥0且x． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　60　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴，AC⊥BD，BD＝2BO， ∵AE⊥BC，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：60． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（解方程：（1）（x+1）2＝49； （2）3x2＝6x﹣2． 【解答】解：（1）（x+1）2＝49 x+1＝7或x+1＝﹣7， 解得x＝6或x＝﹣8， ∴原方程的解为：x1＝6，x2＝﹣8； （2）3x2＝6x﹣2 3x2﹣6x+2＝0， a＝3，b＝﹣6，c＝2， Δ＝b2﹣4ac＝36﹣24＝12， ∴， ∴或， ∴原方程的解为：，． 15．（1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）， 解不等式①得， 解不等式②得x＜2， ∴原不等式组的解集是； （2）， ， 两边同乘以（x﹣1）2得x（x﹣1）+3＝（x﹣1）2， 整理得﹣x+3＝﹣2x+1， 解方程得x＝﹣2， 经检验，当x＝﹣2时，（x﹣1）2≠0， ∴x＝﹣2是分式方程的解． 16．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝2，求△DCF的面积． 【解答】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，且BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴BA＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：如图，作AH⊥BC于点H， ∵BE＝EF，CF＝CE＝2， ∴∠EBC＝∠CFE＝∠CEF， 设∠EBC＝∠CFE＝∠CEF＝α， ∴∠BCE＝∠CFE+∠CEF＝2α， ∵BE⊥AC， ∴∠EBC+∠BCE＝90°， ∴α+2α＝90°， 解得α＝30°， ∴∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵AH⊥BC， ∴∠CAH＝30°， ∵E为对角线AC上的中点， ∴AC＝2CE＝4， ∴， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ∵▱ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴△DCF的CF边上高线的长度等于AH， ∴． 17．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得50（1+x）2＝72， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000， 整理，得y2﹣120y+3500＝0， 解得y1＝50，y2＝70， 因尽可能让顾客得到实惠， ，所以y＝70不合题意，舍去． 所以y＝50． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 18．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，连接CD，以CD为边，在CD左侧构造等腰直角△CDE，其中DC＝DE，∠CDE＝90°，CE，AD交于点F，连接AE，BD． （1）求证：△BCD≌△ADE； （2）如图2，若点B，点D，点E在一条直线上，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD， ∴AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∵∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠CDE﹣∠ADC， ∴∠ADE＝∠BCD， 在△BCD和△ADE中， ， ∴△BCD≌△ADE（SAS）； （2）解：作AT⊥CD于T，则四边形AEDT是矩形，△ACT≌△CBD≌△DAE， ∴CT＝BD＝AE＝DT， 设CT＝BD＝DT＝x，则CD＝DE＝2x， 在Rt△BCD中，由勾股定理得， BD2+CD2＝BC2， ∴x2+（2x）2＝（）2， ∴x（舍去负值）， ∴BD． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若多项式x2﹣3x+k（k为常数）的一个因式是x﹣2，则k的值为 　2　 ． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+k＝0中得4﹣6+k＝0， 解得：k＝2． 解法二：设另一个因式为（x+p），则有x2﹣3x+k＝（x﹣2）（x+p）＝x2+（﹣2+p）x﹣2p， ∴， 解得． 故答案为：2． 20．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 【解答】解：设AE与BF相交于点O， 由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF， ∴OB＝OF4，AO平分∠BAF， ∴∠FAE＝∠BAE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵BO⊥AE， ∴OA＝OE6． 在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE， ∴AB． 故答案为：． 21．对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a　 ． 【解答】解：∵（2x）※1＝a， ∴2x+4x2＝a， 方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0， 解得a， 故答案为：a． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2，DC＝AB＝1，∠BAD＝∠GDC＝90°， ∴∠GDF＝∠DBE， 在△DGF和△BDE中， ， ∴△DGF≌△BDE（SAS）． ∴FG＝DE， ∴DE+CF＝FG+CF≥GC， ∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长， ∴（DE+CF）最小值为CG， ∵∠BAD＝90°， ∴， 在Rt△GDC中，，∠GDC＝90°， ∴， ∴（DE+CF）最小值为． 故答案为：． 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 　（3，10）　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2+OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2+62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2+FG2＝FE2， ∴GE2+42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 故答案为：（3，10）． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 25．如图，在▱ABCD中，E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延长线于点G，连接AG． （1）求证：△AEF≌△BEG； （2）已知 　①　 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论．条件①：EFCD； 条件②：EF⊥CD． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【解答】（1）证明：∵BG∥AF， ∴∠AFE＝∠BGE，∠FAE＝∠GBE， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△AEF和△BEG中， ， ∴△AEF≌△BEG（AAS）； （2）解：已知①，四边形AGBF是矩形，理由如下： 由（1）知△AEF≌△BEG（AAS）， ∴AF＝BG， ∵AF∥BG， ∴四边形AGBF是平行四边形， ∴EFFG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵EFCD， ∴FG＝AB， ∴四边形AGBF是矩形． 故答案为：①． 26．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转． （1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE； （2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由； （3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，请直接写出CM的长度． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE； （2）解：BDCD． 理由：连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R， 由（1）可知∠CAD＝∠CBE， ∵∠ARC＝∠BRD， ∴∠ACR＝∠BKR＝90°， ∴AD⊥BE， ∵AB＝AE， ∴AD垂直平分BE， ∴DE＝BD， 又∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DECD， ∴BDCD； （3）解：过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC， 则∠POM＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点， ∴CO⊥AB，COAB＝OB， ∴∠COB＝∠POM＝90°， ∴∠POC＝∠MOB， ∴△POC≌△MOB（SAS）， ∴CP＝BM＝7，∠OPC＝∠OMB， 又∵∠OHP＝∠QHM， ∴∠PQM＝∠POM＝90°， ∵∠BMC＝45°， ∴△CMQ是等腰直角三角形， ∴CQ＝MQ， 在Rt△POM中，PMOM＝13， 设CQ＝QM＝x，则PQ＝x+7， 在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+7）2＝（13）2， 解得：x＝5（x＝﹣12舍去）， ∴QM＝5， ∴CMQM＝10． 学科网（北京）股份有限公司 $