第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元测试，通过梯子、台风等生活情境及赵爽弦图文化素材，覆盖定理应用、证明及逆定理，适配单元复习，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股定理应用（梯子高度）、直角三角形判断（5,12,13）、图形规律（正方形面积和）|结合生活场景，梯度设计基础到创新| |填空题|5题|定理证明（五边形面积）、折叠问题（矩形折叠）、网格直角三角形|融入证明思想，考察空间观念| |解答题|5题|实际应用（公路长度、台风影响）、方案比较（管道费用）|综合实践情境，发展应用意识与推理能力|

第一章 勾股定理 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 3．下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，7，5 C．6，7，8 D．5，12，13 4．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 5．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在正方形网格中画格点，如图，若网格中每个小正方形的边长均为，则下列说法错误的是（） A． B． C． D． 7．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 9．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 二、填空题 11．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ______ ，______ ． 12．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为___________ 13．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，能构成___________  个直角三角形．    14．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 15．如图是一个直六棱柱，底面边长均为，侧棱，有一只蚂蚁从底面的顶点A处绕六棱柱侧面爬行一圈到达上底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短路线长为___________． 三、解答题 16．如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． (1)求公路的长度． (2)若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 17．如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，的顶点都在格点（正方形的顶点）上．求证：． 18．两根电线杆、，，，它们的底部相距，现在要在两根电线杆底端之间线段上选一点，由分别向两根电线杆顶端拉钢索、，若使钢索与相等，那么点应该选在距点多少米处？    19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．    (1)求海港到直线的距离； (2)台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？ 20．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B B C B C B D 1．【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【详解】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】先找出每组边长中的最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，，，，不能构成直角三角形． B选项，，，，不能构成直角三角形． C选项，，，，不能构成直角三角形． D选项，，，，能构成直角三角形． 4．【答案】B 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 5．【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，若三角形中，两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此判断出对应图形中直角三角形的个数即可得到答案． 【详解】解：A、，， ∴图中只有一个直角三角形，不符合题意； B、，， ∴图中有两个直角三角形，符合题意； C、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； D、，， ∴图中没有直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】根据图中每条线段的位置，分别利用勾股定理求出相关线段长，用勾股定理逆定理判断即可得出正确的选项． 【详解】解：由图知：，， ∵, ∴是直角三角形，且 ∴A、B、D选项正确 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，根据定理内容解题是关键． 7．【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 8．【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 9．【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 【详解】解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 故选：B． 10．【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 11．【答案】 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：如图所示： ①， ②． 故答案为：，． 【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 12．【答案】/5厘米 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】由折叠知，在中用勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠知， ， 在中， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质和勾股定理、此题难度不大，掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 13．【答案】3 【知识点】三角形的分类、在网格中判断直角三角形 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，而，从而可得答案． 【详解】解：如图，，，是直角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 而， ∴直角三角形一共有3个； 故答案为3． 【点睛】本题考查的是直角三角形的定义，勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键． 14．【答案】是 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 15．【答案】 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，运用转化思想是解题关键． 将直六棱柱的侧面展开为平面图形，使用勾股定理计算即可． 【详解】解：直六棱柱的侧面展开图如图所示， 由题意可知，，， 由勾股定理得，， 根据“两点之间，线段最短”可知，蚂蚁沿着爬行时，路径最短， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 16．【答案】(1) (2)（万元） 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用． （1）利用直角三角形中勾股定理求； （2）先通过与的长度差得到，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出，最后计算费用． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以由勾股定理，得，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以修建公路的费用为（万元）． 17．【答案】 证明：∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根据勾股定理，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理，即可求出． 【详解】略 18．【答案】E点应该选在距B点的地方． 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】首先设，则，根据勾股定理构建方程，从而得出的值． 【详解】解；由题意可得：， 设，则， ∵， ∴ 解得： 答：E点应该选在距B点的地方． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 19．【答案】(1)海港到直线的距离为 (2) 解：由（1）可知，海港到直线的距离为， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响，如图所示，以点为圆心，以为半径作圆，    ∵， ∴海港受台风影响． 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理先求出的长度，再运用等面积法即可求解； （2）根据台风半径与长度的大小比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是直角三角形， ∴（）， 如图所示，过点作于点，    ∴， ∴（）， ∴海港到直线的距离为． （2）略 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，点到直线的最短距离的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 20．【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $