第十三章 三角形 单元章节测评 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元能力提升卷，以空竹文化、停车场地锁等真实情境为载体，覆盖三角形分类、三边关系、内角和等核心知识，注重推理意识与应用能力考查，适配单元复习巩固与能力拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形分类、三边关系、等腰三角形性质|第1题结合分类关系图考查概念辨析，第9题以空竹文化为背景渗透几何直观| |填空题|6/24|面积计算、三边关系取值范围、折叠性质|第11题方格纸找点体现空间观念，第14题折叠问题考查转化思想| |解答题|9/96|中线面积、角平分线夹角探究、动点问题|第24题系统探究内角外角平分线夹角规律，第25题动点分类讨论培养推理能力与创新意识|

第13章 三角形 单元章节测评--能力提升卷 （考试时间：120分钟分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 5．如图，在四边形中，，平分交边于点为延长线上一点，且，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 8．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，方格纸中每一个小方格是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，在小方格的顶点上确定一点C，使的面积为2，这样的点C有________个． 12．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 13．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 14．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 15．如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（10分）已知，，是的三边长，且，的周长为81，求三边，，的长． 17．（10分）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 18．（10分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 19．（10分）已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 20．（10分）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 21．（10分）如图，在四边形中，，分别是，边的三等分点（，）．已知四边形的面积是平方厘米，求四边形的面积． 22．（13分）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 23．（10分）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 24．（13分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 25．（10分）如图，在四边形中，，．直线经过点A，且．点E是直线上一动点（不与点A重合），连接，记直线与直线的交点为F．当点E在直线上运动时，试判断与的数量关系，要求写出你的结论并证明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B C A C D A 1．D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 3．B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 4．B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 5．B 【分析】先证及，利用平行线性质推导角的关系，逐项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，故A正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故D正确； ∵，，且， ∴，故C正确； ∵，， ∴． 若， 则， 即，题目未限定此条件，故B不一定正确． 6．C 【分析】根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， ． 7．A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 8．C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 9．D 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．A 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2所示， ， 根据三角形外角定理可得， ． 11．5 【分析】的面积底高，所以确定的点，只要满足的面积为即可，这样的点有个． 【详解】解：满足条件的点有个，如图平行于的直线上，与网格的所有交点就是． 12． 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 13．4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 14．43 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 15．95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．，， 【分析】本题考查比例性质的应用； 由已知比例关系，设，，，利用周长求出的值，进而求出各边长． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ 设，，， ∵的周长为81， ∴ ， ∴ ， ∴ ，，． 17．(1) 如图的直角坐标系即为所求； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2），， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 18．(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 19．(1)，理由： ， 线段， ， ， (2)不能构成三角形，理由： ， ， ， ， ，即、、不能构成三角形 【分析】（1）根据题意可得线段，再利用作差法即可解答； （2）得到，再利用作差法得到，结合三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 20．40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 21．平方厘米 【分析】连接，由得，利用等高三角形面积比等于底之比得，同理得，因此，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 平方厘米． 22．(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 23．证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的内角和求出，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 【详解】略 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 25．解：与的数量关系是：或． 证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论∶ 1．当点E在点A的右侧时∶ 在中，， ∵是的外角， ∴， 即． 2．当点E在点A的左侧时， 在中，， ∵是的外角， ∴． 即：． 综上所述，与的数量关系为或． 【分析】先利用平行线的性质和平角的定义得出，然后分当点E在点A的右侧时和当点E在点A的左侧时，当点E在点A的右侧时，由对顶角相等得出，然后分两种情况，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $