2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系，通过回顾直线与圆位置关系的几何法和代数法判定，引出两圆位置关系的新问题，搭建前后知识的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 采用启发探究式教学，结合动态演示归纳位置关系，重点突出几何法（圆心距与半径和差比较）与代数法（联立方程判别式）的综合应用，例4通过动点轨迹方程探求解构数形结合，发展直观想象与数学运算素养，助力学生建立知识联系，提升教师教学效率。

2.5.2 圆与圆的位置关系 人教A版 教学设计-2026-2027学年 数学 高二 选择性必修第一册 一、教学目标 （1）理解两圆相交、相切与相离三种位置关系的几何特征，能根据圆心距与两圆半径之和、差的大小关系准确判定两圆的位置关系。 （2）掌握利用联立方程组解的个数判断两圆位置关系的方法，能结合判别式进行综合判断与区分。 （3）通过动点轨迹方程的探求与位置关系判断，提升代数运算与几何直观相结合的能力，发展直观想象与数学运算素养。 二、教学重难点 重点：用圆心距与两半径的关系判断两圆的位置关系。 难点：内切与外切、内含与外离的区分，以及动点轨迹方程的探求。 三、教学方法 采用启发引导与探究式相结合的教学方法。借助几何直观图形引导学生观察两圆相对位置变化，归纳出圆心距与半径和、差的比较法则。通过例题精讲与变式练习，帮助学生在代数联立与几何判断之间建立联系，强化数形结合思想。 四、教学过程 1. 导入新课 引导学生回顾直线与圆的位置关系判定方法，指出几何法通过圆心到直线距离与半径比较，代数法通过联立方程判别式判断。随后提出新问题：两个圆在平面内相对运动时，会出现哪些不同的位置关系？由此引入本节课题。 2. 新知探究 结合两圆相对运动的动态演示，引导学生归纳出两圆的三种位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。 在此基础上介绍两种判断方法。方法一：联立两圆方程，由方程组解的个数判断位置关系。方法二：把两圆方程化成标准方程，求出圆心距 ，与两半径之和 、两半径之差的绝对值 比较。当 时两圆相交；当 时外切；当 时内切；当 时外离；当 时内含。 特别提醒学生，联立方程消元后若所得一元二次方程判别式 时相切，需结合图形判断内切还是外切；若 时相离，也需结合图形区分外离与内含。几何法计算圆心距与半径关系更为直观，是判断两圆位置关系的首选方法。 3. 例题精讲 例1 已知圆 ： ，圆 ： ，判断两圆的位置关系。 解析：将两圆方程分别化为标准方程。对于圆 ，配方得 ，圆心 ，半径 。对于圆 ，配方得 ，圆心 ，半径 。计算圆心距 。再计算 ， 。由于 ，即 ，因此两圆外离。 答案：两圆外离。 例2 已知圆 ： ，圆 ： ，判断两圆的位置关系。若相交，求出两圆公共弦所在直线的方程。 解析：圆 的圆心为 ，半径 。将圆 配方得 ，圆心 ，半径 。圆心距 。计算 ，恰好满足 ，因此两圆外切，没有公共弦。 答案：两圆外切，不存在公共弦。 例3 已知圆 ： ，圆 ： ，判断两圆的位置关系。 解析：将圆 配方得 ，圆心 ，半径 。将圆 配方得 ，圆心 ，半径 。圆心距 。计算 ， 。由于 ，即 ，因此两圆相交。 答案：两圆相交。 例4 已知点 在圆 ： 上运动，且 为定点，记线段 的中点为 。求点 的轨迹方程，并判断该轨迹与圆 的位置关系。 解析：设 ，因为 为 的中点，所以 ， ，从而 ， 。又点 在圆 上，满足 ，代入得 ，展开得 ，两边同除以 并整理得 。将 、 换回 、 ，得点 的轨迹方程为 ，这是以 为圆心、半径 的圆。圆 的圆心为 ，半径 。两圆圆心距 ，计算 ， ，由于 ，即 ，因此轨迹圆与圆 相交。 答案：点 的轨迹方程为 ，该轨迹与圆 相交。 4. 巩固练习 练习1 判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。 解析：圆 标准方程为 ，圆心 ， 。圆 标准方程为 ，圆心 ， 。圆心距 。 ， ，由于 ，两圆相交。 答案：两圆相交。 练习2 判断圆 ： 与圆 ： 的位置关系。 解析：圆 圆心 ， ；圆 圆心 ， 。圆心距 ， ，满足 ，两圆外切。 答案：两圆外切。 5. 课堂小结 本节课学习了两圆相交、相切与相离三种位置关系的定义，重点掌握了几何法：通过比较圆心距 与两半径之和 、两半径之差的绝对值 的大小来判定位置关系。同时学习了代数法联立方程组判断解的个数，并运用相关点代入法探求动点轨迹方程进而判断其与已知圆的位置关系。需要注意内切与外切、内含与外离的区分，必要时结合图形进行判断。 学科网（北京）股份有限公司 $